最新中考几何专项复习专题23 矩形存在性问题知识精讲

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
矩形存在性问题知识精讲
一、关于矩形的基础知识
1、什么是矩形？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形就是在平行四边形的基础上增加一个角是直角这个比较特殊的条件.
2、矩形具有哪些性质？
矩形具有平行四边形的所有性质；
矩形的对角线相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
注：①矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别通过对边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).
(3)矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
3、矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形.
二、矩形存在性问题的解题策略
1.在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式：
；
2.矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示：
在此基础上，要善于利用直角三角形的性质：
①两个锐角互余；
②三边平方的等量关系(勾股定理)；
③斜边上的中线等于斜边的一半.
三、经典例题
例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.
(1)直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式(其中，k、b用含的式子表示)；
(2)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】，；(2)，.
【解析】(1)，
令，解得，，
直线经过点A，，即，，
令，整理得，
，点D的横坐标为4，
直线的函数表达式为；
(2)令，即，解得，，
，抛物线的对称轴为，设，
①若AD是矩形的一条边，则，则，
四边形ADPQ是矩形，，
，即，
即，；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，
，，
四边形APDQ是矩形，
，即，
综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.
例2：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点C的坐标为，过点C作于点E，点D为轴正半轴的一动点，且满足，连接DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA，若平行四边形DEFA为矩形，求的值；
【解答】(1)或
【解析】(1)在中，，
在中，
，
当四边形DEFA是矩形时，在中，，
①如图1，当点C在轴上方时，
可得方程，解得；
②如图2，当点C在轴下方时，
可得方程，解得.