第08讲 一元一次不等式（组）及其应用（20题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第08讲 一元一次不等式（组）及其应用
目 录
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc152946548" 题型01 利用不等式的性质判断式子正负
\l "_Tc152946549" 题型02 根据点在数轴的位置判断式子正负
\l "_Tc152946550" 题型03 利用不等式的性质比较大小
\l "_Tc152946551" 题型04 利用不等式的性质确定参数的取值范围
\l "_Tc152946552" 题型05 不等式性质的应用
\l "_Tc152946553" 题型06 求一元一次不等式解集
\l "_Tc152946554" 题型07 利用数轴表示一元一次不等式解集
\l "_Tc152946555" 题型08 一元一次不等式整数解问题
\l "_Tc152946556" 题型09 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
\l "_Tc152946557" 与一元一次不等式有关的新定义问题
\l "_Tc152946558" 题型11 含绝对值的一元一次不等式
\l "_Tc152946559" 题型12 解一元一次不等式组
\l "_Tc152946560" 题型13 求不等式组整数解
\l "_Tc152946561" 题型14 由不等式组整数解求字母的取值范围
\l "_Tc152946562" 题型15 由不等式组的解集求参数
\l "_Tc152946563" 题型16 由不等式组有关的新定义问题
\l "_Tc152946564" 题型17 根据程序图解不等式组
\l "_Tc152946565" 题型18 不等式组与方程的综合
\l "_Tc152946566" 题型19 利用一元一次不等式解决实际问题
\l "_Tc152946567" 题型20 利用一元一次不等式组解决实际问题
题型01 利用不等式的性质判断式子正负
1．（2021·浙江丽水·统考中考真题）若−3a>1，两边都除以−3，得（ ）
A．a<−13B．a>−13C．a<−3D．a>−3
【答案】A
【分析】利用不等式的性质即可解决问题．
【详解】解：−3a>1，
两边都除以−3，得a<−13，
故选：A．
【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
2．（2021·江苏泰州·校考模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．若ab，则−4a<−4b
C．若a>b，则1−a<1−bD．若a>b，则a+x>b+x
【答案】A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．
【详解】解：A、若aB、若a>b，则−4a<−4b，此选项正确，不符合题意；
C、若a>b，则1−a<1−b，此选项正确，不符合题意；
D、若a>b，则a+x>b+x，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
3．（2022·内蒙古包头·中考真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2−12nC．n−m>0D．1−2m<1−2n
【答案】D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴m−2>n−2，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴−12m<−12n，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴m−n>0，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴1−2m<1−2n，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
题型02 根据点在数轴的位置判断式子正负
1．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
【答案】A
【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1∴a∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵a∴a−b<0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．
2．（2022·北京东城·统考一模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a>bB．−a【答案】D
【分析】由数轴可知，−2【详解】解：由数轴可知，−2∴a∵b<1<−a<2，
∴−a>b，故B错误，不符合题意；
∵b<1∴a>b，故C错误，不符合题意；
∵a<−1，a+b<−1+b<0，
∴a+b<0，故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负，不等式的性质等知识．解题的关键在于明确−23．（2022·北京平谷·统考二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a<−2B．a0
【答案】D
【分析】先根据数轴的性质可得−2【详解】解：由数轴的性质得：−2A、a>−2，此项错误，不符题意；
B、a>b，此项错误，不符题意；
C、−a>−b，此项错误，不符题意；
D、ab>0，此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、不等式的性质、有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
题型03 利用不等式的性质比较大小
1．（2022·广东深圳·模拟预测）如果m是一个不等于−1的负整数，那么m，1m，−m，−1m这几个数从小到大的排列顺序是（ ）
A．m<1m<−m<−1mB．m<1m<−1m<−m
C．−m<−1m【答案】B
【分析】先求出m和1m的差，根据m的取值范围确定m和1m的大小关系和正负，再根据不等式的性质确定−m和−1m的大小关系和正负，即可得出这四个数的大小关系．
【详解】解：m−1m=m+1m−1m．
∵m是一个不等于−1的负整数，
∴m<0，m+1<0，m−1<0，1m<0．
∴m+1m−1m<0．
∴m−1m<0
∴m<1m<0．
∴−m>−1m>0．
∴m<1m<−1m<−m．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．
2．（2022·河北邯郸·校联考三模）如果a>b，那么一定有amA．－10B．10C．0D．无法确定
【答案】A
【分析】根据不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行求解．
【详解】解：对a>b左右两边同时除以m，得am故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a 1b．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】>
【分析】由图可得：1【详解】解：由图可得：1由不等式的性质得：1a>1b，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
4．（2019·安徽合肥·统考二模）观察下列不等式：①122<11×2；②132<12×3；③142<13×4···；
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第5个不等式：___________；
（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；
（3）利用上面的猜想，比较n+2n+12和1n的大小．
【答案】（1）162<15×6；（2）1n+12<1nn+1；（3）n+2n+12<1n．
【分析】(1)根据给出的不等式写出第5个不等式；
(2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答；
(3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小．
【详解】(1)①122<11×2，
②132<12×3，
③142<13×4，
⋯，
则第5个不等式为：162<15×6，
故答案为：162<15×6；
(2)第n个不等式为：1n+12<1nn+1，
故答案为：1n+12<1nn+1；
(3)n+2n+12<1n，
其理由是：
由(2)得：1n+12<1nn+1，即1n+12<1n−1n+1，
∴1n+12+1n+1<1n，
∴1n+12+n+1n+12<1n，
则n+2n+12<1n．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，不等式的性质，分式的化简计算，根据给出的不等式正确找出变化规律是解题的关键．
5．（2023·浙江舟山·统考三模）观察：12<1+12+1，13<1+13+1，34<3+14+1，47<4+17+1．
(1)猜想：当0”“＝”“<”填空）
(2)探究：当0【答案】(1)<，<，<
(2)ba【分析】（1）观察已知条件中的式子规律，即可猜想得出结论；
（2）根据不等式的性质，对0【详解】（1）∵12<1+12+1，13<1+13+1，34<3+14+1，47<4+17+1，
∴猜想：当0故答案是<，<，<；
（2）ba∵0∴bn∴ab+bn∴ba+n∴ba【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌不等式的性质，利用性质对式子进行变形是解题的关键．
6．已知(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)，其中a，b，c是常数，且c≠1.
（1）当b=−2, c=3时，求a的范围.
（2）当a<−2时，比较b和c的大小.
（3）若当a>−1时，b⩽c−1成立，则bc−1的值是多少？
【答案】（1）a≤−1；（2）b【分析】（1）将b=−2, c=3代入不等式，即可解出a的范围；
（2）当a<−2时，可知a+1<0，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；
（3）当a>−1时，可知a+1>0，根据不等式的性质可得b+2⩾c+1，即b⩾c−1，结合
b⩽c−1可知b=c−1，即可求出bc−1的值.
【详解】解：（1）将b=−2, c=3代入不等式得
0≥(a+1)(3+1)，解得a≤−1
（2）当a<−2时，a+1<0
不等式(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)两边同除以(a+1)得
b+2≤c+1
∴b≤c−1
∴b（3）当a>−1时，a+1>0
不等式(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)两边同除以(a+1)得
b+2≥c+1
∴b≥c−1
又∵b≤c−1
∴b=c−1
∴bc−1=1
【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
题型04 利用不等式的性质确定参数的取值范围
1. 若amn，则a的值可以是（ ）
A．17B．−7C．0.7D．7
【答案】B
【分析】根据不等式的性质3得出a＜0，再得出选项即可．
【详解】解：由am＜an得出m＞n是不等式的两边都除以a，并且不等号的方向改变了，
所以a＜0，
∴只有选项B中的-7＜0，选项A、选项C、选项D中的数都大于0，
即选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．（2021·山东聊城·统考中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．
【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题的关键．
3．（2022·江苏宿迁·统考三模）若不等式mx>3m，两边同除以m，得x>3，则m的取值范围为 ．
【答案】m>0
【分析】由不等式的基本性质知m>0 ，据此可得答案．
【详解】解：若不等式mx>3m ，两边同除以m ，得x>3 ，
则m>0 ．
故答案为：m>0 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
题型05 不等式性质的应用
1．（2021·山东菏泽·统考三模）已知三个实数a，b，c满足a−2b+c=0，a+2b+c<0，下列结论正确的是（ ）
A．b<0，b2−ac≥0B．b<0，b2−ac≤0
C．b>0，b2−ac≥0D．b>0，b2−ac≤0
【答案】A
【分析】先把a−2b+c=0变形为2b=a+c，然后整体代入a+2b+c<0即可求出b<0，把b=a+c2代入b2−ac进行化简成14(a−c)2，即可判断b2−ac ≥0.
【详解】解：∵a−2b+c=0，
∴2b=a+c，
又a+2b+c<0，
∴4b<0，
∴b<0，
∵2b=a+c，
∴b=a+c2，
∴b2−ac=(a+c2)2−ac=a24+ac2+c24−ac=a24−ac2+c24=14(a−c)2≥0 .
故选：A.
【点睛】此题考查了不等式的性质，完全平方公式等知识点，把b=a+c2代入a+2b+c<0化简是解题的关键.
2．（2022·北京西城·统考一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S=abk来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的47处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）．
【答案】 > 1.27
【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S=abk1；根据S叶子=12b·3t+b·4t=112bt和S=abk=7t·bk=7btk，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S∴S=abk∴k>1，
∵S叶子=12b·3t+b·4t=112bt
S=abk=7t·bk=7btk
∴112bt=7btk
∴k=7bt112bt=1411≈1.27
故答案为：>，1.27．
【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键．
3．（2022上·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且6−xa<6−xb，则x的取值范围是 ．
【答案】x>6
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：∵a>b，且6−xa<6−xb，
∴6−x<0，
解得x>6．
故答案为：x>6．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
4．（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）已知实数a，b满足a2+b2=3+ab，则2a−3b2+a+2ba−2b的最大值为 ．
【答案】22
【分析】将2a−3b2+a+2ba−2b化简可得5a2+5b2−12ab，将a2+b2=3+ab代入化简结果可得原式=15+3ab，将a2+b2=3+ab两边加上2ab，得到a+b2=3+3ab，根据平方的非负性解出ab的取值范围，即可解答．
【详解】解：2a−3b2+a+2ba−2b
=4a2−12ab+9b2+a2−4b2
=5a2−12ab+5b2
将a2+b2=3+ab代入得：原式=5a2+b2−12ab=15−7ab，
将a2+b2=3+ab两边加上2ab，
得：a2+b2+2ab=3+ab+2ab，即a+b2=3+3ab，
∵a+b2≥0，
∴3+3ab≥0，即ab≥−1，−ab≤1，
∴ 15−7ab=15+−7ab≤15+7=22
∴原式的最大值为22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，不等式的性质，根据完全平方公式得出ab的取值范围是解题的关键．
题型06 求一元一次不等式解集
1．（2022·浙江金华·统考中考真题）解不等式：2(3x−2)>x+1．
【答案】x>1
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
【详解】解：2(3x−2)>x+1，
6x−4>x+1，
6x−x>4+1，
5x>5，
∴x>1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式解法的基本步骤是解题的关键．
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
【答案】x<1115
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：12(x−3)<13−2x
去分母，得3(x−3)<2−12x，
去括号，得3x−9<2−12x，
移项、合并同类项，得15x<11．
化系数为1，得x<1115．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
题型07 利用数轴表示一元一次不等式解集
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）不等式2x+1>3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：2x+1>3
移项合并得：2x>2，
系数化1得：x>1，
表示在数轴上为∶

故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键．
2．（2022·广西·中考真题）解不等式2x＋3≥－5，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】原不等式的解集为x≥−4；见解析
【分析】通过移项，合并同类项及不等式的两边同时除以2，进行求解并把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】移项，得2x≥−5−3，
合并同类项，得2x≥−8，
不等式的两边同时除以2，得x≥−4，
所以，原不等式的解集为x≥−4．
如图所示：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，及将解集在数轴上表示出来，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
3．（2022上·江苏苏州·七年级统考期末）解不等式x−12<4x−53−1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞135，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：去分母，得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5）﹣6，
去括号，得：3x﹣3＜8x﹣10﹣6，
移项，得：3x﹣8x＜﹣10﹣6+3，
合并同类项，得：﹣5x＜﹣13，
系数化为1，得：x＞135，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
题型08 一元一次不等式整数解问题
1．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）不等式−3x>−9的正整数解有 个．
【答案】2
【分析】先求出不等式的解集，然后根据解集求其正整数解．
【详解】解：∵−3x>−9，
∴x<3，
∴正整数解是：1，2；共2个，
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1，注意，系数化为1时要考虑不等号的方向是否改变．
2．（2022上·广东梅州·九年级校考开学考试）已知关于x的不等式2m−mx2>12x−1．
(1)当m=1时，求该不等式的正整数解
(2)m取何值时，该不等式有解，并求出其解集
【答案】(1)1
(2)当m≠−1时，不等式有解，当m>−1时，原不等式的解集为x<2；当m<−1时，原不等式的解为x>2
【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
【详解】（1）当m=1时，原不等式为∶
2−x2≥12x−1．
去分母，得∶
2−x>x−2．
解得x<2．
∴它的正整数解为1．
（2）2m−mx2>12x−1．
去分母，得∶
2m−mx>x−2．
移项，合并同类项，得∶
m+1x<2m+1．
当m≠−1时，不等式有解，
当m>−1时，原不等式的解集为x<2；
当m<−1时，原不等式的解为x>2．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3．（2022·北京朝阳·统考二模）解不等式x−5【答案】x<32，不等式的所有非负整数解为0，1
【分析】去分母，移项、合并同类项，系数化为1即可，根据不等式的解集即可求得所有非负整数解．
【详解】解：3x−53x−152x<3，
x<32．
∴原不等式的所有非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及求其非负整数解，正确求解不等式是解题的关键．
4．（2023·陕西咸阳·统考二模）解不等式1−8+x3≤x2，并求出它的最小整数解．
【答案】x≥−2，−2
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即可得出答案．
【详解】解：1−8+x3≤x2，
去分母得：6−2(8+x)≤3x，
去括号得：6−16−2x≤3x，
移项得：−2x−3x≤−6+16，
合并同类项得：−5x≤10，
x≥−2，
∴不等式的最小整数解为：−2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能求出不等式的解集是解此题的关键．
5．（2023·陕西榆林·统考二模）解不等式：5x−3≤x+72，并求这个不等式的正整数解．
【答案】x≤138，1
【分析】先移项，再根据不等式的性质系数化为1，然后再确定正整数解即可．
【详解】解：5x−3≤x+72
移项，得5x−x≤72+3，
合并同类项，得4x≤132
解得x≤138，
所以原不等式的正整数解为1．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键．
6. 不等式x−2≤3+x3的非负整数解有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
【答案】C
【分析】求出不等式的解集，再根据非负整数解的条件求出特殊解．
【详解】解：去分母得：3(x－2)≤x＋3，
去括号，得3 x-6≤x+3，
移项、合并同类项，得2x≤9，
系数化为1，得x≤4.5，
则满足不等式的“非负整数解”为：0，1，2，3，4，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式，解题的关键是理解题中的“非负整数”．
7．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）先化简，再求值：1+1x−1÷xx2−1，其中x是不等式2+x>2x−1的非负的整数解．
【答案】x+1,3
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】1+1x−1÷xx2−1
=x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x+1,
∵2+x>2x−1，
∴x<3，
∴此不等式的非负整数解有0，1，2，
当x=0，1时，分式无意义，
∴当x=2时，原式=2+1=3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
题型09 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
1．（2020·甘肃天水·统考中考真题）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为( )
A．−7【答案】D
【分析】先解不等式得出x⩽2−a3，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2⩽2−a3<3，解之可得答案．
【详解】解：∵3x+a⩽2，
∴3x⩽2−a，
则x⩽2−a3，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2⩽2−a3<3，
解得：−7故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．
2. 若不等式（m－2）x>2的解集是x<2m−2,则m的取值范围是（ ）.
A．m=2B．m=0C．m <2D．m>2
【答案】C
【分析】先根据不等式的解集范围判断出（m-2）的正负性，再求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵不等式（m-2）x＞2的解集是x<2m−2，
根据“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变”，
∴m-2＜0，m＜2．
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
题型10 3．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的不等式3x−m≤0的正整数解有四个，求m的取值范围．
【答案】12≤m<15
【分析】解不等式3x−m≤0, 得x≤m3，根据关于x的不等式3x−m≤0的正整数解有四个，得出4≤m3<5，解不等式组即可求解．
【详解】解：解不等式3x−m≤0,
得x≤m3，
由题意得4≤m3<5，
解得12≤m<15.
【点睛】本题考查了一元一次不等式（组）的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．
与一元一次不等式有关的新定义问题
1．（2021·内蒙古·统考中考真题）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的值是（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【答案】B
【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为x>−1，所以与化简所求解集相同，可得出等式2m+3=−1，即可求得m．
【详解】解：由a⊗b=a−2b，
∴x⨂m=x−2m>3，
得：x>2m+3，
∵x⨂m>3解集为x>−1，
∴2m+3=−1
∴m=−2，
故选：B．
【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．
2．定义一种新运算：当a>b时，a∗b=ab+b；当a0，则x的取值范围是（ ）
A．−1C．−21D．x<−2或x>2
【答案】C
【分析】分当3>x+2，即x<1时，当31时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可．
【详解】解：当3>x+2，即x<1时，
∵ 3∗(x+2)>0，
∴3(x+2)+(x+2)>0，
∴3x+6+x+2>0，
∴x>−2，
∴−2当31时，
∵ 3∗(x+2)>0，
∴3(x+2)−(x+2)>0，
∴2x+4>0，
∴x>−2，
∴x>1；
综上所述，−21，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b=2a−3b．如：1⊕5=2×1−3×5=−13，则不等式4⊕x<2的解集为是（ ）
A．x<2B．x<−2C．x>2D．x>−2
【答案】C
【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解集．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：2×4-3x＜2，
移项合并得：3x＞6，
解得：x＞2．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．（2022下·江苏淮安·九年级统考期中）定义新运算：a*b＝3a+b，则不等式x*1＜-2的解集是 ．
【答案】x<−1
【分析】根据新定义列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵a*b＝3a+b，
∴x*1=3x+1，
∴x*1＜-2即3x+1<−2，
解得x<−1，
故答案为：x<−1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，根据新定义列出不等式是解题的关键．
5．（2021·河南南阳·统考三模）定义一种新运算：aⓍb＝b（a＜b）．若5x−42Ⓧ1＝1，则x的取值范围是 ．
【答案】x<65
【分析】根据aⓍb＝b（a＜b），把5x−42Ⓧ1＝1转化为不等式，解不等式可得答案；
【详解】解：由题意5x−42Ⓧ1＝1则5x−42<1，
所以5x-4<2,
所以x<65 ,
故答案为x<65 ．
【点睛】本题考查了新定义和不等式的解法，把新定义转化为不等式是解题的关键．
6．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=mn−3n，例如4☆2=4×2−3×2=8−6=2，请根据上述知识解决下列问题．
(1)x☆2>4，求x取值范围；
(2)若x☆−14=3，求x的值；
(3)若方程x☆□=x−6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数．
【答案】(1)x>5
(2)x=−9
(3)52
【分析】（1）根据题意列出不等式进行计算即可；
（2）根据题意列出方程进行计算即可；
（3）设□中的常数为y，根据题意列出关于y的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵x☆2>4，
∴2x−3×2>4，
解得：x>5．
（2）解：∵x☆−14=3，
∴−14x−3×−14=3，
解得：x=−9．
（3）解：设□中的常数为y，根据题意得：
xy−3y=x−6，
∵此方程的一个解为x=1，
∴y−3y=1−6，
解得：y=52．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不等式或方程．
题型11 含绝对值的一元一次不等式
1. 先阅读，再完成练习
一般地，数轴上表示数x的点与原点的距离，叫做数x的绝对值，记作x．
x＜3，x表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；
x＞3，x表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数或大于3的数，它们到原点距离大于3，所以x＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式x＜5的解集为________，不等式x＞5的解集为________．
（2）不等式x＜m（m＞0）的解集为________．不等式x＞m（m＞0）的解集为________．
（3）解不等式x−3＜5．
（4）解不等式x−5＞3．
【答案】（1）﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；（2）﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；（3）﹣2＜x＜8；（4）x＞8或x＜2．
【分析】（1）根据题意可得答案；
（2）根据题意可得答案；
（3）将x−3作为整体得−5＜x−3＜5，解之即可；
（4）将x−5作为整体得x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，解之即可．
【详解】解：（1）不等式x＜5的解集为﹣5＜x＜5，
不等式x＞5的解集为x＜﹣5或x＞5，
故答案为：﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；
（2）不等式x＜m（m＞0）的解集为﹣m＜x＜m，
不等式x＞m（m＞0）的解集为x＜﹣m或x＞m，
故答案为：﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；
（3）x−3＜5，
∴﹣5＜x﹣3＜5，
∴﹣2＜x＜8；
（4）x−5＞3，
∴x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，
∴x＞8或x＜2．
【点睛】此题考查含绝对值的不等式，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以正确理解阅读材料的解题方法才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的几何意义问题，数形结合利用数轴来理解是关键．
2. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式的解集
（1）探究的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为，由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离为，
可记为：A＇O=．将线段A＇O向右平移一个单位，得到线段AB，，此时点A对应的数为，点B的对应数是1，
因为AB= A＇O，所以AB=．
因此，的几何意义可以理解为数轴上所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程=2的解
因为数轴上3与所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为
（3）求不等式的解集
因为表示数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点所对应的数的范围．
请在图②的数轴上表示的解集，并写出这个解集
探究二：探究的几何意义
（1）探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（），Q点坐标（），|OP|=，|OQ|=，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则
因此的几何意义可以理解为点M与原点O（0,0）之间的距离OM
（2）探究的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，由探究（二）（1）可知，
A＇O=，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（1,5）．
因为AB= A＇O，所以 AB=，因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（1,5）之间的距离．
（3）探究的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4）的几何意义可以理解为：_________________________.
拓展应用：
（1）+的几何意义可以理解为：点A与点E的距离与点AA与点F____________（填写坐标）的距离之和．
（2）+的最小值为____________(直接写出结果)
【答案】探究一（3） 解集为：
探究二（3）（）拓展应用（1）（） （2）5
【详解】试题分析：探究一（3）：的解集就是数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离小于2的点所对应的数，利用数轴可知
探究二（3）：根据题目信息，的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离．
拓展应用：根据题目信息知是与点F（）的距离之和．
+表示点A与点E的距离与点A与点F（）的距离之和．∴最小值为E与点F（）的距离5.
试题解析：探究一
（3）
解集为：
探究二（3）
如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，
由探究（二）（1）可知， A＇O=，
将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（）．
因为AB= A＇O，所以 AB=，
因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离．
拓展应用
（1）（） （2）5
题型12 解一元一次不等式组
1．（2022·山东滨州·统考中考真题）把不等式组x−3<2xx+13≥x−12中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】x−3<2x①x+13≥x−12②
解①得x>−3，
解②得x≤5，
∴不等式组的解集为−3，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2020·广东·统考中考真题）不等式组2−3x≥−1x−1≥−2(x+2)的解集为（ ）
A．无解B．x≤1C．x≥−1D．−1≤x≤1
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，
解不等式x−1≥−2（x＋2），得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x≤1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）用两种不同的方法解不等式组：−1<2x−13≤5．
【答案】−1【分析】法1：转化为解一元一次不等式组；法2：利用不等式的性质，进行求解即可．
【详解】解：方法1：原不等式组可化为下面的不等式组−1<2x−13①2x−13≤5.2②
解不等式①，得x>−1；
解不等式②，得x≤8；
所以不等式组的解集为−1方法2：∵−1<2x−13≤5，
∴−3<2x−1≤15，
∴−2<2x≤16，
∴−1【点睛】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组．熟练掌握不等式的性质，解一元一次不等式组的步骤，是解题的关键．
题型13 求不等式组整数解
1．（2022·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组x−2≤2xx−1<1+2x3 ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】3
【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．
【详解】解：x−2≤2x①x−1<1+2x3②
解不等式①，得x≥−2，
解不等式②，得x<4，
∴不等式组的解集为−2≤x<4，
∴不等式组的所有整数解为：−2 ，−1 ，0 ，1 ，2 ，3
∴所有整数解的和为：−2+−1+0+1+2+3=3．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．
2．（2021·山东济南·统考中考真题）解不等式组：{3(x−1)≥2x−5,①2x【答案】−2≤x<1；−2,−1,0
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【详解】{3(x−1)≥2x−5,①2x解不等式①得：x≥−2
解不等式②得：x<1
∴不等式组的解集为：−2≤x<1
它的所有整数解为：−2,−1,0
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
3．（2021·陕西·统考模拟预测）解不等式组x2≥x−133(x+1)>4x+2，并写出不等式组的所有整数解．
【答案】-2≤x＜1；整数解为-2，-1，0
【分析】求得x2≥x−13的解集为x≥-2，3(x+1)>4x+2的解集为x＜1，确定解集，求整数解即可．
【详解】∵x2≥x−13的解集为x≥-2，3(x+1)>4x+2的解集为x＜1，
∴x2≥x−133(x+1)>4x+2的解集为-2≤x＜1；
所有的整数解为-2，-1,0．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集的整数解，熟练解不等式，准确确定不等式组的解集是解题的关键．
题型14 由不等式组整数解求字母的取值范围
1．（2022·江苏南通·统考二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：x−a<0①2x+3>0②，
解①得x解②得x>−32．
则不等式组的解集是−32∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴a＞3．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
2．（2021·山东日照·校考一模）关于x的不等式组2x+53>x−5x+32A．−6【答案】C
【分析】先解x的不等式组2x+53>x−5x+32【详解】解：不等式组2x+53>x−5x+32解得：x<20x>3−2a，
∵不等式组只有5个整数解，即解只能是x=15，16，17，18，19，
∴a的取值范围是：3−2a≥143−2a<15，
解得：−6故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于a的不等式组．
3．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的不等式组{3x−5⩾12x−a<8有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．0≤a<2C．0【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式3x−5⩾1得：x≥2，
解不等式2x−a<8得：x<8+a2，
∴不等式组的解集为：2≤x<8+a2，
∵不等式组{3x−5⩾12x−a<8有三个整数解，
∴三个整数解为：2，3，4，
∴4<8+a2≤5，
解得：0故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组．
4．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）关于x的不等式组6−3x<02x≤a恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a=10B．10≤a<12C．10【答案】B
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由6−3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得：x≤a2，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴5≤a2<6，解得10≤a<12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
5．（2021·四川泸州·统考中考真题）关于x的不等式组{2x−3>0x−2a<3恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】0【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】解：{2x−3>0①x−2a<3②
解①得x>32，
解②得x<3+2a，
不等式组的解集是32∵不等式组只有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则3<3+2a≤4,
∴0故答案是：0【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
题型15 由不等式组的解集求参数
1．（2022·山东聊城·统考二模）若关于x的一元一次不等式组x−m≥02x+1<3无解，则m的取值范围是（ ）
A．m<1B．m≤1C．m>1D．m≥1
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大大小小找不到”得出关于m的不等式，解之即可．
【详解】解：∵x−m≥02x+1<3，
解得：x≥mx<1，
∵不等式无解，
∴m≥1，
故选：D
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2022牡丹区三模）关于x的不等式组3x−1>4(x−1)x【答案】a≥3
【分析】先解第一个不等式得到x＜3，由于不等式组的解集为x＜3，则利用同大取大可得到a的范围．
【详解】解：3x−1>4(x−1)①x解①得x＜3，
而不等式组的解集为x＜3，
所以a≥3．
故答案为：a≥3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
3．（2023·黑龙江·校联考一模）若关于x的不等式组5x−3<4x,3x−5>m有解，则m的取值范围是 ．
【答案】m<4/4>m
【分析】先分别解出两个不等式得x<3，x>5+m3，再根据不等式组有解可得5+m3<3，解这个不等式即可．
【详解】解：5x−3<4x①,3x−5>m②
由不等式①得x<3，
由不等式②得x>5+m3，
∵不等式组有解，
∴5+m3<3，
解得m<4，
故答案为：m<4．
【点睛】本题考查利用一元一次不等式组有解求字母参数的取值范围，解题关键是列出关于字母参数的不等式．
题型16 由不等式组有关的新定义问题
1．（2022·河南驻马店·统考三模）定义一种新运算：a⊙b=ab+2a，则不等式组(−2)⊙x<2x⊙12≤5的负整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据新运算的定义将不等式组(−2)⊙x<2x⊙12≤5变形成−2x−4<212x+2x≤5，解不等式组，找出其中的负数解即可；
【详解】解：由题意可知：
(−2)⊙x<2x⊙12≤5变形成−2x−4<212x+2x≤5，
解不等式组可知不等式组的解集为：−3＜x≤2
∴负整数解为：−2，−1，有2个，
故选：B
【点睛】本题考查解不等式组中的整数解，解题的关键是将(−2)⊙x<2x⊙12≤5变形成−2x−4<212x+2x≤5，掌握解不等式组的方法，
2．（2023下·河南南阳·九年级统考阶段练习）定义一种运算：a⊗b=a−ab，例如：3⊗2=3−3×2=−3，根据上述定义，不等式组2⊗x≥−4x⊗2≤−2的解集是 ．
【答案】2≤x≤3
【分析】根据a⊗b=a−ab，可以将不等式组不等式组2⊗x≥−4x⊗2≤−2可以转化为2−2x≥−4x−2x≤−2，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，不等式组2⊗x≥−4x⊗2≤−2可以转化为2−2x≥−4x−2x≤−2，
解得2≤x≤3，
故答案为：2≤x≤3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组．
3．（2021·河北·校联考模拟预测）定义新运算“★”和“#”如下：a★b=ab+b，a#b=ab−a2．例如：1★2=1×2+2=4，1#3=1×3−12=2．
（1）计算：[(−12)★(−13)]#6；
（2）已知{(−2)★x<03#(−x)≥−21是关于x的不等式组，求该不等式组的所有整数解的中位数．
【答案】（1）−3736；（2）2.5．
【分析】（1）根据a★b=ab+b，a#b=ab−a2化简计算即可；
（2）先根据a★b=ab+b，a#b=ab−a2化简得到以一元一次不等式组，然后解一元一次不等式组，再根据解集求解即可．
【详解】解：（1）[(−12)★(−13)]#6
=[(−12)×(−13)+(−13)]#6
=(−16)#6
=(−16)×6−(−16)2
=−3736；
（2）根据a★b=ab+b，a#b=ab−a2，不等式{(−2)★x<03#(−x)≥−21
可化为：{−2x+x<0①−3x−9≥−21②
解不等式①得：x>0，
解不等式②得：x≤4，
∴其解集为0∴该不等式组的整数解为1，2，3，4，数据1，2，3，4的中位数为2.5．
【点睛】本题考查了新定义下实数的运算和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，中位数等知识点，能读懂题目，根据已知算式得出不等式组是解此题的关键．
4．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）已知a，b为常数，对实数x，y定义，我们规定⊗−运算为：x⊗−y=ax−by+1，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：0⊗−0=a×0−b×0+1=1.若1⊗−(−1)=2，3⊗−6=−2．
(1)求常数a，b的值；
(2)若关于m的不等式组2m⊗−(5−4m)≤4m⊗−(3−2m)>c恰好有2个整数解，求实数c的取值范围．
【答案】(1)a=13，b=23
(2)−83≤c<23
【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出3c+35【详解】（1）由题意得a+b+1=23a−6b+1=−2，
解得a=13，b=23；
（2）由题意得2m3−25−4m3+1≤4m3−23−2m3+1>c，
解得3c+35∵要使恰有2个整数解，
∴−1≤3c+35<1，
解得−83≤c<23．
【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
题型17 根据程序图解不等式组
1．（2020下·山东德州·九年级校考期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（ ）

A．518≤x≤394B．518≤x<394C．518【答案】C
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：{2(2x−3)−3≤302[2(2x−3)−3]−3>30，
解得：518故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式组．
2. 如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数字只要“算一遍”：若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数字需要“算两遍”，依次类推．

(1)当输入数字为2时，输出的结果为______；
(2)当输入数字为______时，“算两遍”的结果为5；
(3)当输入数x时，该数字需要算三遍，求x的取值范围．
【答案】(1)5
(2)54
(3)6564【分析】（1）根据程序运算得到算式2×4−3=5计算即可；
（2）根据程序运算得到方程44x−3−3=5，解之即可；
（3）根据第一次和第二次计算结果小于等于2，第三次计算结果大于2，列出不等式组，解之即可．
【详解】（1）解：设输入的数字为x，
则当x=2时，2×4−3=5，
则输出的数字为5；
（2）由“算两遍”可得：44x−3−3=5，
解得：x=54；
（3）由题意可得：444x−3−3−3>244x−3−3≤24x−3≤2，
解得：6564【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解不等式组，解题关键是弄清题意，根据题意把输入数代入，按程序一步一步计算．
题型18 不等式组与方程的综合
1．（2022下·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知关于x的分式方程mxx−2x−6+2x−2=3x−6无解，且关于y的不等式组m−y>4y−4≤3y+4有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
【详解】解：分式方程去分母得：mx+2(x−6)=3(x−2)，
整理得：(m−1)x−6=0，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即m−1=0时，方程无解，
∴m=1；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入(m−1)x−6=0，得：2m−8=0
解得：得m=4．
②当x=6时，代入(m−1)x−6=0，得：6m−12=0，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或m=1，分式方程无解；
解不等式{m−y>4y−4≤3(y+4)，
得：{y根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4∴0综上所述当m=2或m=1时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故选B．
【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键．
2．（2022上·重庆·九年级重庆南开中学校考期末）如果关于x的不等式组{m−4x>52x+5≥x+3所有整数解中非负整数解有且仅有三个，且关于y的分式方程my−2y−2−30y−2=13有正整数解，则符合条件的整数m有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】解不等式组和分式方程得出关于x的范围，根据不等式组有且仅有非负整数解和分式方程的解为正整数解得出m的范围，继而可得整数m的个数．
【详解】解：解不等式m−4x>5，得：x解不等式2x+5≥x+3，得：x≥−2，
∵不等式组有且仅有三个非负整数解，
∴2解得：12解关于y的分式方程my−2y−2−30y−2=13，
my−2−30=13(y−2)，
(m−13)y=6，
得：y=6m−13，
∵分式方程有正整数解，
∴ 6m−13>0，且6m−13≠2，即m≠16，
解得：m>13且m≠16，
综上，13所以所有满足条件的整数m的值为14，15，一共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于m的范围．
3．（2021·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组{3x−2≥2(x+2)a−2x<−5的解集为x≥6，且关于y的分式方程y+2ay−1+3y−81−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5B．8C．12D．15
【答案】B
【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到5+a2<6解得a<7，再解分式方程得到y=a+52，根据分式方程的解是正整数，得到a>−5，且a+5是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】解：{3x−2≥2(x+2)①a−2x<−5②
解不等式①得，x≥6，
解不等式②得，x>5+a2
∵不等式组的解集为：x≥6
∴5+a2<6
∴a<7
解分式方程y+2ay−1+3y−81−y=2得
y+2ay−1−3y−8y−1=2
∴y+2a−(3y−8)=2(y−1)
整理得y=a+52，
∵y−1≠0, 则a+52≠1,
∴a≠−3,
∵分式方程的解是正整数，
∴a+52>0
∴a>−5，且a+5是2的倍数，
∴−5∴整数a的值为-1, 1, 3, 5,
∴−1+1+3+5=8
故选：B．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
4．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组x+32≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=a−12，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：x+32≤4①2x−a≥2②
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x≥1+a2，
∴不等式的解集为1+a2≤x≤5，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴1+a2≤4，
解得：a≤6；
∵关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，
∴a−1−4=2y−2
解得：y=a−12，
即a−12≥0且a−12≠2，
解得：a≥1且a≠5
∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5
∴a可以取：1，3，
∴1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型19 利用一元一次不等式解决实际问题
1．（2022·西藏·统考中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
【答案】(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元
(2)最多购买笔记本20本
【分析】（1）设钢笔的价格为x元，则笔记本的价格为x+2元，根据题目中的等量关系列方程并求解即可；
（2）设笔记本的数量为y本，则钢笔的数量为50-ｙ支，根据题意列关于y的不等式，解不等式并找到最大整数解即为答案．
【详解】（1）设每支钢笔x元，依题意得：
240x+2=200x
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
【点睛】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式，仔细计算是本题的解题关键．
2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．
(1)篮球和排球的单价各是多少元？
(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
【答案】(1)篮球的单价为110元，排球的单价为80元
(2)最多购买6个篮球
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为x+30元，
根据题意得：330x+30=240x，
解得：x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+30=110．
∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．
（2）设购买篮球y个，则购买排球(20−y)个，
依题意得：110y+80(20−y)≤1800，
解得y≤623，
即y的最大值为6，
∴最多购买6个篮球．
【点睛】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
3．（2022·广西柳州·统考中考真题）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】(1)购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元；
(2)甲种农机具最多能购买6件．
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，找出等量关系列方程求解即可；
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，根据购买的总费用不超过46万元列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
依题意得：
15x+1=10x
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．
∴购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
（2）解：设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，
解得：m≤6．
∴甲种农机具最多能购买6件．
【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，（1）的关键是理解题意，找出等量关系列出分式方程，（2）的关键是根据购买的总费用不超过46万元列出不等式．
题型20 利用一元一次不等式组解决实际问题
1．（2022·山东泰安·统考模拟预测）某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】(1)A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元
(2)为使利润最大，购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【分析】（1）设A和B的进价分别为x和y，台数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可．
（2）设购买B平板电脑a台，则购进A种平板电脑30000−1000a500台，由题意可得到不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）设A、B两种平板电脑的进价分别为x元、y元．由题意得，12x+3y=90006x+6y=9000，
解得x=500y=1000，
答：A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；
（2）设商店准备购进B种平板电脑a台，则购进A种平板电脑30000−1000a500台，
由题意，得 2a≤30000−1000a50030000−1000a500≤2.8a，
解得12.5≤a≤15，
∵a为整数，
∴a=13或14或15．
设总利润为w，则：w=（700-500）×30000−1000a500+（1300-1000）a=-100a+12000，
∵-100＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴为使利润最大，该商城应购进B种平板电脑13台，A种平板电脑30000−1000×13500＝34台．
答：购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
2．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国.阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠，梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”，世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨.为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？
【答案】(1)A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
(2)共有8种方案
【分析】（1）根据购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球20−a个，然后根据购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，列出一元一次不等式组，即可得出答案．
【详解】（1）解：设A.，B两种品牌足球的单价分别为x元，y元，
根据题意.，得3x+2y=4805x+2y=640，
解得x=80y=120，
答：A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
（2）解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球20−a个，
根据题意.，得a≥3a≤20−a，
解得3≤a≤10，
∵a为整数，
∴a=3,4,5,6,7,8,9,10
所以共有8种方案
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
3．（2023·广东深圳·统考二模）某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买1支定制钢笔和4本纪念卡册共需130元，购买3支定制钢笔和2本纪念卡册共需140元．
(1)求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？
(2)该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共60件，总费用不超过1600元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的3倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？
【答案】(1)每支定制钢笔的价格为30元，每本纪念卡册的价格为25元
(2)5种，见解析
【分析】（1）设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买定制钢笔m支，则纪念卡册有(60−m)本，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为x、y元，
依题意，得：x+4y=1303x+2y=140，
解得：x=30y=25，
答：每支定制钢笔的价格为30元，每本纪念卡册的价格为25元．
（2）解：设购买定制钢笔m支，则纪念卡册有(60−m)本
依题意，得：30m+25(60−m)≤160060−m＜3m
解得：15∵m取整数，
∴m＝16，17，18，19，20
∴总共有5种方案，
分别为：
方案1：购买定制钢笔16支，纪念卡册44本；
方案2：购买定制钢笔17支，纪念卡册43本；
方案3：购买定制钢笔18支，纪念卡册42本；
方案4：购买定制钢笔19支，纪念卡册41本；
方案5：购买定制钢笔20支，纪念卡册40本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
1．（2022·江苏南京·统考中考真题）已知实数a，b，a>b，下列结论中一定正确的是（ ）
A．a>bB．1a>1bC．a2>b2D．a3>b3
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由a>b不一定有a>b，例如a=0，b=−1，满足a>b，但是a=0B、当ab=0时，1a>1b无意义，故此选项不符合同意；
C、由a>b不一定有a2>b2，例如a=0，b=−1，满足a>b，但是a2=0D、由a>b可以得到a3>b3，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2．（2023·北京·统考中考真题）已知a−1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．−1<−aC．−a<−1【答案】B
【分析】由a−1>0可得a>1，则a>0，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：a−1>0得a>1，则a>0，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
3．（2023·山东临沂·统考中考真题）在实数a,b,c中，若a+b=0,b−c>c−a>0，则下列结论：①|a|>|b|，②a>0，③b<0，④c<0，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出b>c>a，即可判断②③，根据b=−a，代入已知条件得出c<0，即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵a+b=0
∴a=b，故①错误，
∵a+b=0,b−c>c−a>0
∴b>c>a，
又a+b=0
∴a<0,b>0，故②③错误，
∵a+b=0
∴b=−a
∵b−c>c−a>0
∴−a−c>c−a
∴−c>c
∴c<0，故④正确
或借助数轴，如图所示，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键．
4．（2023·山东济南·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．ab>0B．a+b>0
C．a+3【答案】D
【分析】根据题意可得−3【详解】解：由题意可得：−3∴ab<0,a+b<0,a+3>b+3,−3a<−3b，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出−35．（2023·安徽·统考中考真题）在数轴上表示不等式x−12<0的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解．
【详解】解：x−12<0
解得：x<1，
数轴上表示不等式的解集

故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
6．（2023·山东烟台·统考中考真题）不等式组3m−2≥1,2−m>3的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【详解】解：3m−2≥1①2−m>3②
解不等式①得：m≥1
解不等式②得：m<−1
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，

故选：A．
【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
7．（2023·浙江·统考中考真题）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n>70+12nB．52+15n<70+12n
C．52+12n>70+15nD．52+12n<70+15n
【答案】A
【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，把相关数值代入即可；
【详解】解：根据题意得，
52+15n>70+12n，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
8．（2023·浙江宁波·统考中考真题）不等式组x+1>0x−1≤0的解在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：x+1>0①x−1≤0②，
由①得x>−1；
由②得x≤1；
∴原不等式组的解集为−1在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．
9．（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）

A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
【详解】解：x−1≤m解得x≤m+1，
由数轴得：m+1=3，
解得：m=2，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
10．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的不等式组x>m+35x−2<4x+1的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．−5≤m<−4B．−5【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：x>m+3①5x−2<4x+1②，
由②得：x<3，
解集为m+3由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，−1，
∴−2≤m+3<−1，
∴−5≤m<−4；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到−2≤m+3<−1是解此题的关键．
11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的不等式组4x−1>3x−15x>3x+2a的解集为x>3，则a的取值范围是（ ）
A．a>3 B．a<3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是x>3求出a的取值范围即可．
【详解】解：4x−1>3x−1①5x>3x+2a②
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x>a，
∵关于x的不等式组4x−1>3x−15x>3x+2a的解集为x>3，
∴a≤3，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）已知不等式组x−a>2x+1A．0B．−1C．1D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2+a【详解】解：x−a>2①x+1解不等式①得：x>2+a，
解不等式②得：x∴原不等式组的解集为：2+a∵不等式组的解集是−1∴2+a=−1，b−1=1，
∴a=−3，b=2，
∴a+b2023=−3+22023=−12023=−1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2023·广东·统考中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 折．
【答案】8.8
【分析】设打x折，由题意可得5×x10−4≥4×10％，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得5×x10−4≥4×10％，
解得：x≥8.8；
故答案为8.8．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
14．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值 ．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+y>22代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得x+y=a−3，
∵x+y>22，
∴a−3>22，
∴a>3+22，
∵4<8<9，
∴2<22<3，
∴5<22+3<6，
∴a的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
15．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）不等式x−2≤1的最大整数解是 ．
【答案】3
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．
【详解】解：不等式x−2≤1的解集是x≤3，
则不等式x−2≤1的最大整数解是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
16．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组x+32≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=a−12，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：x+32≤4①2x−a≥2②
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x≥1+a2，
∴不等式的解集为1+a2≤x≤5，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴1+a2≤4，
解得：a≤6；
∵关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，
∴a−1−4=2y−2
解得：y=a−12，
即a−12≥0且a−12≠2，
解得：a≥1且a≠5
∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5
∴a可以取：1，3，
∴1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的不等式组2x+1>x+a①x2+1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a的值为 ．
【答案】2或−1
【分析】根据题意可求不等式组的解集为a−1【详解】解：由①得：x>a−1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：a−1∵所有整数解的和为14，
①整数解为：2、3、4、5，
∴1≤a−1<2，
解得：2≤a<3，
∵ a为整数，
∴a=2．
②整数解为：−1，0，1，2、3、4、5，
∴−2≤a−1<−1，
解得：−1≤a<0，
∵ a为整数，
∴a=−1．
综上，整数a的值为2或−1
故答案为：2或−1．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
18．（2023·山东聊城·统考中考真题）若不等式组x−12≥x−232x−m≥x的解集为x≥m，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥−1/−1≤m
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】解：x−12≥x−23①2x−m≥x②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x≥m，
∵不等式组的解集为：x≥m，
∴m≥−1．
故答案为：m≥−1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
19．（2023·山东日照·统考中考真题）若点Mm+3,m−1在第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】−3m>−3
【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。
【详解】解：∵点Mm+3,m−1在第四象限，
∴m+3>0m−1<0，
解得−3故答案为：−3【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。
20．（2023·黑龙江·统考中考真题）关于x的不等式组x+5>0x−m≤1有3个整数解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】−3≤m<−2/−2>m≥−3
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得m的取值范围．
【详解】解：解不等式组x+5>0x−m≤1得：−5∵关于x的不等式组x+5>0x−m≤1有3个整数解，
∴这3个整数解为−4，−3，−2，
∴−2≤m+1<−1，
解得：−3≤m<−2，
故答案为：−3≤m<−2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
21．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）若关于x的不等式组3(x−1)>x−68−2x+2a≥0有三个整数解，则实数a的取值范围为 ．
【答案】−3≤a<−2
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【详解】解：解不等式3(x−1)>x−6，得：x>−1.5，
解不等式8−2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为−1，0、1，
则1≤a+4<2，
解得−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
22．（2023·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组2x−1+1>−3,x−1≤1+x3,并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】−1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：2x−1+1>−3①x−1≤1+x3②
解不等式①得x>−1·，
解不等式②，得：x≤2，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
−1【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷a+2+52−a，其中a是使不等式a−12≤1成立的正整数．
【答案】a−3a+3；−12
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：a2−6a+9a−2÷a+2+52−a
=a−32a−2÷2+a2−a2−a+52−a
=a−32a−2÷4−a2+52−a
=a−32a−2⋅2−a3+a3−a
=a−3a+3，
解不等式a−12≤1得：a≤3，
∵a为正整数，
∴a=1，2，3，
∵要使分式有意义a−2≠0，
∴a≠2，
∵当a=3时，a+2+52−a=3+2+52−3=0，
∴a≠3，
∴把a=1代入得：原式=1−31+3=−12．
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
24．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得20(x+11)+30x=2920，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则m≥12(40−m)，解得m≥1313，故最小整数解为m=14，w=4m+1920，根据一次函数增减性，求得最小值=4×14+1920=1976．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得20(x+11)+30x=2920
解得，x=54，
x+11=65，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则m≥12(40−m)，解得m≥1313，故最小整数解为m=14，
w=0.8×65m+(54−6)(40−m)=4m+1920，
∵4>0，则w随m的增大而增大，
∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
25．（2023·河南·统考中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算
(2)400元
(3)当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二当0【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款：450×0.8=360元，活动二需付款：450−80=370元，
∴活动一更合算；
（2）设这种健身器材的原价是x元，
则0.8x=x−80，
解得x=400，
答：这种健身器材的原价是400元，
（3）这种健身器材的原价为a元，
则活动一所需付款为：0.8a元，
活动二当0当300≤a<600时，所需付款为：a−80元，
当600≤a<900时，所需付款为：a−160元，
①当00.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当300≤a<600时，a−80<0.8a，解得300≤a<400，
即：当300≤a<400时，活动二更合算，
③当600≤a<900时，a−160<0.8a，解得600≤a<800，
即：当600≤a<800时，活动二更合算，
综上：当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．
26．（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组1−2x−12>3x−14①2−3x≤4−x②
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4−22x−1>3x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；任务二：x≥−1，−1≤x<1
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵−7x>−7，
∴x<1；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是x<1；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；
任务二：2−3x≤4−x，
−3x+x≤4−2，
−2x≤2，
x≥−1；
又x<1，
∴不等式组的解集为：−1≤x<1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
27．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：a−a2a2−1÷a2a2−1，其中a的值从不等式组−1【答案】a2−a−1a，12
【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．
【详解】解：原式=a3−aa2−1−a2a2−1÷a2a2−1
=aa2−a−1a2−1⋅a2−1a2
=a2−a−1a；
∵a2≠0,a2−1≠0，
∴a≠0,a≠±1，
∵4=2<5<9=3，
∴−1∵a≠0,a≠±1，
∴a=2，原式=22−2−12=12．
【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
28．（2023·湖北荆州·统考中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
(1)求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】(1)A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；
(2)①120≤x≤210且x为整数，②当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【分析】（1）分别设出A，B饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；
（2）①依据题意列出不等式即可；
②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．
【详解】（1）（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为a−1元．
由题意得：1400a=630a−1×2，解得：a=10，
经检验，a=10是所列方程的根，且符合题意．
A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
（2）①根据题意得：600−x≥390600−x≤4x，
解得：120≤x≤210且x为整数；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元．
当120≤x≤150时，w=15×600−10x−9600−x，
即w=−x+3600，
∵−1<0，
∴w随x的增大而减小．
∴当x=120时，w有最大值3480．
当150整理得：w=3x+3000，
∵3>0，
∴w随x的增大而增大．
∴当x=210时，w有最大值3630．
∵3630>3480，
∴w的最大值为3630，此时600−x=390．
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值．