2023-2024学年湖南师大附中八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南师大附中八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 0.3×10−6B. 3×10−6C. 3×10−7D. 3×107
2.下列三个分式12x2，5x−14(m−n)，3x的最简公分母是(
A. 4x(m−n)B. 2x2(m−n)C. 14x2(m−n)D. 4x2(m−n)
3.下列式子中，是最简二次根式的是( )
A. 12B. 5 3C. 8aD. 0.3
4.若a2=b3≠0，则a+ba−2b的值是( )
A. 45B. −45C. 54D. −54
5.化简： 54× 12+ 12的结果是( )
A. 5 2B. 6 3C. 3D. 5 3
6.如图，点C所表示的数是( )
A. 5B. − 3C. 1− 5D. − 5
7.若 (x−3)2=3−x成立，则x满足得条件( )
A. x≥3B. x≤3C. x>3D. xb，则a2>b2；②若a≠2，则(a−2)0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④三条边对应相等的两个三角形全等.上述命题的逆命题为真命题的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
9.若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m≤1且m≠−1B. m≥−1且m≠1
C. m−1且m≠1
10.已知xx2+1=13，则x2x4+x2+1的值是( )
A. 18B. 8C. 16D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在实数范围内分解因式：3a2−18=______.
12.已知5x=3，5y=2，则52x−3y=______.
13.若 x+1x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
14.若2m−n=3，则4−4m+2n=______.
15.如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为______m.
16.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.若AB= 5，∠CED=∠CDE，则△CDE的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(−13)−2+ ( 2−2)2+ 8−(π−2024)0.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+4x−3)÷x2+2x+12x−6，其中x= 2−2.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值．
20.(本小题7分)
已知：x= 3−1 3+1，y= 3+1 3−1.
(1)求x+y的值.
(2)求xy+yx+2的值.
21.(本小题7分)
如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30∘，在A处有一所中学，AP=120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响.
(1)学校是否会受到影响？请说明理由.
(2)如果受到影响，则影响时间是多长？
22.(本小题8分)
有两款售价相同的汽车，信息如下表所示：
(1)新能源车的每千米行驶费用是______元；(用含a的代数式表示)
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4600元和7200元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CB于点E，AD=3，BD=163，CD=4.
(1)求证：∠ACB=90∘；
(2)求点E到AB边的距离.
24.(本小题20分)
压轴题
(1)已知x，y，z为△ABC的三边长，且有( x+ y+ z)2=3( xy+ xz+ yz).试判断△ABC的形状并加以证明.
(2)已知x，y满足xy+3y−x−10=0，且x，y都是整数，求x的值.
(3)在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，B(−4,0)，在y轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形，求C点的坐标.(画图，在图上标出坐标)
(4)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘，∠ABC=135∘，AB=3 2，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值.
(5)我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”.如M=2x2−x+6与N=−2x2+x−1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5.已知关于x的多项式C=mx2+8x+2与D=−m(x+1)(x+n)互为“对消多项式”，“对消值”为t.若a−b=m，b−c=mn，求代数式a2+b2+c2−ab−ac−bc+2t的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0.0000003=3×10−7.
故选：C.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n(1≤|a|b2，则a可能大于b，也可能小于b，故①不符合题意；
②若(a−2)0=1，则a≠2，正确，故②符合题意；
③面积相等的三角形不一定全等，故③不符合题意；
④全等三角形的对应边相等，正确，故④符合题意．
∴上述命题的逆命题为真命题的个数是2个．
故选：C.
由零指数幂成立的条件，全等三角形的判定和性质，实数的大小比较方法，即可判断．
本题考查命题与定理，零指数幂，全等三角形的判定和性质，实数的大小比较，掌握以上知识点是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：xx−1+1=m1−x，
两边同乘(x−1)，去分母得：x+x−1=−m，
移项，合并同类项得：2x=1−m，
系数化为1得：x=1−m2，
∵原分式方程的解为非负数，
∴1−m2≥0，且1−m2≠1
解得：m≤1且m≠−1，
故选：A.
解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x=1−m2是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵xx2+1=13，
∴x2+1=3x，
即x2−3x+1=0，
∴x≠0，
∴方程两边都除以x得，x−3+1x=0，
即x+1x=3，
∴x4+x2+1x2
=x2+1+1x2
=(x+1x)2−2+1
=32−2+1
=8，
∴x2x4+x2+1=18，
故选：A.
先把已知条件变形为x+1x=3，再求x4+x2+1x2的值，然后求其倒数即可．
本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键．
11.【答案】3(a+ 6)(a− 6)
【解析】解：3a2−18
=3(a2−6)
=3(a+ 6)(a− 6).
故答案为：3(a+ 6)(a− 6).
首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】98
【解析】解：∵5x=3，5y=2，
∴52x−3y
=(5x)2÷(5y)3
=32÷23
=9÷8
=98.
根据同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方法则进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
13.【答案】x≥−1且x≠1
【解析】解：由题意，得
x+1≥0且x−1≠0，
解得x≥−1且x≠1，
故答案为：x≥−1且x≠1..
根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式组是解题关键．
14.【答案】−2
【解析】解：∵2m−n=3，
∴4−4m+2n
=4−2(2m−n)
=4−2×3
=−2，
故答案为：−2.
把代数式4−4m+2n变形为4−2(2m−n)，然后整体代入求值即可．
本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入思想求值是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为(x+2)米，
由勾股定理得，(x+2)2=x2+62，
解得x=8.
答：旗杆的高度是8米
故答案为：8
根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
16.【答案】32
【解析】解：如图，∵∠CED=∠CDE，
∴CE=CD，
∵∠CFE=∠CGD=90∘，DG=CF，
∴Rt△CEF≌Rt△DCG(HL)，
∴EF=CG，
∴AE=EH=EF=BF=CG=FG，
∵AB2=AE2+BE2=AE2+(2AE)2=( 5)2，
∴AE=1，BE=2，
∴EH=DH=1，
∴DE= 2，
连接CH交DE于M，
∴CH垂直平分DE，
∴DM=12DE= 22，∠CMD=90∘，
∴CM= CD2−DM2=3 22，
∴△CDE的面积为12DE⋅CM=12× 2×3 22=32，
故答案为：32.
根据等腰三角形的性质得到CE=CD，根据全等三角形的性质得到EF=CG，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正方形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(−13)−2+ ( 2−2)2+ 8−(π−2024)0
=9+2− 2+2 2−1
=10+ 2.
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式=x−3+4x−3⋅2(x−3)(x+1)2
=x+1x−3⋅2(x−3)(x+1)2
=2x+1，
当x= 2−2时，原式=2 2−2+1=2 2−1=2( 2+1)=2 2+2.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵AB=3，BD=2，
∴AD= AB2−BD2= 32−22= 5，
又∵∠ADC=90∘，
∴AC= AD2+CD2= ( 5)2+12= 6，
∴AC的值是 6.
【解析】首先在Rt△ABD中，根据AB=3，BD=2，应用勾股定理，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ACD中，根据AD、CD的长度，应用勾股定理，求出AC的值是多少即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20.【答案】解：(1)∵x= 3−1 3+1=( 3−1)22=2− 3，y= 3+1 3−1=( 3+1)22=2+ 3，
∴x+y=2− 3+2+ 3=4；
(2)∵x+y=4，xy=(2+ 3)(2− 3)=1，
∴原式=x2+y2+2xyxy=(x+y)2xy=421=16.
【解析】(1)先分母有理化得到x=2− 3，y=2+ 3，然后计算它们的和即可；
(2)先计算出xy=1，再通分得到原式=(x+y)2xy，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
21.【答案】解：(1)学校会受到噪音影响，理由如下：
如图，过点A作AB⊥MN于点B，
∵AP=120米，∠QPN=30∘，
∴AB=12AP=12×120=60(米)，
∵60米0.08x+7200，
解得：x>5000，
答：每年行驶里程超过5000千米时，使用新能源车的年费用更低．
(1)根据表中数据，每千米行驶费用=电池电量×电价÷续航里程即可求解；
(2)①由题意可得，由燃油车的每千米行驶费用-新能源车每千米行驶费用=0.52即可求解；
②设每年行驶里程为x千米，新能源车的年费用更低，根据题意可列出关于x的不等式，求解即可．
本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
23.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
∵AD=3,BD=163,CD=4，
∴AC= AD2+CD2=5，BC= CD2+BD2=203，
∵AB2=(AD+BD)2=6259，
∴AC2+BC2=25+4009=6259=AB2，
∴∠ACB=90∘；
(2)解：过点E作EF⊥AB，
∵∠ACB=90∘，AE平分∠CAB，
∴CE=EF，
∵S△ABC=12×AC×CE+12×AB×EF=12×AC×BC，
∴5×EF+253×EF=5×203，
解得：EF=52，
即点E到AB的距离为52.
【解析】(1)根据勾股定理求出AC，BC，再求出AB2，根据AC2+BC2=AB2，即可证明结论；
(2)过点E作EF⊥AB，根据角平分线的性质得到CE=EF，利用两种方法表示出△ABC的面积，得到方程，即可求出EF.
本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理证明直角三角形．
24.【答案】解：(1)∵( x+ y+ z)2=3( xy+ xz+ yz).
∴x+y+z+2 xy+2 xz+2 yz=3 xy+3 yz+3 xz，
∴x+y+z− xy− xz− yz=0，
∴2x+2y+2z−2 xy−2 xz−2 yz=0，
∴( x− y)2+( x− z)2−( y− z)2=0，
∴ x− y=0， x− z=0， y− z=0，
∴x=y，x=z，y=z，
∴x=y=z，
∴△ABC是等边三角形；
(2)∵xy+3y−x−10=0，
∴y=x+10x+3=1+7x+3，
∵x，y是整数，
∴x=−2或10或4或−4；
(3)如图，
∵A(0,3)，B(−4,0)，
∴AB=5，
设C(0,a)，
①当AB=AC=5时，a=8或−2，
∴C(0,8)或(0,−2)；
②当AB=BC=5时，OA=OC，
∴C(0,−3)；
③当AC=BC时，点C在AB的垂直平分线上，过点C作CD⊥AB，
∴AD=BD=52，
∴∠AOB=∠ADC=90∘，
∴△AOB∽△ADC，
∴ACAB=ADAO，即AC5=523，
解得AC=256，
∴OC=256−3=76，
∴a=−76
∴C(0,−76)；
综上所述，点C的坐标为(0,8)或(0,−2)或(0,−3)或(0,−76)；
(4)分别作点B关于AD，CD的对称点M，N，连接MN交AD，CD于点E，F连接BE，BF，
此时△BEF的周长最小，最小值为MN，延长AB，过点M作MH⊥AB，
∵AB=3 2，BC=1，
∴BM=2，BN=6 2，
∵∠ABC=135∘，
∴∠HBM=45∘，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BH=HM= 2，
∴HN=7 2，
在Rt△HMN中，MN= HN2+HM2=10，
∴△BEF周长的最小值为10；
(5)∵C=mx2+8x+2和D=−m(x+1)(x+n)=−mx2−(mn+m)x−mn；
∴C+D=(8−mn−m)x+(2−mn)，
∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t，
∴8−mn−m=0，t=2−mn，
∴mn+m=8，mn=8−m，
∵a−b=m，b−c=mn，
∴a−c=(a−b)+(b−c)=m+mn=8，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ac+2t
=12[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]+2t，
，=12[m2+(mn)2+82]+2(2−mn)，
=12[m2+(8−m)2+8]+2(2−8+m)，
=m2−6m+52，
=(m−3)2+43≥43.
答：代数式a2+b2+c2−ab−bc−ac+2t的最小值是43.
【解析】(1)对式子进行变形，得出x=y=z即可解答；
(2)先用含x的式子表示y，再分类讨论即可解答；
(3)根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可求解；
(4)分别作点B关于AD，CD的对称点M，N，连接MN交AD，CD于点E，F连接BE，BF，此时△BEF的周长最小，延长AB，过点M作MH⊥AB，构造直角三角形，利用勾股定理即可解答；
(5)先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得8−mn−m=0.t=2−mn.a−c=m+mn=8，进然后再对所求代数式进行配方变形求解即可．
本题考查整式的运算，乘法公式，等腰三角形的性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．燃油车
新能源汽车
油箱容积：50升
电池容量：80千瓦时
油价：7.2元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：50×7.2a元
每千米行驶费用：_____元