2024荆州沙中学高二下学期3月月考数学试题含解析

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命题人：叶世安 审题人：冷劲松
考试时间：2024年3月21日
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. “”是“为椭圆方程”是
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】依题意有,解得,故选.
2. 已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的标准方程的相关知识即可得解.
【详解】依题意，设抛物线方程为，
由焦点坐标为，得，即，
所以抛物线的标准方程为.
故选：B.
3. 在等差数列中，，那么该数列的前14项和为（ ）
A. 20B. 21C. 42D. 84
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的过程为d，利用基本量代换，求出，代入前n项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的过程为d，
因为，
所以，
即，所以，
所以.
故选：B
4. 设等比数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设数列的公比为，由等比数列的通项公式及求和公式求解即可．
【详解】解：设数列的公比为，
∵，
∴，解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查等比数列的前项和，属于基础题．
5. 已知点D在确定的平面内，O是平面外任意一点，正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间四点共面的性质，结合基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，且四点共面，
由空间四点共面的性质可知，即，
又，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
6. 若函数有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过导数求解函数的单调区间，得到其最小值，令最小值小于等于零进行求解即可.
【详解】已知函数，则，，
当时，；当时，.
在区间上单调递减；在区间上单调递增.
所以，则，又，
所以.
故选：C.
7. 已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案．
【详解】解：，
当时，，即，解得；
当时，恒成立，
的零点为．
又当时，为增函数，故在，上无极值点；
当时，，，
当时，，当时，，
时，取到极小值，即的极值点，
．
故选：C．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．
8. 直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率.
【详解】如图所示，
因为，所以，
所以，
设，
则，两式相减得，
则，
因为直线，为线段中点，，
所以，，
代入上式得，则，
所以椭圆的离心率.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 偶函数
B. 是周期函数
C. 在区间 上，有且只有一个极值点
D. 过 作y=的切线，有无数条
【答案】AC
【解析】
【分析】根据 的解析式，分别其对称性，周期性，单调性以及切线方程作出分析.
【详解】显然 ，A正确；
显然不是周期函数， B错误；
对于 C， ，令 ，当 时， ，则 单调递减，
又 ，故 在 上只有一个解，C正确;
对于 D，设切点为 ，则切线方程为，
代入(0，0)，有，得t= 0或 ，若 ，则切线方程为；
若 ，则切线方程为，故有且仅有3 条切线，D错误；
故选：AC.
10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A. 是它的一条对称轴B. 它的离心率为
C. 点是它的一个焦点D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及即可逐一判断求解.
【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，
容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，
所以，其中一个焦点坐标应为而不是，
由双曲线定义可知．
故选：ABD.
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 定义域是（0，+）
B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C. 存在单调递增区间
D. 有且仅有两个极值点
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据可得定义域，即可判断；通过当时，可判断；
【详解】由题意函数满足，解得且，
所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，
∴，所以在上图象都在轴的下方，所以B正确；
∵，设，
所以，函数单调增，，，
所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；
则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；
故选：BC.
【点睛】本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求出导函数，建立与的方程，求出，利用极限的运算及导数的定义求解即可.
【详解】当时，，所以，
又，
则，解得，
由定义可知，.
故答案为：
13. 已知直线与圆：交于，两点，写出满足“是等边三角形”的的一个值：______.
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系以及弦长公式求解.
【详解】
因为是等边三角形，所以，
设圆心到直线的距离为，
则根据弦长公式可得：，解得：.
即，解得.
故答案为：（或，答案不唯一）
14. 在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设，根据，结合数量积运算，求得，进而表示出的面积，结合面积有最小值即可求得，即可求得答案.
【详解】以点D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
因为，故，即，
由于平面，平面，故，
所以的面积为，
而，
故，当时，取最小值，即S最小，
此时，则，
故，即，
故答案为：
【点睛】方法点睛：由于是在正方体中求解线段长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合面积最小，求出参数，即E点的坐标，从而解决问题.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对任意，成立，求实数m的最大值．
【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值
（2）4
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值；
（2）对任意，成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解.
【小问1详解】
由，得，
令，得；令，得，
∴的单调增区间是，单调减区间是，
故在处有极小值，无极大值；
【小问2详解】
由及，得恒成立，
令，则，
由，由，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
因此，所以m的最大值是4．
16. 在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点．
（1）证明：平面平面.
（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）说明，再推出，即可证明平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，假设平面与平面的夹角能为，根据空间角的向量求法可得方程，根据该方程解的情况，即可得出结论.
【小问1详解】
因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点，
故；
又底面，底面，故，
又平面，故平面，
又平面，故平面平面；
【小问2详解】
由已知可知，，且D为的中点，
则，即四边形为平行四边形，
故，由底面，得底面，
因为平面，所以，
以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
结合（1）可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，而，
故，即，令，则，
假设平面与平面的夹角能为，
则，即，此方程无解，
假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.
17. 已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4.
（1）求椭圆方程.
（2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设，的坐标分别为，，由椭圆的几何性质可得，解可得、的值，计算可得的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；
（2）假设存在斜率为1的直线，设其方程为，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系分析，用表示，计算可得的值，分析可得结论．
【小问1详解】
根据题意，设，的坐标分别为，，
根据椭圆的几何性质可得，
解得，，则，
故椭圆的方程为．
【小问2详解】
假设存在斜率为的直线，那么可设为，
则由（1）知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，
圆心到直线的距离，得，即，
则，
联立得，
设，，，，
则，得，故，
，，
，
由可得
解得，得．
即存在符合条件的直线．
18. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．
【答案】18. ,
19.
20. 0
【解析】
【分析】（1）求导即可得结论;
（2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;
（3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.
【小问1详解】
求导易知,.
【小问2详解】
构造函数，，由（1）可知，
①当时，由,
可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，
存在唯一，使得，
故当时，，
则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
【小问3详解】
，，
令，则；
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．
19. 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
（1）若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
（3）设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．
【答案】（1）不M数列，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）确定数列无上限即可得；
（2）由等比数列的基本量法求出Sn，根据数列新定义证明即可；
（3）用反证法，假设存在正整数k，使得，由数列是各项均为正整数，得，即，然后利用新定义归纳，这样由可得数列从某一项开始为负，与已知矛盾，从而证得结论．
【小问1详解】
由题意知，故，
则，故，
但等差数列为严格增数列，当时，，所以不是M数列；
【小问2详解】
由，则，即，有，则，
即，则，
则，
又，
即对任意大于零的自然数n，满足条件，且，
即数列是M数列；
【小问3详解】
假设存在正整数k使得成立，
由数列的各项均为正整数，可得，即，
因为，所以，
由及得，
故，因为，
所以，
由此类推可得，
因为又存在M，使，
∴当时，，这与数列的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，
即任意大于零的自然数n，都有成立.