2023-2024学年广东省江门市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省江门市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.江门五邑华侨华人博物馆推出的“大眼鸡”航船、开平碉楼、冯如二号、铁路华工的纪念印章图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列给出的三条线段的长度，能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 2cm，2cm，4cmC. 2cm，3cm，4cmD. 3cm，3cm，9cm
3.在△ABC中，∠A+∠B=90∘，则△ABC的形状是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
4.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
A. B.
C. D.
5.下列图形具有稳定性的是( )
A. 三角形B. 正方形C. 长方形D. 正六边形
6.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去．( )
A. ①B. ②C. ③D. ①和②
7.把分式aa+b中的a，b的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值( )
A. 不变B. 缩小为原来的110
C. 扩大为原来的10倍D. 扩大为原来的100倍
8.如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90∘，∠B=15∘，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD=13cm，则AC的长是( )
A. 13cmB. 6.5cmC. 30cmD. 6 2cm
9.如图：∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD、CD交于点D.若∠A=70∘，则∠D等于( )
A. 30∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 50∘
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有( )
①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD//AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE.
A. ①②③
B. ②③④
C. ②③
D. ①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.用科学记数法表示0.00218=______.
12.已知aᵐ=2，则a3ᵐ=______.
13.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB，如果PC=6，那么点P到OA的距离等于______.
14.若分式a2−4a+2的值为零，则a的值是______.
15.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，∠B=34∘，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)2a2b3⋅(−3a)；
(2)xx+1+1x+1.
17.(本小题8分)
如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A(−4,1)、B(−3,3)、C(−1,2).
(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度的△A1B1C1；
(2)作△ABC关于x轴对称的△A2B2C2.
18.(本小题8分)
如图，点D和点C在线段BE上，BD=CE，AB=EF，AB//EF，求证：△ABD≌△FEC.
19.(本小题9分)
如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB=AD.
(1)用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，连接PD、求证：PD=PB.
20.(本小题9分)
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等，如果设七年级捐款人数为x人，列出关于x的方程，并求出七年级捐款人数.
21.(本小题9分)
给出三个多项式：进行加法运算，并把结果因式分解.
(1)12x2+2x−1；
(2)12x2+4x+1；
(3)12x2−2x.
22.(本小题12分)
阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如：83=6+23=2+23=223.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1，x2+2x−2x+1这样的分式就是假分式；3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式).
如：x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1，x2+3x+1=x2−1+4x+1=(x+1)(x−1)+4x+1=x−1+4x+1；
解决下列问题：
(1)分式12x是______分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式x2−1x+2化为带分式；
(3)如果x为整数，分式2x2−3x−1x+2的值为整数，求所有符合条件的x的值.
23.(本小题12分)
如图所示，直线AB交x轴于点A(a,0)，交y轴于点B(0,b)，且a，b满足 a+b+(a−4)2=0.
(1)a=______，b=______；
(2)如图1，若点C的坐标为(−1,0)，且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
(3)如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM−S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B.
利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：A、1+2=3，长度是1cm，2cm，3cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+2=4，长度是2cm，2cm，4cm的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+3>4，长度是2cm，3cm，4cm的线段能组成三角形，故C符合题意；
D、3+3<9，长度是3cm，3cm，9cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠A+∠B=90∘，
∴∠C=180∘−90∘=90∘，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B.
根据∠A+∠B=90∘，应用三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可判断出△ABC是什么三角形．
此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180∘.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
【解答】
解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D.
5.【答案】A
【解析】解：选项中只有选项A是三角形，
故具有稳定性的图形是三角形．
故选：A.
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】
解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了两角的夹边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C.
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：10a10a+10b=10a10(a+b)=aa+b，
故选：A.
利用分式的基本性质判断即可．
此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D(已知)
∴AD=BD(线段垂直平分线的性质)
∴∠DAE=∠B=15∘且AD=BD=13cm(等腰三角形的性质)
∴∠ADC=30∘(外角性质)
∴AC=12AD=6.5cm.
故选：B.
利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15∘且AD=BD=13cm，再利用外角的性质得∠ADC=30∘，解直角三角形即可得AC的值．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30∘角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC=30∘是正确解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE.
∴∠A=∠ACE−∠ABC=2∠DCE−2∠DBC=2(∠DCE−∠DBC)=2∠D.
∵∠A=70∘，
∴∠D=12∠A=35∘.
故选：B.
根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，得∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE.根据三角形外角的性质，得∠A=∠ACE−∠ABC=2∠DCE−2∠DBC=2(∠DCE−∠DBC)=2∠D，从而推断除∠D=12∠A=35∘.
本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC=90∘，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG=AE，∠GAB=∠BAE=12∠DAC，
∵∠BAE=12∠GAE，
∴∠GAE=∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC=∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
AG=AE∠GAC=∠EADAC=AD，
∴△GAC≌△EAD(SAS)，
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG=AE，
∴∠G=∠AEG=∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE=∠EAC时，∠AME=∠ABE=90∘，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE=x，则∠CAD=2x，
∴∠ACD=∠ADC=180∘−2x2=90∘−x，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD=90∘−x，
∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=90∘−x−x=90∘−2x，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90∘−2x+2x=90∘，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG=DE，
∵CG=CE+GE=CE+2BE，
∴DE=CE+2BE，
∴④是正确的，
故选：B.
因为∠BAE=12∠DAC，且∠ABC=90∘，所以需要构造2倍的∠BAC，故延长EB至 G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EDA，且AE=AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE=∠ACG，DE=CG，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE=x，则∠DAC=2x，因为CD//AB，所以∠BAC=∠ACD=90∘−x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE=90∘，故③是正确的，当∠CAE=∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的．
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
11.【答案】2.18×10−3
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：用科学记数法表示0.00218=2.18×10−3.
故答案为：2.18×10−3.
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】8
【解析】解：∵aᵐ=2，
∴a3ᵐ=aᵐ⋅aᵐ⋅aᵐ=2×2×2=8，
故答案为：8.
将a3ᵐ写为3个aᵐ相乘的形式，根据同底数幂的乘法计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：过P作PH⊥OA于H，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，
∴PH=PC=6，
∴点P到OA的距离等于6.
故答案为：6.
过P作PH⊥OA于H，由角平分线的性质推出PH=PC=6，即可得到点P到OA的距离等于6.
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出PH=PC.
14.【答案】2
【解析】解：由题意得：a2−4=0，且a+2≠0，
解得：a=2.
故答案为：2.
根据分式值为零的条件可得a2−4=0，且a+2≠0，求出a的值即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
15.【答案】112∘
【解析】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，∠B=34∘，
∴∠ADC=180∘−34∘=146∘，
由轴对称知，∠ADE′=∠P，∠CDF′=∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q=180∘−∠ADC
=180∘−146∘
=34∘
∴∠ADE′+∠CDF′=∠P+∠Q=34∘，
∴∠E′DF′=∠ADC−(∠ADE′+∠CDF′)
=180∘−34∘−34∘
=112∘
故答案为：112∘.
如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
16.【答案】解：(1)2a2b3⋅(−3a)=−6a3b3；
(2)xx+1+1x+1
=x+1x+1
=1.
【解析】(1)根据单项式乘单项式的法则计算即可；
(2)根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可．
本题考查了单项式乘单项式，分式的加减，熟练掌握这两个运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了作图-平移变换、旋转变换，熟记平移变换与旋转变换的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AB//EF，
∴∠B=∠E，
在△ABD和△FEC中，
BD=CE∠B=∠EAB=EF，
∴△ABD≌△FEC(SAS).
【解析】由平行线的性质推出∠B=∠E，又BD=CE，AB=EF，即可证明△ABD≌△FEC(SAS).
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS.
19.【答案】(1)解：如图，AP为所作；
(2)证明：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠DAP，
在△ABP和△ADP中，
AB=AD∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴PB=PD.
【解析】(1)利用基本作图作∠BAC的角平分线即可；
(2)通过证明△ABP≌△ADP得到PB=PD.
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
20.【答案】解：设七年级捐款的人数为x人，则八年级捐款的人数为(x+20)人．
由题意得：4800x=5000x+20，
解这个方程，得x=480.
经检验，x=480是原方程的解．
答：七年级捐款总人数为480人．
【解析】设出七年级捐款的人数，则可表示出八年级捐款的人数，根据两个年级人均捐款数相等列分式方程求解即可．
本题考查分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21.【答案】解：12x2+2x−1+12x2+4x+1+12x2−2x.
=32x2+4x
=x(32x+4).
【解析】根据整式的加法运算法则计算，再将结果提取公因式即可．
本题考查整式的加法，因式分解，熟练掌握整式的加法运算法则，提取公因式法因式分解是解题的关键．
22.【答案】真
【解析】解：(1)分式12x是真分式；
故答案为：真；
(2)x2−1x+2=x2−4+3x+2=(x+2)(x−2)+3x+2=x−2+3x+2；
(3)原式=2x−7+13x+2，
∵分式的值为整数，
∴x+2=±1或±13，
∴x=−1或−3或11或−15.
(1)认真读懂题意，利用题中给出的定义判断；
(2)依据题意化简即可；
(3)依据题意化简后分情况讨论出结果即可．
本题考查分式的运算，熟练掌握分式的化简运算方法，弄清定义，利用整体的数学思想是解题的关键．
23.【答案】4−4
【解析】解：(1)∵ a+b+(a−4)2=0，且 a+b≥0，(a−4)2≥0，
∴a+b=0，a−4=0，
∴a=4，b=−4.
故答案为：4，−4；
(2)∵a=4，b=−4，则OA=OB=4.
∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP+∠OPA=∠BPH+∠OBC=90∘，
∴∠OAP=∠OBC，
在△OAP与△OBC中，
∠POA=∠COB=90∘OA=OB∠OAP=∠OBC，
∴△OAP≌△OBC(ASA)，
∴OP=OC=1，
则P(0,−1)；
(3)S△BDM−S△ADN的值不发生改变．S△BDM−S△ADN=4.
连接OD，则OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45∘，∠OAD=45∘
∴OD=AD，
∴∠MDO=∠NDA=90∘−∠MDA，
在△ODM与△ADN中，
∠MDO=∠NDAOD=DA∠DOM=∠DAN=135∘，
∴△ODM≌△ADN(ASA)，
∴S△ODM=S△ADN，
∴S△BDM−S△ADN=S△BDM−S△ODM=S△BOD=12S△AOB=12×12AO⋅BO=12×12×4×4=4.
(1)由非负数的性质即可求出a，b的值，
(2)利用坐标的特点，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出结论；
(3)连接OD，则OD⊥AB，证得△ODM≌△ADN，利用三角形的面积进一步解决问题．
此题考查了一次函数的综合题，点的坐标特点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点；属于一个综合性题目．