2024永州一中高二下学期3月月考数学试题含解析

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2．C【详解】的展开式的通项公式为，则的展开式中的系数为，故选：C
3．A【详解】∵，∴，所以，又当时，，所以在点处的切线方程为：，即.故选：A.
4．A【详解】，当时，，故当时，恒成立，排除BD，，
令得：，此时单调递增，令得：，此时单调递减，其中，排除C，故当时，取得最大值，故A正确.故选：A
5．B【详解】用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为．
以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为，由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为．故选：B
6．C.【详解】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、，
若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组，
则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种；
若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇，
只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种.
接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为种.故选：C.
7．D【详解】将《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有种基本事件，事件A包含的基本事件数为：，则，
同理，事件AB包含的基本事件数为：，则，
事件AC包含的基本事件数为：，则，
因为，故A错误；因为，故B错误；
因为，故C正确；因为，故C错误；故选：D
8．A【详解】因为，所以，构造函数，
则，所以函数在上单调递增，
又，所以，即，所以，故选：A.
9．ABC【详解
，因此在的展开式中没有常数项，A正确；
的展开式的所有二项式系数的和为，B正确；
的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C正确；
当时，的展开式的所有项的系数和为，D错误.故选：ABC
10．BC【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；
对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；
对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；
对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误；
故选：BC
11．ACD【详解】，令，
得，故A正确
，，令得
，得，故在上为减函数，在上为增函数．当时，；当时，且，的大致图象如上图
只有一个零点，故B错．
记，则在上为减函数，对恒成立，对恒成立，．故C正确．
，，设，
只有一个极值点， 只有一个解，即直线与的图象只有一个交点．，
在上为增函数，令，得，
当时，；当时，．
在上为减函数，在上为增函数，
，时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）：直线与它只有一个交点，则．故D正确．故选：ACD．
12．或0.4【详解】设第一次抽红球为事件，第一次抽蓝球为事件，第二次抽蓝球为事件，.故答案为：.
13．【详解】
被6整除，
由能被6整除，可得能被6整除，则n的值可以为5.故答案为：5
14．【详解】 由题意，原不等式可变形为，
即，设，则当时，恒成立，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，，因为在上单调递增，
所以要使，只需， 取对数，得，
因为，所以．令，因为，
所以在上单调递增，所以，所以，则.
15.【详解】【小问1详解】当时，，得，
当时，由得，，两式相减得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. 7分
【小问2详解】由（1）知，所以时，，
因此，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 13分
16.【详解】解：（1）∵，
令，可得，令，可得，
∴． 5分
（2）①． 10分
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第项系数的绝对值最大，则，所以，解得
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 15分
17.【详解】（1）证明：∵平面ABC，∴，又∵，，
∴平面PBC，∴，又∵，，∴平面ACD． 5分
（2）如图建系，不妨设，∴，，，
∴，，，，
，，，
设平面CAD和平面ADE的一个法向量分别为，，
∴，
设二面角的平面角为θ，，所成角为φ，
∴．
，故存在，． 15分
18．【详解】（1）设椭圆的右焦点，由右焦点到直线的距离为，
可得，解，又由椭圆的离心率为，可得，解得，则，
所以椭圆的方程为. 4分
（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，
联立方程组，解得或，
所以，，此时. 9分
②猜测：.证明如下：
设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设.，则，，
又由
故，
因为，，
所以
故. 17分
19．【详解】（1）的定义域是，
.令，则.
当，即时，对恒成立，的增区间为，无减区间；当，即时，则解得，
若，则由得或，
得，此时函数的增区间为
和，减区间为；
同理可得当时，，此时的减区间为，增区间为.
7分
（2）若函数图象上存在两点使得，即，所以
① 当时，对任意的，且都成立；
②当时，有，设，则，
记函数，则.
所以当时，，所以函数在区间上单调递增.又因为，所以当时，，即方程在区间上无解，综上，存在实数，满足题意.