2023-2024学年江苏省常州市武进高级中学高二（下）学情调研数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市武进高级中学高二（下）学情调研数学试卷（3月份）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知f′(x0)=a，则lim△x→0f(x0+△x)−f(x0−3△x)2△x的值为( )
A. −2aB. 2aC. aD. −a
2.某质点的位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y=at4+ln(t+1)，其中a为常数.若当t=1时，该质点的瞬时速度为1m/s，则当t=2时，该质点的瞬时速度为( )
A. 113m/sB. 3m/sC. 133m/sD. 143m/s
3.已知曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，则k的值为( )
A. 4B. 2C. −3D. −6
4.若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线l：x+y−6=0的距离的最小值为( )
A. 2 2B. 3 2C. 5 22D. 9 22
5.已知函数f(x)=x− 2sinx,x∈[0,π]，则f(x)的最大值为( )
A. π4−1B. 0C. πD. π2− 2
6.若函数f(x)=x−4x−alnx单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−4]C. [−4,4]D. (−∞,4]
7.若过点P(t,0)可以作曲线y=(1−x)ex的两条切线，则t的取值范围是( )
A. (−3,1)B. (1,+∞)
C. (−∞,−3)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)
8.若对任意的x1，x2∈(m,+∞)，且x10时，f(x)≥12x3+x2+2−2ex−2lnx恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx−x−1x+1，a∈R．
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2．
(Ⅰ)求a的取值范围；
(Ⅱ)证明：f(x1)−f(x2)x1−x2>a−2a2a−1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查导数的基本概念，考查函数在x0处的极限的定义，属于基础题．
根据f′(x0)=a，且lim△x→0f(x0+△x)−f(x0−3△x)2△x
=2lim4△x→0f(x0+△x)−f(x0−3△x)4△x，运算可得结果．
【解答】
解：因为f′(x0)=a，
又lim△x→0f(x0+△x)−f(x0−3△x)2△x
=2lim4△x→0f(x0+△x)−f(x0−3△x)4△x
=2f’(x0)=2a．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：由函数关系式y=at4+ln(t+1)，
得其导函数为：y′=4at3+1t+1，
由于当t=1时，该质点的瞬时速度为1m/s，
将t=1代入导函数，得4a+12=1，
所以a=18，
则由函数关系式y=18t4+ln(t+1)，其导函数为：y′=12t3+1t+1，
将t=2代入导函数，得12×23+12+1=133，
所以当t=2时，该质点的瞬时速度为133m/s．
故选：C．
质点在某时刻的瞬时速度即为该函数在该时刻的导数值，先将t=1代入导函数，求出a的值，再将t=2代入导函数求值即可．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵y=x+kln(1+x)，∴y′=1+k1+x，
又曲线y=x+kln(1+x)在点(1,1)处的切线与直线x+2y=0垂直，
∴1+k2=2，即k=2．
故选：B．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系求解k的值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：直线l：x+y−6=0，
则直线l的斜率为−1，
y=lnx−x2，
则y′=1x−2，
令1x−2x=−1，解得x=1(负值舍去)，
当x=1时，y=−1，
故平行于直线l：x+y−6=0且与直线y=lnx−x2相切的切点坐标为(1,−1)，
所以点P到直线l：x+y−6=0的距离的最小值为：|1−1−6| 2=3 2．
故选：B．
根据已知条件，结合导数的几何意义，以及点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：f(x)=x− 2sinx,x∈[0,π]，
f′(x)=1− 2csx=0，x=π4，
f(x)在[0,π4]上f′(x)0，f(x)单调递增；
f(0)=0，f(π)=π，
所以在x=π处取得最大值π．
故选：C．
本题利用导数判断f(x)的单调性，即可求出最大值．
本题考查三角函数的最值和利用导数求函数最值，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：依题意f′(x)=1+4x2−ax=x2−ax+4x2≥0，即x2−ax+4≥0对任意x>0恒成立，
即a≤4x+x恒成立，因为4x+x≥2 x×4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，所以a≤4，
所以a的取值范围为(−∞,4]．
故选：D．
由f′(x)≥0恒成立分离常数a，利用基本不等式求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设切点(x0,(1−x0)ex0)，
由y=(1−x)ex，得y′=−ex+(1−x)ex=−xex，
则过切点的切线方程为y−(1−x0)ex0=−x0ex0(x−x0)，
又切线过(t,0)，∴−(1−x0)ex0=−x0ex0(t−x0)，
整理得：x02−(t+1)x0+1=0有两个不相等实根x1，x2，
由Δ=(t+1)2−4>0，得t>1或t