2024南充嘉陵一中高二下学期3月第一次月考试题数学含答案

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满分150分 考试时间：120分钟
第一部分 （选择题 共48分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．等差数列an中，a2=5，a6=33，则a3+a5=（ ）
A．19B．38C．28D．14
2．下列求导运算正确的是（ ）
A．xlnx′=lnx+1(lnx)2B．x2+ex′=2x−ex
C．(xcsx)′=−sinxD．x−1x′=1+1x2
3．在数列an中，若a1=1，an+1=42−an，则a12=（ ）
A．1B．−43C．4D．−2
4．若点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−2的最小距离为（ ）
A．2B．3C．2D．5
5．已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=1,−3，记P的轨迹为E，则（ ）
A．E是一个半径为5的圆B．E是一条与l相交的直线
C．E上的点到l的距离均为5D．E是两条平行直线
6．已知F1,F2分别为双曲线E： x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与E的左、右两支分别交于A,B两点．若△ABF₂是等边三角形，则双曲线E的离心率为（ ）
A．23B．3C．7D．5
7．若函数fx=alnx−bx在点(1,f(1))处的切线的斜率为2，则a2+b2a+b的最小值为（ ）
A．12B．34C．32D．1
8．已知首项为1的数列an，且n+2an+1=2nan对任意正整数n恒成立，则数列an2n的前n项和Sn为（ ）
A．n+1n+2 B．2n+1n+2C．nn+1D．2nn+1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知fx，gx在R上连续且可导，且f'x0≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A．limΔx→0fx0−Δx−fx0Δx=f'x0 B．limΔℎ→0ft+Δℎ−ft−Δℎ2Δℎ=f't
C．limΔx→0fx0+3Δx−fx03Δx=f'x0 D．limΔx→0gx0+Δx−gx0fx0+Δx−fx0=g'x0f'x0
10．已知椭圆x29+y25=1的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABF2的周长为12 B．椭圆的离心率为53
C．△AF1F2面积最大值为25D．AF2+BF2的最大值为263
11．如图，P1是一块半径为1的圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形P3，P4，⋯，Pn，⋯，记纸板Pn的周长为Ln，面积为Sn，则下列说法正确的是（ ）
A．L3=74π+12 B．S3=1132π
C．Ln=π2−12n−1+12n−1 D．Sn+1=Sn−π22n+1
第二部分 （非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知fx=esinx，则f′x= ．
13．数列an满足前n项和Sn=n2−3n+2，则数列an的通项公式为 .
14．已知函数f(x)=2x3−mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a,b)，
若b−a≤2，则m的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，在四棱锥E−ABCD中，EA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2,AD=1,EA=3,F为EC中点，AG=14AB．
(1)求证：EC⊥平面DFG；
(2)求二面角F−DG−C的余弦值．
16．（15分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=2Sn−1n∈N*.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=2n+1an，求数列bn的前n项和Tn.
17．（15分）已知函数fx=x3+bx2+cx,gx=4x−2，若fx的图象在点1,f1处的切线方程为y=gx．
(1)求函数y=fx的解析式；
(2)如果Fx=fx−gx−ax2在区间2,4上是增函数，求实数a的取值范围．
18．（17分）已知P,Q是抛物线C:y=x2上两动点，直线l1,l2分别是抛物线C在点P,Q处的切线，且l1⊥l2，l1∩l2=M.
（1）求点M的纵坐标；
（2）求证直线PQ必经过一定点；
（3）求∆POM的面积的最小值.
19．（17分）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3=15，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，
（ⅰ）求数列bn的前n项和Tn；
（ⅱ）若不等式λTn−Sn+2n2≤0对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的最大值