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2023年江西省吉安市吉安县城北中学中考数学二模试卷(含解析）
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这是一份2023年江西省吉安市吉安县城北中学中考数学二模试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.比1小2的数是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
2.计算(−ba)2⋅a3的结果为( )
A. ab2B. −ab2C. b2a5D. −b2a5
3.如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图(四次参加模拟测试的学生人数不变)，下列四个结论中不正确的是( )
A. 共有500名学生参加模拟测试
B. 从第1个月到第4个月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C. 第2个月测试成绩为“优秀”的学生达到50人
D. 第4个月增长的“优秀”人数比第3个月增长的“优秀”人数少
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=mx−n的图象和二次函数y=mx2+nx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B′C′D′.分别连接AB′，DC′(如图2所示)，下列有关四边形AB′C′D的说法正确的是( )
A. 先是平行四边形，平移 3个单位长度后是菱形
B. 先是平行四边形，平移 3个单位长度后是矩形，再平移2 3个单位长度后是菱形
C. 先是平行四边形，平移 3个单位长度后是矩形，再平移3 3个单位长度后是正方形
D. 在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若分式x−3x+2的值为零，则x的值为______．
8.若x+2y=4，x−2y=−1，则代数式x2−4y2的值为______．
9.若a，β是方程x2−2x−5=0的两个根，则α−αβ+β的值为______．
10.我国古代(易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为3×1+1×8+2×82=139，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了个单词______．
11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是______．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点，F为AC上的动点，将△ADF沿直线DF折叠得到△EDF，若DE与△ABC的边垂直，则AF的长是______．
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算： 12−(12)−1+| 3−2|．
(2)如图，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，求证：AB=2DE．
14.(本小题6分)
解不等式组：6−2x>05x+12+1≥2x−13，并将解集在数轴上表示出来．
15.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中作矩形ABCD关于点E成中心对称的图形．
(2)在图2中作以E为顶点的矩形．
16.(本小题6分)
某商家开展“抽奖赢优惠“活动，即购买商品的顾客获得一次摸球中奖的机会，小刘和小张同时购买了商品，商家提供了四个形状，大小、质地一样的一个红球和三个白球，其中只有摸到红球是中奖，
(1)若小刘先摸，则小刘中奖的概率为______；
(2)当商家让小刘先摸时，小张认为商家这种做法对他不公平，请用画树状图法或列表法计算两人中奖的概率来说明小张的质疑是否合理．
17.(本小题6分)
课本再现
(1)某景点的门票价格如下表．
某校七年级(1)(2)两个班共102人去游览该景点，其中(1)班人数较少，不到50人，(2)班人数较多，有50多人.若两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元.问两个班各有多少名学生？
拓展应用
(2)在售票中心了解到，该景点为迎接劳动节推出了“买四赠一”的优惠活动(即每买4张12元的票可获得一张同等价值的赠票)，请通过计算说明七年级(1)(2)两班作为一个团体，应选择团体购票还是参加迎接劳动节赠票方式购票．
18.(本小题8分)
学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n=sinαsinβ称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm．
(1)求入射角α的度数．
(2)若BC=7cm，求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
19.(本小题8分)
如图，一次函数y=12x−3的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点D，C为反比例函数y=kx(x>0)的图象上的点，且CA⊥AB于点A，连接BC．
(1)求△AOD的面积．
(2)若AC=2AB，求k的值．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠C=30°，D是BC上的动点，以D为圆心，DC的长为半径作圆交AC于点E，F，G分别是AB，AE上的点，将△AFG沿FG折叠，点A与点E恰好重合．
(1)如图1，若CD=8 3−12，求证：⊙D与直线AB相切．
(2)如图2，若⊙D经过点B，连接ED．
①BE的长是______；
②判断四边形BFED的形状，并证明．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
观察发现
(1)线段BC与AB的数量关系为______；
拓展迁移
(2)当点D在线段AC上(点D不与点A，C重合)时，判断线段CE与AD之间的数量关系，并说明理由．
类比运用
(3)过点A作AN//DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值．
22.(本小题12分)
已知抛物线y=12mx2−mx−4m与x轴交于A，B两点(点B位于点A的右侧)，与y轴交于点C，P是抛物线上的一动点，横坐标为t．
(1)下列说法正确的是______.(填序号)
①抛物线开口向上
②当x>1时，y随着x的增大而增大
③点A，B的坐标分别为(−2,0)，(4,0)
④若点P在x轴下方，则−2(2)如图，若m=1，点P位于第四象限，过点P作x轴的平行线交BC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD+PE的线大值及此时点P的坐标．
(3)在(2)中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1−2=−1．
故选：B．
比1小2的数是多少，即求1与2的差是多少．
本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．
2.【答案】A
【解析】解：(−ba)2⋅a3=b2a2⋅a3=ab2，
故选：A．
先算乘方，再算乘法．
本题考查了分式的乘除法掌握运算法则算解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：C．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：A、测试的学生人数为：10+250+150+90=500(名)，正确，故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，正确，故不符合题意；
C、第2月增长的“优秀”人数为500×10%=50(人)，正确，故不符合题意；
D、第4月增长的“优秀”人数为500×17%−500×13%=20(人)，第3月增长的“优秀”人数500×13%−500×10%=15(人)，错误，故符合题意．
故选：D．
根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，与图象不符，不符合题意；
B，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，图象没过原点，与图象不合，不符合题意；
C，结合图象y=mx−n中，m>0，n<0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0，与图象不符，不符合题意；
D，结合图象y=mx−n中，m<0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0与图象符合，符合题意；
故选：D．
利用对称轴x=−b2a，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向逐个判断即可．
本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合．
6.【答案】B
【解析】解：A.在Rt△ABB′中，AB=3，BB′= 3，
∴AB′= AB2+BB′2= 32+( 3)2=2 3，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴AD=2AB=2×3=6，
∴BD= AD2−AB2=3 3，
∵△ABD≌△CDB，
∴CD=AB=3，BC=AD=6，
∴B′C′=6，
∴AB′≠B′C′，
∴四边形AB′C′D是平行四边形，但不是菱形，故A选项不符合题意；
B.当BB′= 3时，
∵tan∠AB′B=3 3= 3，
∴∠AB′B=60°，
∵∠CBD=30°，BC//B′C′，
∴∠C′B′D′=30°，
∴∠AB′C′=90°，四边形AB′C′D是平行四边形，
∴四边形AB′C′D是矩形，
当BB′=3 3时，AB′= AB2+BB′2= 32+(3 3)2=6=B′C′，
∴四边形AB′C′D是菱形，故B选项符合题意；
C.由B可知先是平行四边形，平移 3个单位长度后是矩形，
当BB′=4 3时，AB′= AB2+BB′2= 32+(4 3)2= 57≠B′C′，
∴四边形AB′C′D不是正方形，故C选项不符合题意；
D.由B知，Rt△BCD平移 3个单位长度后是矩形，移动的其它位置不是矩形，故一定不是正方形，故D选项不符合题意．
故选：B．
根据各种特殊的平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．
此题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，平移的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和直角三角形的性质．
7.【答案】3
【解析】解：∵x−3=0，x+2≠0，
∴x=3，
故答案为：3．
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
8.【答案】−4
【解析】解：由题意，x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，
又x+2y=4，x−2y=−1，
∴x2−4y2=4×(−1)=−4．
故答案为：−4．
依据题意，由x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，再结合x+2y=4，x−2y=−1，代入后即可得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并准确计算是关键．
9.【答案】7
【解析】解：∵a，β是方程x2−2x−5=0的两个根，
∴α+β=2，αβ=−5，
∴α−αβ+β
=α+β−αβ
=2+5
=7．
故答案为：7．
根据根与系数的关系，即可得出α+β、αβ的值，整体代入此题得解．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
10.【答案】156
【解析】解：由题意得：4×1+3×8+2×82=156个，
根据规律列式即可．
本题主要考查按规律列式的能力，发现规律是关键．
11.【答案】2
【解析】解：如图，连接BD，过点D作DH⊥BC于H，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴AB=AD=4，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠ABD=60°，
∴∠DBC=30°，
∵DH⊥BC，
∴DH=12BD=2，
∴点D到BC的距离是2，
故答案为：2．
由旋转的性质可得AB=AD=4，∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】2或2 3−2或2 33
【解析】解：∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2 3，
∴D是AB的中点，
∴AD=BD=2，
如图1，当DE⊥AC时，
由折叠可知，∠A=∠E=30°，AD=DE=2，
∵∠DGA=90°，
∴DG=12AD=1，
∴AG= 3，
∵∠EDF=∠FDA，∠ADE=60°，
∴∠EDF=∠E=30°，
∴DF=EF=FA，
∴AG=AF+12AF= 3，
∴AF=2 33；
如图2，当DE⊥AB时，∠ADE=90°，
由折叠可知∠ADF=∠EDF=45°，∠A=∠E=30°，
∴∠AGD=60°，∠EFG=30°，
∴GE=GF，
在Rt△ADG中，AD=2，DG=ADtan30°=2 33，AG=ADcs30∘=4 33，
∴GF=2−2 33，
∴AF=4 33−2+2 33=2 3−2；
如图3，当DE⊥BC时，
∵AC⊥BC，
∴DE//AC，
∴∠E=∠EFC=30°，∠BDE=∠A=30°，
∴∠EDA=∠EFA，
由折叠可知，∠EDF=∠ADF，∠EFD=∠DFA，
∴∠ADF=∠DFA，
∴AD=AF=2；
综上所述：AF的长为2或2 3−2或2 33；
故答案为：2或2 3−2或2 33．
分三种情况讨论：当DE⊥AC时，根据折叠的性质可推导出DF=EF=FA，则AG=AF+12AF= 3，求出AF的长；当DE⊥AB时，推导出GE=GF，在Rt△ADG中，求出DG=2 33，AG=4 33，则GF=2−2 33，可得AF=2 3−2；当DE⊥BC时，DE//AC，∠ADF=∠DFA，根据折叠和平行线的性质可推导出AD=AF=2．
本题考查翻折变换，含30°角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
13.【答案】(1)解： 12−(12)−1+| 3−2|
=2 3−2+2− 3
= 3；
(2)证明：在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴AC=2DE．
∴AB=2DE．
【解析】(1)先化简二次根式、负整数指数幂和去绝对值，然后计算加减法；
(2)首先由等腰三角形的判定与性质证得AB=AC；然后利用三角形中位线定理得到DE=12AC；最后推知AB=2DE．
本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定以及实数的混合运算，着重考查学生的推理能力和运算能力，难度不大．
14.【答案】解：由6−2x>0，得：x<3，
由5x+12+1≥2x−13，得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】解：(1)如图1中，矩形DCMN即为所求；
(2)如图2中，矩形DETN或矩形ECMT即为所求．
【解析】(1)连接AE，延长AE就熬BC的延长线于点M，连接BE，延长BE交AD的延长线于点N，连接MN，矩形DCMN即为所求；
(2)连接AC，BD交于点O，作射线OE交MN与点T，矩形DETN或矩形ECMT即为所求．
本题考查作图−旋转变换，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】解：(1)14；
(2)设红球是A，三个白球分别是B1，B2，B3，如图：
可知小刘先摸中奖的概率为14，小张后摸中奖的概率为312=14，
可见两人中奖的概率相等，所以小张的质疑不合理．
【解析】【分析】
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，计算出小刘和小张的概率，即可解答．
【解答】
解：(1)一个红球和三个白球，摸一个球，事件“摸到红球”的概率是14，则小刘中奖的概率为14．
(2)见答案．
17.【答案】解：(1)设七年级(1)班有x人，七年级(2)班有y人，
由题意得：x+y=10212x+10y=1118，
解得：x=49y=53，
答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人；
(2)两班作为一个团体，选择团体购票费用为：102×8=816(元)，
∵102÷5=20…2，
∴两班作为一个团体，参加迎接劳动节赠票方式购票费用为：(20×4+2)×12=984(元)，
∵984元>816元，
∴七年级(1)(2)两班作为一个团体，应选择团体购票，不应该参加迎接劳动节赠票方式购票．
【解析】(1)设七年级(1)班有x人，七年级(2)班有y人，根据两个班共102人去游览该景点，两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)分别求出选择团体购票费用和参加迎接劳动节赠票方式购票费用，再比较即可．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG=BGDG=1612=43，
∴∠BDG=53°，
∴∠PDH=∠BDG=53°，
∴入射角α的度数为53°；
(2)∵BG=16cm，BC=7cm，
∴CG=BG−BC=9(cm)，
在Rt△CDG中，DG=12cm，
∴DC= CG2+DG2= 92+122=15(cm)，
∴sinβ=sin∠GDC=CGCD=915=35，
由(1)得：∠PDH=53°，
∴sin∠PDH=sinα≈45，
∴折射率n=sinαsinβ=4535=43，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为43．
【解析】(1)过点D作DG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：四边形DGBF是矩形，从而可得DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，然后在Rt△DGB中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠BDG的值，从而可得∠BDG=53°，再根据对顶角相等可得∠PDH=∠BDG=53°，即可解答；
(2)根据已知可得CG=9cm，然后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出CD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠GDC的值，再利用(1)的结论可得：∠PDH=53°，从而可得sin∠PDH=sinα≈45，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)令x=0，则y=12x−3=−3，
令y=0，则12x−3=0，解得x=6，
∴A(6,0)，D(0,−3)，
∴OA=6，OD=3，
∴△AOD的面积=12OA⋅OD=12×6×3=9；
(2)作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
设B(m,n)，则BE=n，OE=m，
∵OA=6，
∴AE=m−6，
∵CA⊥AB于点A，
∴∠CAF+∠BAE=90°，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
∵∠AFC=∠BEA，
∴△ABE∽△CAF，
∴CFAE=AFBE=ACAB=2，即CFm−6=AFn=2，
∴CF=2m−12，AF=2n，
∴OF=OA−AF=6−2n，
∴C(6−2n,2m−12)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过B、C点，
∴k=mn=(6−2n)(2m−12)，
∵n=12m−3，
∴m=2n+6，
∴(2n+6)n=(6−2n)4n，
解得n1=95，n2=0(舍去)，
∴m=2n+6=485，
∴k=mn=485×95=43225．
【解析】(1)由一次函数的解析式求得A、D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解；
(2)作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，设B(m,n)，则BE=n，OE=m，AE=m−6，通过证得△ABE∽△CAF，求得CF=2m−12，AF=2n，OF=OA−AF=6−2n，即可得出C(6−2n,2m−12)，由反比例函数y=kx(x>0)的图象经过B、C点，得出k=mn=(6−2n)(2m−12)，根据一次函数y=12x−3的图象经过点B，即可得出n=12m−3，即可得出m=2n+6，代入mn=(6−2n)(2m−12)得到关于n的方程，解方程求得n的值，进一步求得m的值，由k=mn即可求得k的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确表示出点C的坐标的解题的关键．
20.【答案】2π3
【解析】(1)证明：过点D作DH⊥AB的延长线于点H，
则∠DHB=90°，
∵AB=BC=4，∠C=30°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠DBH=∠A+∠C=30°+30°=60°，
∵CD=8 3−12，
∴BD=BC−CD=4−(8 3−12)=16−8 3，
在Rt△BDH中，∠BDH=90°−∠DBH=90°−60°=30°，
∴BH=12BD=8−4 3，DH= 3BH=8 3−12，
∴DH=CD，
∴⊙D与直线AB相切；
(2)解：①若⊙D经过点B，则CD=BD=12BC=2，
∵DC=DE，∠C=30°，
∴∠DEC=∠C=30°，
∴∠BDE=∠DEC+∠C=30°+30°=60°，
∴BE的长是60×2π×2360=2π3；
故答案为：2π3；
②四边形BFED为菱形，证明如下：
由折叠可知，∠A=∠FEA=30°，
∴∠DEF=180°−∠FEA−∠DEC=180°−30°−30°=120°，
∠BFE=∠A+∠FEA=30°+30°=60°，
∵∠DEF+∠BDE=120°+60°=180°，
∠BFE+∠DEF=60°+120°=180°，
∴EF//BD，BF//DE，
∴四边形BFED为平行四边形，
又∵BD=DE，
∴四边形BFED为菱形．
(1)过点D作DH⊥AB的延长线于点H，由等边对等角得∠A=∠C=30°，根据三角形外角性质求得∠DBH=60°，易求得BD=BC−CD=16−8 3，在Rt△BDH中，利用含30度角的直角三角形性质求得DH=8 3−12=CD，以此即可证明⊙D与直线AB相切；
(2)①易得CD=BD=12BC=2，由DC=DE，∠C=30°可得∠DEC=∠C=30°，利用三角形外角性质得∠BDE=∠DEC+∠C=60°，再根据弧长公式计算即可求解；
②由折叠可知∠A=∠FEA=30°，根据平角的定义求得∠DEF=120°，根据三角形外角性质∠BFE=60°，由∠DEF+∠BDE=180°，∠BFE+∠DEF=180°可得EF//BD，BF//DE，则四边形BFED为平行四边形，再由BD=DE可得四边形BFED为菱形．
本题主要考查等腰三角形的性质、切线的判定、三角形外角性质、含30度角的直角三角形性质、弧长公式、折叠的性质、菱形的判定，解题关键是：(1)利用含30度的直角三角形性质求出DH=CD=8 3−12；(2)①根据三角形的外角性质求得∠BDE=60°；②利用同旁内角互补得出EF//BD，BF//DE．
21.【答案】BC= 3AB
【解析】解：(1)如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH=12∠BAC=12×120°=60°，BC=2BH，
∴sin60°=BHAB，
∴BH= 32AB，
∴BC=2BH= 3AB；
故答案为：BC= 3AB；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=30°，
由(1)得，BCAB= 3，
同理可得，BEBD= 3，
∴∠ABC=∠DBE，BCAB=BEBD，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴CEAD=BEAD= 3；
(3)如图2，当点D在线段AC上时，过点B作BF⊥AC交CA的延长线于点F，过点A作AG⊥BD于点G，
设AB=AC=3a，则AD=2a，
由(1)得，CE= 3AD= 3a，
在Rt△ABF中，∠BAF=180°−∠BAC=60°，AB=3a，
∴AF=3a⋅cs60°=32a，BF=3a⋅sin60°=3 32a，
在Rt△BDF中，DF=AD+AF=2a+32a=72a，
BD= BF2+DF2= (3 32a)2+(72a)2= 19a，
∵∠AGD=∠F=90°，∠ADG=∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴AGBF=ADBD，
∴AG3 32a=2a 19a，
∴AG=3 3 19a，
∵AN//DE，
∴∠AND=∠BDE=120°，
∴∠ANG=60°，
∴AN=AGsin60∘=3 3 19a⋅2 3=6 1919a，
∴ANCE=6 1919a2 3a= 5719；
如图3，当点D在AC的延长线上时，
设AB=AC=2a，则AD=4a，
由(1)得，CE= 3AD=4 3a，
过点B作BR⊥CA交CA的延长线于点R，过点A作AQ⊥BD于点Q，
同理可得，AR=a，BR= 3a，
∴BD= ( 3a)2+(5a)2=2 7a，
∴AQ 3a=4a2 7a，
∴AQ=2 3 7a，
∴AN=2 3 7a⋅2 3=4 7a，
∴ANCE=4 7a4 3a= 2121；
综上所述，ANCE的值为 5719或 2121．
(1)作AH⊥BC于H，可得BH= 32AB，BC=2BH，进而得出结论；
(2)证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
(3)当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB=AC=3a，则AD=2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB=AC=2a，则AD=4a，同样方法求得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
22.【答案】③
【解析】解：(1)∵抛物线y=12mx2−mx−4m，
∴当12m>0即m>0时，抛物线开口向上，当12m<0即m<0时，抛物线开口向下；故①错误．
∵抛物线的对称轴为直线x=−−m2×12m=1，
∴当m>0时，若x>1时，y随着x的增大而增大，当m<0时，若x>1时，y随着x的增大而减小，故②错误；
当y=0时，12mx2−mx−4m=0，
∵m≠0，
∴x2−2x−8=0，
解得：x1=−2，x2=4，
∴点A，B的坐标分别为(−2,0)，(4,0)，故③正确；
若点P在x轴下方，则−2故答案为：③．
(2)当m=1时，y=12x2−x−4，则C(0,−4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(4,0)，C(0,−4)代入得：4k+b=0b=−4，
解得：k=1b=−4，
∴直线BC的解析式为y=x−4，
设P(t,12t2−t−4)，则D(12t2−t,12t2−t−4)，E(t,0)，
∴PD+PE=t−(12t2−t)−(12t2−t−4)=−t2+3t+4=−(t−32)2+254，
∵−1<0，
∴当t=32时，PD+PE取得最大值254，此时点P的坐标为(32,−358).
(3)∵y=12x2−x−4=12(x−1)2−92，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为y=12(x−1+5)2−92=12(x+4)2−92，即y=12x2+4x+72，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=−4，
∵抛物线y=12x2+4x+72与y轴交于点G，
∴G(0,72)，
∵F为点P的对应点，
∴F(−72,−358)，
∵M为平移后的抛物线的对称轴上一点．点N是平移后的抛物线上一点，
∴设M(−4,m)，N(n,12n2+4n+72)，
当FM、GN为对角线时，则FM、GN的中点重合，
∴−72−4=n−358+m=72+12n2+4n+72，
解得：m=192n=−152
N(−152,138)；
当FN、GM为对角线时，则FN、GM的中点重合，
∴n−72=0−412n2+4n+72−358=m+72，
解得：m=−254n=−12，
∴N(−12,138)；
当FG、MN为对角线时，则FG、MN的中点重合，
∴−72+0= −472−358=m+12n2+4n+72，
解得：m=−132n=12，
∴N(12,458)；
综上所述，所有符合条件的点N的坐标为(−152,138)或(−12,138)或(12,458).
(1)二次项系数为12m，当m>0时，抛物线开口向上，当m<0时，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=1，当m>0时，若x>1时，y随着x的增大而增大，当m<0时，若x>1时，y随着x的增大而减小；当y=0时，12mx2−mx−4m=0，解方程可得点A、B的坐标；由A、B的坐标可得当点P在x轴下方时，−2(2)当m=1时，y=12x2−x−4，则C(0,−4)，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=x−4，设P(t,12t2−t−4)，则D(12t2−t,12t2−t−4)，E(t,0)，可得PD+PE=−(t−32)2+254，运用二次函数的性质即可求得答案；
(3)根据平移的性质可得平移后的抛物线解析式为y=12x2+4x+72，对称轴为直线x=−4，与y轴交点G(0,72)，F(−72,−358)，设M(−4,m)，N(n,12n2+4n+72)，分三种情况：当FM、GN为对角线时，则FM、GN的中点重合，当FN、GM为对角线时，则FN、GM的中点重合，当FG、MN为对角线时，则FG、MN的中点重合，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质等，运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．购票人数/人
1～50
51～100
100以上
每人门票价/元
12
10
8
1.比1小2的数是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
2.计算(−ba)2⋅a3的结果为( )
A. ab2B. −ab2C. b2a5D. −b2a5
3.如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图(四次参加模拟测试的学生人数不变)，下列四个结论中不正确的是( )
A. 共有500名学生参加模拟测试
B. 从第1个月到第4个月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C. 第2个月测试成绩为“优秀”的学生达到50人
D. 第4个月增长的“优秀”人数比第3个月增长的“优秀”人数少
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=mx−n的图象和二次函数y=mx2+nx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B′C′D′.分别连接AB′，DC′(如图2所示)，下列有关四边形AB′C′D的说法正确的是( )
A. 先是平行四边形，平移 3个单位长度后是菱形
B. 先是平行四边形，平移 3个单位长度后是矩形，再平移2 3个单位长度后是菱形
C. 先是平行四边形，平移 3个单位长度后是矩形，再平移3 3个单位长度后是正方形
D. 在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若分式x−3x+2的值为零，则x的值为______．
8.若x+2y=4，x−2y=−1，则代数式x2−4y2的值为______．
9.若a，β是方程x2−2x−5=0的两个根，则α−αβ+β的值为______．
10.我国古代(易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为3×1+1×8+2×82=139，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了个单词______．
11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是______．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点，F为AC上的动点，将△ADF沿直线DF折叠得到△EDF，若DE与△ABC的边垂直，则AF的长是______．
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算： 12−(12)−1+| 3−2|．
(2)如图，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，求证：AB=2DE．
14.(本小题6分)
解不等式组：6−2x>05x+12+1≥2x−13，并将解集在数轴上表示出来．
15.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中作矩形ABCD关于点E成中心对称的图形．
(2)在图2中作以E为顶点的矩形．
16.(本小题6分)
某商家开展“抽奖赢优惠“活动，即购买商品的顾客获得一次摸球中奖的机会，小刘和小张同时购买了商品，商家提供了四个形状，大小、质地一样的一个红球和三个白球，其中只有摸到红球是中奖，
(1)若小刘先摸，则小刘中奖的概率为______；
(2)当商家让小刘先摸时，小张认为商家这种做法对他不公平，请用画树状图法或列表法计算两人中奖的概率来说明小张的质疑是否合理．
17.(本小题6分)
课本再现
(1)某景点的门票价格如下表．
某校七年级(1)(2)两个班共102人去游览该景点，其中(1)班人数较少，不到50人，(2)班人数较多，有50多人.若两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元.问两个班各有多少名学生？
拓展应用
(2)在售票中心了解到，该景点为迎接劳动节推出了“买四赠一”的优惠活动(即每买4张12元的票可获得一张同等价值的赠票)，请通过计算说明七年级(1)(2)两班作为一个团体，应选择团体购票还是参加迎接劳动节赠票方式购票．
18.(本小题8分)
学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n=sinαsinβ称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm．
(1)求入射角α的度数．
(2)若BC=7cm，求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
19.(本小题8分)
如图，一次函数y=12x−3的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点D，C为反比例函数y=kx(x>0)的图象上的点，且CA⊥AB于点A，连接BC．
(1)求△AOD的面积．
(2)若AC=2AB，求k的值．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠C=30°，D是BC上的动点，以D为圆心，DC的长为半径作圆交AC于点E，F，G分别是AB，AE上的点，将△AFG沿FG折叠，点A与点E恰好重合．
(1)如图1，若CD=8 3−12，求证：⊙D与直线AB相切．
(2)如图2，若⊙D经过点B，连接ED．
①BE的长是______；
②判断四边形BFED的形状，并证明．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
观察发现
(1)线段BC与AB的数量关系为______；
拓展迁移
(2)当点D在线段AC上(点D不与点A，C重合)时，判断线段CE与AD之间的数量关系，并说明理由．
类比运用
(3)过点A作AN//DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值．
22.(本小题12分)
已知抛物线y=12mx2−mx−4m与x轴交于A，B两点(点B位于点A的右侧)，与y轴交于点C，P是抛物线上的一动点，横坐标为t．
(1)下列说法正确的是______.(填序号)
①抛物线开口向上
②当x>1时，y随着x的增大而增大
③点A，B的坐标分别为(−2,0)，(4,0)
④若点P在x轴下方，则−2
(3)在(2)中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1−2=−1．
故选：B．
比1小2的数是多少，即求1与2的差是多少．
本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．
2.【答案】A
【解析】解：(−ba)2⋅a3=b2a2⋅a3=ab2，
故选：A．
先算乘方，再算乘法．
本题考查了分式的乘除法掌握运算法则算解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：C．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：A、测试的学生人数为：10+250+150+90=500(名)，正确，故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，正确，故不符合题意；
C、第2月增长的“优秀”人数为500×10%=50(人)，正确，故不符合题意；
D、第4月增长的“优秀”人数为500×17%−500×13%=20(人)，第3月增长的“优秀”人数500×13%−500×10%=15(人)，错误，故符合题意．
故选：D．
根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，与图象不符，不符合题意；
B，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，图象没过原点，与图象不合，不符合题意；
C，结合图象y=mx−n中，m>0，n<0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0，与图象不符，不符合题意；
D，结合图象y=mx−n中，m<0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0与图象符合，符合题意；
故选：D．
利用对称轴x=−b2a，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向逐个判断即可．
本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合．
6.【答案】B
【解析】解：A.在Rt△ABB′中，AB=3，BB′= 3，
∴AB′= AB2+BB′2= 32+( 3)2=2 3，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴AD=2AB=2×3=6，
∴BD= AD2−AB2=3 3，
∵△ABD≌△CDB，
∴CD=AB=3，BC=AD=6，
∴B′C′=6，
∴AB′≠B′C′，
∴四边形AB′C′D是平行四边形，但不是菱形，故A选项不符合题意；
B.当BB′= 3时，
∵tan∠AB′B=3 3= 3，
∴∠AB′B=60°，
∵∠CBD=30°，BC//B′C′，
∴∠C′B′D′=30°，
∴∠AB′C′=90°，四边形AB′C′D是平行四边形，
∴四边形AB′C′D是矩形，
当BB′=3 3时，AB′= AB2+BB′2= 32+(3 3)2=6=B′C′，
∴四边形AB′C′D是菱形，故B选项符合题意；
C.由B可知先是平行四边形，平移 3个单位长度后是矩形，
当BB′=4 3时，AB′= AB2+BB′2= 32+(4 3)2= 57≠B′C′，
∴四边形AB′C′D不是正方形，故C选项不符合题意；
D.由B知，Rt△BCD平移 3个单位长度后是矩形，移动的其它位置不是矩形，故一定不是正方形，故D选项不符合题意．
故选：B．
根据各种特殊的平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．
此题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，平移的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和直角三角形的性质．
7.【答案】3
【解析】解：∵x−3=0，x+2≠0，
∴x=3，
故答案为：3．
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
8.【答案】−4
【解析】解：由题意，x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，
又x+2y=4，x−2y=−1，
∴x2−4y2=4×(−1)=−4．
故答案为：−4．
依据题意，由x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，再结合x+2y=4，x−2y=−1，代入后即可得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并准确计算是关键．
9.【答案】7
【解析】解：∵a，β是方程x2−2x−5=0的两个根，
∴α+β=2，αβ=−5，
∴α−αβ+β
=α+β−αβ
=2+5
=7．
故答案为：7．
根据根与系数的关系，即可得出α+β、αβ的值，整体代入此题得解．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
10.【答案】156
【解析】解：由题意得：4×1+3×8+2×82=156个，
根据规律列式即可．
本题主要考查按规律列式的能力，发现规律是关键．
11.【答案】2
【解析】解：如图，连接BD，过点D作DH⊥BC于H，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴AB=AD=4，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠ABD=60°，
∴∠DBC=30°，
∵DH⊥BC，
∴DH=12BD=2，
∴点D到BC的距离是2，
故答案为：2．
由旋转的性质可得AB=AD=4，∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】2或2 3−2或2 33
【解析】解：∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2 3，
∴D是AB的中点，
∴AD=BD=2，
如图1，当DE⊥AC时，
由折叠可知，∠A=∠E=30°，AD=DE=2，
∵∠DGA=90°，
∴DG=12AD=1，
∴AG= 3，
∵∠EDF=∠FDA，∠ADE=60°，
∴∠EDF=∠E=30°，
∴DF=EF=FA，
∴AG=AF+12AF= 3，
∴AF=2 33；
如图2，当DE⊥AB时，∠ADE=90°，
由折叠可知∠ADF=∠EDF=45°，∠A=∠E=30°，
∴∠AGD=60°，∠EFG=30°，
∴GE=GF，
在Rt△ADG中，AD=2，DG=ADtan30°=2 33，AG=ADcs30∘=4 33，
∴GF=2−2 33，
∴AF=4 33−2+2 33=2 3−2；
如图3，当DE⊥BC时，
∵AC⊥BC，
∴DE//AC，
∴∠E=∠EFC=30°，∠BDE=∠A=30°，
∴∠EDA=∠EFA，
由折叠可知，∠EDF=∠ADF，∠EFD=∠DFA，
∴∠ADF=∠DFA，
∴AD=AF=2；
综上所述：AF的长为2或2 3−2或2 33；
故答案为：2或2 3−2或2 33．
分三种情况讨论：当DE⊥AC时，根据折叠的性质可推导出DF=EF=FA，则AG=AF+12AF= 3，求出AF的长；当DE⊥AB时，推导出GE=GF，在Rt△ADG中，求出DG=2 33，AG=4 33，则GF=2−2 33，可得AF=2 3−2；当DE⊥BC时，DE//AC，∠ADF=∠DFA，根据折叠和平行线的性质可推导出AD=AF=2．
本题考查翻折变换，含30°角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
13.【答案】(1)解： 12−(12)−1+| 3−2|
=2 3−2+2− 3
= 3；
(2)证明：在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴AC=2DE．
∴AB=2DE．
【解析】(1)先化简二次根式、负整数指数幂和去绝对值，然后计算加减法；
(2)首先由等腰三角形的判定与性质证得AB=AC；然后利用三角形中位线定理得到DE=12AC；最后推知AB=2DE．
本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定以及实数的混合运算，着重考查学生的推理能力和运算能力，难度不大．
14.【答案】解：由6−2x>0，得：x<3，
由5x+12+1≥2x−13，得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】解：(1)如图1中，矩形DCMN即为所求；
(2)如图2中，矩形DETN或矩形ECMT即为所求．
【解析】(1)连接AE，延长AE就熬BC的延长线于点M，连接BE，延长BE交AD的延长线于点N，连接MN，矩形DCMN即为所求；
(2)连接AC，BD交于点O，作射线OE交MN与点T，矩形DETN或矩形ECMT即为所求．
本题考查作图−旋转变换，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】解：(1)14；
(2)设红球是A，三个白球分别是B1，B2，B3，如图：
可知小刘先摸中奖的概率为14，小张后摸中奖的概率为312=14，
可见两人中奖的概率相等，所以小张的质疑不合理．
【解析】【分析】
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，计算出小刘和小张的概率，即可解答．
【解答】
解：(1)一个红球和三个白球，摸一个球，事件“摸到红球”的概率是14，则小刘中奖的概率为14．
(2)见答案．
17.【答案】解：(1)设七年级(1)班有x人，七年级(2)班有y人，
由题意得：x+y=10212x+10y=1118，
解得：x=49y=53，
答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人；
(2)两班作为一个团体，选择团体购票费用为：102×8=816(元)，
∵102÷5=20…2，
∴两班作为一个团体，参加迎接劳动节赠票方式购票费用为：(20×4+2)×12=984(元)，
∵984元>816元，
∴七年级(1)(2)两班作为一个团体，应选择团体购票，不应该参加迎接劳动节赠票方式购票．
【解析】(1)设七年级(1)班有x人，七年级(2)班有y人，根据两个班共102人去游览该景点，两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)分别求出选择团体购票费用和参加迎接劳动节赠票方式购票费用，再比较即可．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG=BGDG=1612=43，
∴∠BDG=53°，
∴∠PDH=∠BDG=53°，
∴入射角α的度数为53°；
(2)∵BG=16cm，BC=7cm，
∴CG=BG−BC=9(cm)，
在Rt△CDG中，DG=12cm，
∴DC= CG2+DG2= 92+122=15(cm)，
∴sinβ=sin∠GDC=CGCD=915=35，
由(1)得：∠PDH=53°，
∴sin∠PDH=sinα≈45，
∴折射率n=sinαsinβ=4535=43，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为43．
【解析】(1)过点D作DG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：四边形DGBF是矩形，从而可得DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，然后在Rt△DGB中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠BDG的值，从而可得∠BDG=53°，再根据对顶角相等可得∠PDH=∠BDG=53°，即可解答；
(2)根据已知可得CG=9cm，然后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出CD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠GDC的值，再利用(1)的结论可得：∠PDH=53°，从而可得sin∠PDH=sinα≈45，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)令x=0，则y=12x−3=−3，
令y=0，则12x−3=0，解得x=6，
∴A(6,0)，D(0,−3)，
∴OA=6，OD=3，
∴△AOD的面积=12OA⋅OD=12×6×3=9；
(2)作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
设B(m,n)，则BE=n，OE=m，
∵OA=6，
∴AE=m−6，
∵CA⊥AB于点A，
∴∠CAF+∠BAE=90°，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
∵∠AFC=∠BEA，
∴△ABE∽△CAF，
∴CFAE=AFBE=ACAB=2，即CFm−6=AFn=2，
∴CF=2m−12，AF=2n，
∴OF=OA−AF=6−2n，
∴C(6−2n,2m−12)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过B、C点，
∴k=mn=(6−2n)(2m−12)，
∵n=12m−3，
∴m=2n+6，
∴(2n+6)n=(6−2n)4n，
解得n1=95，n2=0(舍去)，
∴m=2n+6=485，
∴k=mn=485×95=43225．
【解析】(1)由一次函数的解析式求得A、D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解；
(2)作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，设B(m,n)，则BE=n，OE=m，AE=m−6，通过证得△ABE∽△CAF，求得CF=2m−12，AF=2n，OF=OA−AF=6−2n，即可得出C(6−2n,2m−12)，由反比例函数y=kx(x>0)的图象经过B、C点，得出k=mn=(6−2n)(2m−12)，根据一次函数y=12x−3的图象经过点B，即可得出n=12m−3，即可得出m=2n+6，代入mn=(6−2n)(2m−12)得到关于n的方程，解方程求得n的值，进一步求得m的值，由k=mn即可求得k的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确表示出点C的坐标的解题的关键．
20.【答案】2π3
【解析】(1)证明：过点D作DH⊥AB的延长线于点H，
则∠DHB=90°，
∵AB=BC=4，∠C=30°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠DBH=∠A+∠C=30°+30°=60°，
∵CD=8 3−12，
∴BD=BC−CD=4−(8 3−12)=16−8 3，
在Rt△BDH中，∠BDH=90°−∠DBH=90°−60°=30°，
∴BH=12BD=8−4 3，DH= 3BH=8 3−12，
∴DH=CD，
∴⊙D与直线AB相切；
(2)解：①若⊙D经过点B，则CD=BD=12BC=2，
∵DC=DE，∠C=30°，
∴∠DEC=∠C=30°，
∴∠BDE=∠DEC+∠C=30°+30°=60°，
∴BE的长是60×2π×2360=2π3；
故答案为：2π3；
②四边形BFED为菱形，证明如下：
由折叠可知，∠A=∠FEA=30°，
∴∠DEF=180°−∠FEA−∠DEC=180°−30°−30°=120°，
∠BFE=∠A+∠FEA=30°+30°=60°，
∵∠DEF+∠BDE=120°+60°=180°，
∠BFE+∠DEF=60°+120°=180°，
∴EF//BD，BF//DE，
∴四边形BFED为平行四边形，
又∵BD=DE，
∴四边形BFED为菱形．
(1)过点D作DH⊥AB的延长线于点H，由等边对等角得∠A=∠C=30°，根据三角形外角性质求得∠DBH=60°，易求得BD=BC−CD=16−8 3，在Rt△BDH中，利用含30度角的直角三角形性质求得DH=8 3−12=CD，以此即可证明⊙D与直线AB相切；
(2)①易得CD=BD=12BC=2，由DC=DE，∠C=30°可得∠DEC=∠C=30°，利用三角形外角性质得∠BDE=∠DEC+∠C=60°，再根据弧长公式计算即可求解；
②由折叠可知∠A=∠FEA=30°，根据平角的定义求得∠DEF=120°，根据三角形外角性质∠BFE=60°，由∠DEF+∠BDE=180°，∠BFE+∠DEF=180°可得EF//BD，BF//DE，则四边形BFED为平行四边形，再由BD=DE可得四边形BFED为菱形．
本题主要考查等腰三角形的性质、切线的判定、三角形外角性质、含30度角的直角三角形性质、弧长公式、折叠的性质、菱形的判定，解题关键是：(1)利用含30度的直角三角形性质求出DH=CD=8 3−12；(2)①根据三角形的外角性质求得∠BDE=60°；②利用同旁内角互补得出EF//BD，BF//DE．
21.【答案】BC= 3AB
【解析】解：(1)如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH=12∠BAC=12×120°=60°，BC=2BH，
∴sin60°=BHAB，
∴BH= 32AB，
∴BC=2BH= 3AB；
故答案为：BC= 3AB；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=30°，
由(1)得，BCAB= 3，
同理可得，BEBD= 3，
∴∠ABC=∠DBE，BCAB=BEBD，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴CEAD=BEAD= 3；
(3)如图2，当点D在线段AC上时，过点B作BF⊥AC交CA的延长线于点F，过点A作AG⊥BD于点G，
设AB=AC=3a，则AD=2a，
由(1)得，CE= 3AD= 3a，
在Rt△ABF中，∠BAF=180°−∠BAC=60°，AB=3a，
∴AF=3a⋅cs60°=32a，BF=3a⋅sin60°=3 32a，
在Rt△BDF中，DF=AD+AF=2a+32a=72a，
BD= BF2+DF2= (3 32a)2+(72a)2= 19a，
∵∠AGD=∠F=90°，∠ADG=∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴AGBF=ADBD，
∴AG3 32a=2a 19a，
∴AG=3 3 19a，
∵AN//DE，
∴∠AND=∠BDE=120°，
∴∠ANG=60°，
∴AN=AGsin60∘=3 3 19a⋅2 3=6 1919a，
∴ANCE=6 1919a2 3a= 5719；
如图3，当点D在AC的延长线上时，
设AB=AC=2a，则AD=4a，
由(1)得，CE= 3AD=4 3a，
过点B作BR⊥CA交CA的延长线于点R，过点A作AQ⊥BD于点Q，
同理可得，AR=a，BR= 3a，
∴BD= ( 3a)2+(5a)2=2 7a，
∴AQ 3a=4a2 7a，
∴AQ=2 3 7a，
∴AN=2 3 7a⋅2 3=4 7a，
∴ANCE=4 7a4 3a= 2121；
综上所述，ANCE的值为 5719或 2121．
(1)作AH⊥BC于H，可得BH= 32AB，BC=2BH，进而得出结论；
(2)证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
(3)当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB=AC=3a，则AD=2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB=AC=2a，则AD=4a，同样方法求得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
22.【答案】③
【解析】解：(1)∵抛物线y=12mx2−mx−4m，
∴当12m>0即m>0时，抛物线开口向上，当12m<0即m<0时，抛物线开口向下；故①错误．
∵抛物线的对称轴为直线x=−−m2×12m=1，
∴当m>0时，若x>1时，y随着x的增大而增大，当m<0时，若x>1时，y随着x的增大而减小，故②错误；
当y=0时，12mx2−mx−4m=0，
∵m≠0，
∴x2−2x−8=0，
解得：x1=−2，x2=4，
∴点A，B的坐标分别为(−2,0)，(4,0)，故③正确；
若点P在x轴下方，则−2
(2)当m=1时，y=12x2−x−4，则C(0,−4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(4,0)，C(0,−4)代入得：4k+b=0b=−4，
解得：k=1b=−4，
∴直线BC的解析式为y=x−4，
设P(t,12t2−t−4)，则D(12t2−t,12t2−t−4)，E(t,0)，
∴PD+PE=t−(12t2−t)−(12t2−t−4)=−t2+3t+4=−(t−32)2+254，
∵−1<0，
∴当t=32时，PD+PE取得最大值254，此时点P的坐标为(32,−358).
(3)∵y=12x2−x−4=12(x−1)2−92，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为y=12(x−1+5)2−92=12(x+4)2−92，即y=12x2+4x+72，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=−4，
∵抛物线y=12x2+4x+72与y轴交于点G，
∴G(0,72)，
∵F为点P的对应点，
∴F(−72,−358)，
∵M为平移后的抛物线的对称轴上一点．点N是平移后的抛物线上一点，
∴设M(−4,m)，N(n,12n2+4n+72)，
当FM、GN为对角线时，则FM、GN的中点重合，
∴−72−4=n−358+m=72+12n2+4n+72，
解得：m=192n=−152
N(−152,138)；
当FN、GM为对角线时，则FN、GM的中点重合，
∴n−72=0−412n2+4n+72−358=m+72，
解得：m=−254n=−12，
∴N(−12,138)；
当FG、MN为对角线时，则FG、MN的中点重合，
∴−72+0= −472−358=m+12n2+4n+72，
解得：m=−132n=12，
∴N(12,458)；
综上所述，所有符合条件的点N的坐标为(−152,138)或(−12,138)或(12,458).
(1)二次项系数为12m，当m>0时，抛物线开口向上，当m<0时，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=1，当m>0时，若x>1时，y随着x的增大而增大，当m<0时，若x>1时，y随着x的增大而减小；当y=0时，12mx2−mx−4m=0，解方程可得点A、B的坐标；由A、B的坐标可得当点P在x轴下方时，−2
(3)根据平移的性质可得平移后的抛物线解析式为y=12x2+4x+72，对称轴为直线x=−4，与y轴交点G(0,72)，F(−72,−358)，设M(−4,m)，N(n,12n2+4n+72)，分三种情况：当FM、GN为对角线时，则FM、GN的中点重合，当FN、GM为对角线时，则FN、GM的中点重合，当FG、MN为对角线时，则FG、MN的中点重合，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质等，运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．购票人数/人
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