初中数学一轮复习【讲通练透】专题04 实数与二次根式的运算（练透） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题04 实数与二次根式的运算
一、单选题
1．（2021·广东广州·铁一中学九年级二模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
直接利用负整数指数幂、算术平方根、二次根式加法、幂的乘方、积的乘方的运算法则计算判断即可；
【详解】
解：A、，故本选项计算不正确，不合题意；
B、，故本选项计算不正确，不合题意；
C、不能合并，；
D、，故本选项计算正确，符合题意；
故选择：D．
2．（2021·广东实验中学九年级三模）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据相反数的定义即可求解．
【详解】
解：由题意可知：的相反数是，
故选：B．
3．（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A．-2B．C．D．0
【答案】B
【分析】
根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【详解】
解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，
，
故选：B．
4．（2021·长沙市雅礼实验中学九年级月考）下列实数中，最大的数是（ ）
A．πB．C．﹣2D．3
【答案】A
【分析】
根据实数的大小关系，直接求得答案，即可．
【详解】
解：∵π＞3＞＞﹣2，
∴最大的数是：π．
故选A．
5．（2021·长沙市南雅中学九年级期中）下列计算错误的是（ ）
A．(π﹣3.14)0＝0B．
C．(x2)3＝x6D．a6÷a2＝a4
【答案】A
【分析】
根据0指数幂的性质、二次根式加减法则、整式运算逐项计算即可．
【详解】
解：A：（π﹣3.14）0＝1，故A选项错误，符合题意；
B：，故B选项正确，不符合题意；
C：（x2）3＝x6，故C选项正确，不符合题意；
D：a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故D选项正确，不符合题意．
故选：A．
6．（2021·长沙市雅礼实验中学九年级月考）下列各运算中，正确的运算是（ ）
A．B．（2a）3＝8a3
C．a8÷a4＝a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】B
【分析】
分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式分析即可．
【详解】
解：A、∵与不是同类二次根式，
∴与不能合并，故A错误；
B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；
C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；
D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：B．
7．（2021·河南九年级期中）计算：＝（ ）
A．﹣B．0C．D．
【答案】B
【分析】
先分母有理化，然后合并即可．
【详解】
解：原式＝﹣＝0．
故选：B．
8．（2021·河南九年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．＝2
C．＝2﹣D．＝3a2
【答案】D
【分析】
根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C、D进行判断．
【详解】
解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C、原式＝﹣2，所以C选项错误；
D、原式＝3a2，所以D选项正确．
故选：D．
9．（2021·广西南宁十四中）下列属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．
【详解】
A. 开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B. 是最简二次根式，故此选项符合题意；
C.含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D. 被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选B
10．（2021·沙坪坝·重庆八中九年级月考）估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间
C．3和4之间D．4和5之间
【答案】B
【分析】
先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算即可得解．
【详解】
解：，
，
，
，
的值应在2和3之间．
故选：．
二、填空题
11．（2021·莆田第二十五中学九年级月考）估计的值应在_____．
【答案】2和3之间
【分析】
先计算出原式等于 ，可得，即可求解．
【详解】
解：，
∵ ，
∴的值应在2和3之间．
故答案为：2和3之间．
12．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）若式子在实数范围内有意义，则应满足的条件是_______________．
【答案】x≥
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，3x-2≥0，
解得x≥，
故答案为：x≥．
13．（2021·沙坪坝·重庆八中九年级月考）计算：__________．
【答案】
【分析】
直接利用立方根的意义以及零指数幂法则、负整数指数幂法则分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式
．
故答案为：．
14．（2021·重庆市育才中学九年级开学考试）计算________．
【答案】
【分析】
根据二次根式的运算及零次幂可直接进行求解．
【详解】
解：原式=；
故答案为．
15．（2021·西安市铁一中学九年级模拟预测）计算：____________．
【答案】
【分析】
根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算．
【详解】
解：原式
．
故答案为．
三、解答题
16．（2021·山东九年级期中）已知x、y是实数，若，求xy的立方根．
【答案】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得：x＝2，从而求出y＝﹣3，然后根据立方根的定义，即可求解．
【详解】
解：由题意可得：
，
解得：x＝2，
故y＝﹣3，
则xy＝2﹣3＝，
故xy的立方根为：．
17．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级二模）计算：
【答案】
【分析】
直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式=
=
18．（2021·四川广安中学）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）6
【分析】
（1）先进行开方运算和去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算开方运算、利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
．
19．（2021·西城·北京四中）计算：．
【答案】
【分析】
根据零指数幂法则，二次根式的基本性质，完全平方公式以及绝对值的意义先化简每个式子，再合并同类二次根式即可求得答案．
【详解】
解：原式
．
20．（2021·深圳市罗湖区翠园初级中学）先化简，再求值：，其中m＝．
【答案】，
【分析】
先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【详解】
解：原式=[+]÷
=×
=，
当m=时，
原式=，
21．（2021·福建九年级模拟预测）计算：
【答案】2
【分析】
直接利用去绝对值符号、零指数次幂、求立方根的运算法则计算可得．
【详解】
解：
=
=2
22．（2021·福建三明一中九年级开学考试）计算
（1）
（2）
【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）原式利用负指数幂，立方根和算术平方根的法则化简，再计算加减法；
（2）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果．
【详解】
解：（1）
=
=
=4；
（2）
=
=
23．（2021·如皋市实验初中九年级期末）（1）计算；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）先计算负指数幂，绝对值符号化简，零指数幂，立方根，再合并同类项即可；
（2）先因式分解找出最简公分母通分，合并同时把除法转化为乘方，约分化简为最简分式，再赋值，代入计算即可．
【详解】
解:（1）,
=
=；
（2），
=，
=，
=，
当时，
原式=．