第03讲 分式（12题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第03讲 分式
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151110350" PAGEREF _Tc151110350 \h 2
\l "_Tc151110351" 题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 PAGEREF _Tc151110351 \h 2
\l "_Tc151110352" 题型02 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 PAGEREF _Tc151110352 \h 2
\l "_Tc151110353" 题型03 约分与最简分式 PAGEREF _Tc151110353 \h 2
\l "_Tc151110354" 题型04 最简公分母 PAGEREF _Tc151110354 \h 3
\l "_Tc151110355" 题型05 利用分式的基本性质进行变形 PAGEREF _Tc151110355 \h 3
\l "_Tc151110356" 题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 PAGEREF _Tc151110356 \h 3
\l "_Tc151110357" 题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 PAGEREF _Tc151110357 \h 4
\l "_Tc151110358" 题型08 分式的加减法 PAGEREF _Tc151110358 \h 4
\l "_Tc151110359" 题型09 分式的乘除法 PAGEREF _Tc151110359 \h 5
\l "_Tc151110360" 题型10 分式的混合运算 PAGEREF _Tc151110360 \h 5
\l "_Tc151110361" 题型11 分式的化简求值 PAGEREF _Tc151110361 \h 5
\l "_Tc151110362" 题型12 零指数幂 PAGEREF _Tc151110362 \h 6
\l "_Tc151110363" PAGEREF _Tc151110363 \h 6
\l "_Tc151110364" PAGEREF _Tc151110364 \h 8
题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围
1．（2023·广西·统考中考真题）若分式1x+1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠−1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
2．（2021·湖南娄底·统考一模）若式子1x−1有意义，则实数x的取值范围是 .
3．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x 时，分式13−x无意义．
4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于分式2−x2x−6，下列说法错误的是（ ）
A．当x=2时，分式的值为0B．当x=3时，分式无意义
C．当x>2时，分式的值为正数D．当x=83时，分式的值为1
题型02 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）分式x+5x−2的值是零，则x的值为（ ）
A．5B．−5C．−2D．2
2．（2023·陕西西安·统考模拟预测）使得分式值x2−4x+2为零的x的值是 ；
3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若分式x2x+3的值为负数，则x的取值范围是 ．
题型03 约分与最简分式
1．（2023·甘肃武威·统考三模）计算：3m36m2= ．
2．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a2−2a+11−a2＝ ．
3．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．xx+yB．1510xC．4ab3a2D．a2−b2a+b
题型04 最简公分母
1．（2021·广东广州·广州市第十六中学校考二模）分式x+y3xy，3y2x2，xy6xy2的最简分母是（ ）
A．3xB．xC．6x2D．6x2y2
2．分式m2m−2n和3nm−n的最简公分母为 ．
题型05 利用分式的基本性质进行变形
1．（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．ab=a+2b+2B．−a+2b=−a+2bC．ab=a2b2D．ab=a+2ab+2b
2．（2023·浙江温州·统考一模）下列式子一定成立的是（ ）
A．ab=b+2a+2B．ab=a−1b−1C．ab=a2b2D．ab=3a3b
3．（2022易县二模）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．a+3b+3=abB．ab=acbcC．ab=a3b3D．ab3ab=13
题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化
1．（2022·河北邯郸·统考一模）只把分式4m−a5n中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的（ ）
A．2B．mnC．m3D．m2
2．（2022·湖南永州·统考二模）如果分式xyx+y中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ）
A．不变B．缩小为原来的12
C．扩大为原来的2倍D．不确定
3．（2022·河北保定·统考一模）不改变分式的值，将分式0.02x+0.5yx+0.004y中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（ ）
A．20x+500y1000x+4yB．20x+500y100x+4yC．2x+50y1000x+4yD．2x+5yx+4y
4．（2021·河北邢台·统考一模）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．x+y2x2B．xyx+yC．x+2y+2D．x−2y−2
题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形
1．（2022无锡市三模）分式22−x可变形为（ ）
A．22+xB．−22+xC．2x−2D．−2x−2
2．（2022秦皇岛模拟）下列分式中与−x+y−x−y的值相等的分式是（ ）
A．x+yx−yB．x−yx+yC．-x+yx−yD．-x−yx+y
3．（2022铜仁市三模）分式−a2−3a可变形为（ ）
A．−a3a−2B．a3a−2C．a3a+2D．−a3a+2
题型08 分式的加减法
1．（2020·山东淄博·统考中考真题）化简a2+b2a−b+2abb−a的结果是（ ）
A．a+bB．a﹣bC．(a+b)2a−bD．(a−b)2a+b
2．（2022·四川眉山·中考真题）化简4a+2+a−2的结果是（ ）
A．1B．a2a+2C．a2a2−4D．aa+2
3．（2021·四川自贡·统考中考真题）化简：2a−2−8a2−4= ．
4．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来每天节约用水 吨．
5．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为ama>1的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为a−1m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500kg．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
题型09 分式的乘除法
1．（2023·山东济南·统考一模）化简：x2x2−4÷xx−2=（ ）
A．1B．xC．xx−2D．xx+2
2．（2023·江西·模拟预测）计算−ba3÷1a2的结果为（ ）
A．−b3aB．b3aC．−b3a5D．b3a5
3．（2023·山西大同·校联考三模）计算a2−1a2−2a+1⋅1−aa2+a的结果为（ ）
A．−1aB．1aC．2aD．3a
4．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）计算：x2+xyxy⋅y2x+y= ．
5．（2023·广东汕头·校联考二模）把式子x−1x−3÷x2−1x2−6x+9化到最简其结果为 ．
题型10 分式的混合运算
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）化简：1−1x+1⋅x2−1x= ．
2．（2022·陕西·统考中考真题）化简：a+1a−1+1÷2aa2−1．
3．（2022·西藏·统考中考真题）计算：a2+2aa⋅aa2−4−2a−2．
4．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）计算：
(1)x+y2−x2y−x；
(2)a−1+4aa−1÷2a2−2a2−2a+1．
题型11 分式的化简求值
1．已知xx2−x+1=17，则x2x4−x2+1= ．
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）化简：x−2−4x−2÷x−4x2−4，并给出x的值，使得该式的值为0．
3．（2022·福建·统考模拟预测）先化简，再求值：1+1a÷a2−1a，其中a=2+1．
4. 如果m2−4m−6=0，那么代数式m2−m−4m+3+1÷m+1m2−9的值．
5．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）先化简，再求值：a2−6ab+9b2a2−2ab÷5b2a−2b−a−2b−1a，其中a,b满足a+b=5a−b=1．
题型12 零指数幂
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）3−8−(−1)0= ．
2．（2023·重庆江北·校考一模）计算：cs60°+π−3.140= ．
1．（2023·江苏·统考中考真题）若代数式xx2−1的值是0，则实数x的值是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
2．（2023·贵州·统考中考真题）化简a+1a−1a结果正确的是（ ）
A．1B．aC．1aD．−1a
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简4x+2+x−2的结果是（ ）
A．1B．x2x2−4C．xx+2D．x2x+2
4．（2022·山东济南·统考中考真题）若m－n＝2，则代数式m2−n2m⋅2mm+n的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在函数y=2x−8中，自变量x的取值范围是 ．
6．（2023·福建·统考中考真题）已知1a+2b=1，且a≠−b，则ab−aa+b的值为 ．
7．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：x+2x2−2x−x−1x2−4x+4÷x−4x2−2x= ．
8．（2022·山东菏泽·统考中考真题）若a2−2a−15=0，则代数式a−4a−4a⋅a2a−2的值是 ．
9．（2022·江苏苏州·统考中考真题）计算：−3+22−3−10．
10．（2022·内蒙古·中考真题）计算：−12−1+2cs30°+(3−π)0−3−8．
11．（2021·广西梧州·统考中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+x3−4x2x2．
12.（2023·山东临沂·统考中考真题）（1）解不等式5−2x<1−x2，并在数轴上表示解集．
（2）下面是某同学计算a2a−1−a−1的解题过程：
解：a2a−1−a−1
=a2a−1−(a−1)2a−1 ①
=a2−(a−1)2a−1 ②
=a2−a2+a−1a−1 ③
=a−1a−1=1 ④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
13．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式a−ba÷a−2ab−b2a的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
14．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简x−1−3x+1÷x2−4x2+2x+1，然后从−1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
15．（2022·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值：a+1−5+2aa+1÷a2+4a+4a+1，其中a=9+|−2|−12−1．
16．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值：x2−1x2−2x+1−1x−1÷3x−1，其中x=12−1+−30．
17．（2023·青海西宁·统考中考真题）先化简，再求值：aa2−b2−1a+b÷1a2−ab，其中a，b是方程x2+x−6=0的两个根．
18．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）先化简，再求值：
(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1，其中x满足x2−x−2=0．
1．（2022·湖南·统考中考真题）有一组数据：a1=31×2×3，a2=52×3×4，a3=73×4×5，…，an=2n+1n(n+1)(n+2)．记Sn=a1+a2+a3+…+an，则S12= ．
2．（2023·广东广州·统考中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
3．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴m+n=1,mn=−1．
则m2n+mn2=mnm+n=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求1s−1t的值．解：原式=a−ba÷a−a−ba+2ab−b2a…………第一步
=a−ba⋅1a−a−ba⋅a2ab−b2…………第二步
=a−ba2=a−b2ab−b2…………第三步
……