2024届广西柳州市高三下学期三模考试 数学试题

这是一份2024届广西柳州市高三下学期三模考试 数学试题，共10页。试卷主要包含了若，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间 120分钟 满分 150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
3．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．3
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A． B．10.1 C． D．
5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．10种
6．已知是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）
A．必在圆内 B．必在圆上
C．必在圆外 D．与圆的关系与有关
8．设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的，都有，若函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）
A．当时，与平面所成角为
B．当时，有且仅有一个点，使得
C．当时，平面平面
D．若，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若是偶函数，则_________。
13．已知过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线交于两点，若，则_________。
14．在中，角的对边分别为的平分线交于，且，则的最小值为_________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面是中点。
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值。
16．已知数列满足：。
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和。
17．某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
附：参考公式：，
参考数据：
（1）求的值；
（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；
（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望。
18．已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若为的导函数，设。证明：对任意
19．是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设，过点的直线与曲线交于两点（点在轴上方）。为直线的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程。
柳州市2024届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
2024.3
一、选择题
二、多选题
三、填空题
12． 13．3 14．18
四、解答题
15．（1）平面 1分
四边形为正方形，
平面 2分
又平面． 3分
为中点， 4分
平面． 5分
（2）两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 6分
则
7分
设平面的法向量
则，令，得 9分
平面，故平面的法河量 11分
12分
二面角的余弦值为 13分
16．解：（1）当时，由，得 1分
当时，
3分
两式相减，得 4分
5分
当时， 6分
综上可知， 7分
（2）由题意 8分
9分
12分
14分
15分
18．（1）由，得， 1分
解得． 3分
（2） 4分
而，
， 6分
7分
所求的线性回归方程为： 8分
（3）由（2）可知，， 9分
故有效数据为 10分
的取值可能为0，1 11分
12分
13分
则的分布列为
15分
注：若第（2）问代整数计算：
7分
所求的线性回归方程为： 8分
由（2）可知，， 9分
故有效数据为 10分
的取值可能为
11分
12分
13分
则的分布列为
15分
18．（1） 1分
3分
函数在点处的切线方程为： 3分
（2）函数的定义域为
令 4分
当时，，故在单调递减 5分
， 6分
当时，单调递增
当时，单调递增
的单调递增区间为，单调递增区间为 8分
（3） 10分
令 11分
当时，单调递增；当时，单调递减 13分
14分
令
当时，单调递增，故 15分
16分
17分
19．（1）设，直线的倾斜角为，则 1分
3分
4分
5分
由于位于第一象限，位于第四象限，
所以的轨迹方程 7分
（2）设 8分
联立：，化简得： 9分
直线，直线 10分
联立消去得： 13分
又 14分
15分
故点，直线的斜率为：
联立，消去化简得：
故
直线的方程为 17分试销单价（百元）
1
2
3
4
5
6
产品销量（件）
91
86
78
73
70
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
C
A
C
B
A
D
9
10
11
选1个（A或C
选2个（AC）
选1个（B或C或D）
选2个（BC或BD或CD
选3个（BCD）
选1个（A或C或D）
选2个（AC或AD或CD）
选3个（ACD）
3分
6分
2分
4分
6分
2分
4分
6分
0
1
0
1
2