人教A版高中数学选择性必修第一册全册综合检测含答案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册全册综合检测含答案，共10页。
全册综合检测(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l：x－2y＋k＝0(k∈R)过点(0,2)，则k的值为(　　)A．－4　　　　　　　　　 B．4C．2 D．－2解析：选B　由题意可得，0－4＋k＝0，解得k＝4.2．已知空间向量a＝(λ＋1,1，λ)，b＝(6，μ－1,4)，若a∥b，则λ＋μ＝(　　)A．3 B．－3C．5 D．－5解析：选C　因为a∥b，所以eq \f(λ＋1,6)＝eq \f(1,μ－1)＝eq \f(λ,4)，所以4λ＋4＝6λ，解得λ＝2，所以eq \f(1,μ－1)＝eq \f(1,2)，解得μ＝3，所以λ＋μ＝5.故选C.3.如图，空间四边形OABC中，eq \o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \o(OC,\s\up7(―→))＝c，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则eq \o(MN,\s\up7(―→))＝(　　)A.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)cB．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(2,3)cC.eq \f(2,3)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,3)cD．－eq \f(1,2)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c解析：选D　eq \o(MN,\s\up7(―→))＝eq \o(ON,\s\up7(―→))－eq \o(OM,\s\up7(―→))＝eq \o(OC,\s\up7(―→))＋eq \o(CN,\s\up7(―→))－eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(―→))＝eq \o(OC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \o(CB,\s\up7(―→))－eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(―→))＝eq \o(OC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OB,\s\up7(―→))－eq \o(OC,\s\up7(―→)))－eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \o(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c，故选D.4．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　　)A．8eq \r(3) B．2eq \r(3)C．4eq \r(3) D．4解析：选C　因为椭圆的2a＝8,2b＝4，所以a＝4，b＝2，因为a2＝b2＋c2，所以c2＝12⇒c＝2eq \r(3)，则2c＝4eq \r(3).故选C.5．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)A．－2 B．－4C．－6 D．－8解析：选B　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1,1)到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2).由22＋(eq \r(2))2＝2－a，得a＝－4.6．已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5eq \r(2)，则这个二面角的度数为(　　)A．30° B．45°C．90° D．150° 解析：选C　设这个二面角的度数为α，由题意得eq \o(CD,\s\up7(―→))＝eq \o(CA,\s\up7(―→))＋eq \o(AB,\s\up7(―→))＋eq \o(BD,\s\up7(―→))，∴eq \o(CD,\s\up7(―→))2＝eq \o(CA,\s\up7(―→))2＋eq \o(AB,\s\up7(―→))2＋eq \o(BD,\s\up7(―→))2＋2|eq \o(CA,\s\up7(―→))|·|eq \o(BD,\s\up7(―→))|cos(π－α)，∴(5eq \r(2))2＝9＋25＋16－2×3×4×cos α，解得cos α＝0，∴α＝90°，即这个二面角的度数为90°，故选C.7．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝eq \f(2,3)，则直线l过定点(　　)A．(－3,0) B．(0，－3)C．(3,0) D．(0,3)解析：选A　设直线l的方程为x＝my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(2,3).又yeq \o\al(2,1)＝2x1，yeq \o\al(2,2)＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．8．设椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1和双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值等于(　　)A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)C.eq \f(1,9) D．eq \f(3,5)解析：选A　由题意知，F1(－2,0)，F2(2,0)，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，,\f(x2,3)－y2＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝\f(9,2)，,y2＝\f(1,2).))取P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，则eq \o(PF1,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(3\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，eq \o(PF,\s\up7(―→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，cos∠F1PF2＝eq \f(\f(9,2)－4＋\f(1,2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(3\r(2),2)))2＋\f(1,2))· \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3\r(2),2)))2＋\f(1,2)))＝eq \f(1,3).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列各组向量中，是平行向量的是(　　)A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)解析：选ABC　对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量．10．已知点A(－1,1)，B(3,1)，直线l过点C(1,3)且与线段AB相交，则直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是(　　)A．相交 B．相离C．相切 D．不好确定解析：选BC　因为kAC＝1，kBC＝－1，直线l的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC方程为x＋y－4＝0，圆(x－6)2＋y2＝2的圆心(6,0)到直线BC的距离为eq \r(2)，因此圆(x－6)2＋y2＝2与直线BC相切，结合图象可知，直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是相切或相离．11．已知双曲线C过点(3，eq \r(2))且渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是(　　)A．C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1B．C的离心率为eq \r(3)C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点D．直线x－eq \r(2)y－1＝0与C有两个公共点解析：选AC　∵双曲线的渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x，∴设双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，又过点(3，eq \r(2))得λ＝1.故选项A正确；此时C的离心率e为eq \f(2\r(3),3)，故B选项错误；y＝ex－2－1经过C的焦点(2,0)，故选项C正确；联立直线和双曲线C的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D选项错误．12．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则eq \f(|OS|,|OR|)的可能取值是(　　)A．1 B．2C．3 D．4解析：选CD　由题意知，y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)．直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y＝k(x－2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝eq \f(4k2＋2,k2)，故x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2k2＋4,k2)，y0＝k(x0－2)＝eq \f(4,k)，所以kos＝eq \f(y0,x0)＝eq \f(2k,k2＋2)，直线OS的方程为y＝eq \f(2k,k2＋2)x，代入抛物线方程，解得x3＝eq \f(2k2＋22,k2)，由条件知k2>0.所以eq \f(|OS|,|OR|)＝eq \f(x3,x0)＝k2＋2>2. 故选C、D. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝10与直线l：2x＋y＝0，则圆C与直线l的位置关系是________．解析：由题意有圆心C(2,1)，半径r＝eq \r(10)，则圆心到直线l：2x＋y＝0的距离d＝eq \f(|2×2＋1|,\r(22＋1))＝eq \f(5,\r(5))＝eq \r(5)0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是_____________．解析：双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，可得eq \f(b,a)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝1＋eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，∴e＝eq \f(2\r(3),3).答案：eq \f(2\r(3),3)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)直线l经过两点(2,1)，(6,3)．(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．解：(1)由已知可得，直线l的斜率k＝eq \f(3－1,6－2)＝eq \f(1,2)，所以直线l的方程为x－2y＝0.(2)因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心坐标为(2a，a)．因为圆C与x轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线x＝2上，所以a＝1，所以圆心坐标为(2,1)，半径为1，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 eq \r(2)，且过点(4，－ eq \r(10))，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证： eq \o(MF1,\s\up6(―→))· eq \o(MF2,\s\up6(―→))＝0.解：(1)∵e＝ eq \r(2)，∴双曲线的实轴、虚轴相等．故可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－ eq \r(10))，∴16－10＝λ ，即λ＝6.∴双曲线方程为 eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,6)＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 eq \o(MF1,\s\up6(―→))＝(－2 eq \r(3)－3，－m)， eq \o(MF2,\s\up6(―→))＝(2 eq \r(3)－3，－m).∴ eq \o(MF1,\s\up6(―→))· eq \o(MF,\s\up6(―→))＝(－2 eq \r(3)－3)×(2 eq \r(3)－3)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴ eq \o(MF1,\s\up6(―→))· eq \o(MF2,\s\up6(―→))＝0.19.(12分)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E为BB1中点．(1)证明：AC⊥D1E；(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值．解：(1)证明：连接BD，∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC.在长方形ABCD中，AB＝BC，∴BD⊥AC.又BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，∵D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E.(2)以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，eq \o(AE,\s\up7(―→))＝(0,1,1)，eq \o(AD1,\s\up7(―→))＝(－1,0,2)，eq \o(DE,\s\up7(―→))＝(1,1,1)．设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·eq \o(AD1,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \o(AE,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋2z＝0，,y＋z＝0，))令z＝1，得n＝(2，－1,1)．∴cos〈n，eq \o(DE,\s\up7(―→))〉＝eq \f(2－1＋1,\r(3)·\r(6))＝eq \f(\r(2),3)，∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为eq \f(\r(2),3).20．(12分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋m(m>0)与抛物线C交于不同的两点M，N.(1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值；(2)若m＝2，求|MF|·|NF|的最小值．解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，对y＝eq \f(x2,4)求导得：y′＝eq \f(x,2)，故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为eq \f(x1,2)和eq \f(x2,2).又切线互相垂直，∴eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)＝－1，即x1·x2＝－4，把y＝kx＋m代入C的方程得x2－4kx－4m＝0.∴x1x2＝－4m.故m＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线定义可知|MF|＝y1＋1，|NF|＝y2＋1，由(1)和m＝2，知x1x2＝－8，x1＋x2＝4k，所以|MF|·|NF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋3)·(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9，所以当k＝0时， |MF|·|NF|取得最小值，且最小值为9.21．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，AD∥BC，AD＝CD＝1，BC＝2，二面角P­CD­A为45°，E为PD的中点，点F在PC上，且 eq \o(PC,\s\up6(―→))＝3 eq \o(PF,\s\up6(―→)).(1)求证：四边形ABCD为直角梯形；(2)求平面AEF与平面DAE夹角的余弦值．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为PD⊥CD，PA∩PD＝P，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AD.因为AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为直角梯形．(2)过点A作AD的垂线交BC于点M，则PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，－1，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，由(1)知CD⊥AD，又CD⊥PD，则∠PDA为二面角P­CD­A的平面角，所以∠PDA＝45°，PA＝1，所以P(0，0，1)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，所以 eq \o(AE,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))， eq \o(PC,\s\up6(―→))＝(1，1，－1)， eq \o(AP,\s\up6(―→))＝(0，0，1)，所以 eq \o(PF,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \o(PC,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))， eq \o(AF,\s\up6(―→))＝ eq \o(AP,\s\up6(―→))＋ eq \o(PF,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(2,3)))，设平面AEF的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n1·\o(AE,\s\up6(―→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up6(―→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,x＋y＋2z＝0，))令z＝1，则y＝－1，x＝－1，所以n1＝(－1，－1，1)，又平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)，设平面AEF与平面DAE的夹角为θ，所以cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ eq \f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)＝ eq \f(\r(3),3)，故平面AEF与平面DAE夹角的余弦值为 eq \f(\r(3),3).22．(12分)已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为eq \r(3)，椭圆C的长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得eq \o(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(λ,4)eq \o(OB,\s\up7(―→))，求m的取值范围．解：(1)由题意可得F1(0，c)，则eq \f(c2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1，解得x＝±eq \f(b2,a)，∴△MNF2的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(2b2,a)×2c＝eq \f(2b2c,a)＝eq \r(3).①∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，∴a＝2b.②又∵a2＝b2＋c2，③联立①②③解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程x2＋eq \f(y2,4)＝1.(2)当m＝0时，则P(0,0)，由椭圆的对称性得eq \o(AP,\s\up7(―→))＝eq \o(PB,\s\up7(―→))，即eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \o(OB,\s\up7(―→))＝0，∴m＝0时，存在实数λ，使得eq \o(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(λ,4)eq \o(OB,\s\up7(―→)).当m≠0时，得eq \o(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(λ,4)eq \o(OB,\s\up7(―→))，∵A，B，P三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒eq \o(AP,\s\up7(―→))＝3eq \o(PB,\s\up7(―→)).设A(x1，y1), B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,4x2＋y2－4＝0，))得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋4)，x1x2＝eq \f(m2－4,k2＋4).由eq \o(AP,\s\up7(―→))＝3eq \o(PB,\s\up7(―→))，得x1＝－3x2，即3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴eq \f(12k2m2,k2＋42)＋eq \f(4m2－4,k2＋4)＝0⇒m2k2＋m2－k2－4＝0, 显然m2＝1不成立，∴k2＝eq \f(4－m2,m2－1).∵k2－m2＋4>0，∴eq \f(4－m2,m2－1)－m2＋4>0，即eq \f(4－m2m2,m2－1)>0.解得－2