第07讲 一元二次方程（25题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第07讲 一元二次方程
目 录
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc152342880"
\l "_Tc152342881" 题型01 识别一元二次方程
\l "_Tc152342882" 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
\l "_Tc152342883" 题型03 一元二次方程的一般形式
\l "_Tc152342884" 题型04 由一元二次方程的解求参数的值
\l "_Tc152342885" 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
\l "_Tc152342886" 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
\l "_Tc152342887" 题型07 选用合适的方法解一元二次方程
\l "_Tc152342888" 题型08 错看或错解一元二次方程问题
\l "_Tc152342889" 题型09 配方法的应用
\l "_Tc152342890" 题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况
\l "_Tc152342891" 题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况
\l "_Tc152342892" 题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
\l "_Tc152342893" 题型13 应用根的判别式证明方程根的情况
\l "_Tc152342894" 题型14 与根的判别式有关的新定义问题
\l "_Tc152342895" 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值
\l "_Tc152342896" 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
\l "_Tc152342897" 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
\l "_Tc152342898" 题型18 与根与系数有关的新定义问题
\l "_Tc152342899" 题型19 构造一元二次方程求代数式的值
\l "_Tc152342900" 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
\l "_Tc152342901" 题型21 分裂（传播）问题
\l "_Tc152342902" 题型22 碰面（循环）问题
\l "_Tc152342903" 题型23 增长率问题
\l "_Tc152342904" 题型24 营销问题
\l "_Tc152342905" 题型25 与图形有有关的问题
\l "_Tc152342906"
\l "_Tc152342907"
题型01 识别一元二次方程
1．（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2=5x−1B．x+1x=2
C．x−3x+1=x2−5D．3x−y=5
2．（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2−2x+1x=0B．y=2x2−3x−1
C．x2−1=0D．y2−x+3=0
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
1．（2022上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程m−3x2+x−m=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠3B．m=3C．m≥3D．m≠0
2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
3．（2022西咸新区五模）若方程(m−1)x2+mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
题型03 一元二次方程的一般形式
1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
2．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2−7=3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．2，﹣7，﹣3C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
3．（2022上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x2−3x−2=8的一般形式是 ．
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ．
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4a2+6a的值为（ ）
A．10B．－10C．2D．－40
2．（2022上·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（ ）
A．62B．63C．64D．65
3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于 ．
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是 ．
2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．
题型07 选用合适的方法解一元二次方程
1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5x(2x−1)−2(2x−1)=0．
57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．
2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程：
(1)(2x+1)2=(x−3)2；
(2)3x2−9x+4=0．
3．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程x2−22−11x2−2+18=0，我们可以将x2−2视为一个整体，然后可设x2−2=y，则x2−22=y2，于是原方程可转化为y2−11y+18=0，解此方程，得y1=2，y2=9．
当y1=2时，x2−2=2，x2=4，∴x=±2；
当y2=9时，x2−2=9，x2=11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程x4−3x2−4=0．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足m+3nm+3n−2=2m+6n−4，求4m+12n−3的值．
题型08 错看或错解一元二次方程问题
1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2−3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2−3x+2=0
x2−2x−x+2=0 第①步
x2−2x=x−2 第②步
xx−2=x−2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程：x−32=2x−3的具体过程，方程两边同除以x−3，得x−3=2，移项，得x=5，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
3．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x2−5x=−3的过程中出现了错误，其解答如下：
解：∵a=1，b=−5，c=−3，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
∴b2−4ac=(−5)2−4×1×(−3)=37，．．．．．．．．．．．．．第二步
∴x=5±372，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
∴x1=5+372,x2=5−372．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
题型09 配方法的应用
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y2−2x+4=0，则x2+y2+2x的最小值是（ ）
A．8B．−8C．−9D．9
2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a−14B．k−14且k≠0D．k