最新中考几何专项复习专题17 几何最值之胡不归知识精讲

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
几何最值之胡不归知识精讲
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
少年想要尽快回家，应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.
【解答】
【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：
在Rt△PBF中，∵∠PBF＝30º，，∴的最小值即为线段AF的长。
在△ABF中，∵∠BAE＝45º，∠ABE＝75º，∴∠AEB＝60º，
解得，
通过面积法可得，求得，
∴AP＋BP＋CP的最小值是.
例2：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)连接AE，若AB＝6，.
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5个单位每秒的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.
【解答】(1)见解析；(2)①，②
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，
∵AC与BD交于点O，且△COD、△CED关于CD对称，∴DO＝OC，DO＝ED，OC＝CE，
∴DO＝OC＝CE＝ED，∴四边形OCED是菱形；
(2)①设AE交CD于点K，∵四边形OCED是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，
∴，
又∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，
在Rt△ADK中，，
；
②作PF⊥AD于点F，易得，
∵点Q的运动时间，
∴当O、P、F三点共线且OF⊥AD时，OP＋PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
，
∴，
.
综上，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短，AP的长为，点Q走完全程需要的时间为3s.