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第15讲 几何图形的初步（28题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第15讲 几何图形的初步（28题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第15讲几何图形的初步练习原卷版docx、第15讲几何图形的初步练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共147页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第15讲 几何图形的初步
目 录
TOC \ "1-3" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc155354479" 题型01 判断几何体的截面形状
\l "_Tc155354480" 题型02 判断几何体的展开图
\l "_Tc155354481" 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
\l "_Tc155354482" 题型04 正方体展开图的识别
\l "_Tc155354483" 题型05 补一个面使其成为正方体的展开面
\l "_Tc155354484" 题型06 正方体相对两面上的字或图案
\l "_Tc155354485" 题型07 与七巧板有关的计算
\l "_Tc155354486" 题型08 画直线、射线、线段
\l "_Tc155354487" 题型09 直线的性质
\l "_Tc155354488" 题型10 线段的性质
\l "_Tc155354489" 题型11 与线段中点有关的计算
\l "_Tc155354490" 题型12 两点之间的距离
\l "_Tc155354491" 题型13 度、分、秒的换算
\l "_Tc155354492" 题型14 钟面角的计算
\l "_Tc155354493" 题型15 方向角的表示
\l "_Tc155354494" 题型16 角平分线的相关计算
\l "_Tc155354495" 题型17 求一个角的余角、补角
\l "_Tc155354496" 题型18 与余角、补角有关的计算
\l "_Tc155354497" 题型19 同（等）角的余（补）角相等
\l "_Tc155354498" 题型19 点到直线的距离
\l "_Tc155354499" 题型20 利用对顶角、邻补角的性质求解
\l "_Tc155354500" 题型21 判断同位角、内错角、同旁内角
\l "_Tc155354501" 题型22 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc155354502" 题型23 平行线判定的实际应用
\l "_Tc155354503" 题型24 由平行线的性质求角度
\l "_Tc155354504" 题型25 由平行线的性质解决折叠问题
\l "_Tc155354505" 题型26 平行线的性质在实际生活的应用
\l "_Tc155354506" 题型26 利用平行线的性质解决三角板问题
\l "_Tc155354507" 题型27 根据平行线性质与判定求角度
\l "_Tc155354508" 题型28 根据平行线性质与判定证明
题型01 判断几何体的截面形状
1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个几何体的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，当截面是矩形时，截面周长最大为（ ）
A．18B．20C．24D．25
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
4. 如图所示，把一个底面半径是5cm，高是8cm的圆柱放在水平桌面上．
(1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此时截面面积．
题型02 判断几何体的展开图
1．（2021·北京·统考中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱
2．（2021·浙江·统考中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）
A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱
4．（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，已知圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A.；B.；C.；D.
（2）求该长度最短的金属丝的长．
题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为63cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm3．
3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
4．（2020·河北邯郸·校考一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)图（2）是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)已知h＝4，求a的值和该几何体的表面积．
题型04 正方体展开图的识别
1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ）
A．B．C．D．
题型05 补一个面使其成为正方体的展开面
1．（2022·河北承德·统考二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．（2021·河南洛阳·统考二模）如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ）
A．只有②B．只有①④C．只有①②④D．①②③④都正确
3．（2021·浙江杭州·一模）已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放的位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
题型06 正方体相对两面上的字或图案
1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则
（1）x的值为 ；
（2）x2−y的值为 ．
2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是 ．
3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：a=______，b=_______，c=_______；
（2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值．
4．（2021·河北邢台·统考一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南洛阳·统考三模）如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·吉林长春·东北师大附中校考二模）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（ ）
A．线段CDB．线段EFC．线段ADD．线段BC
题型07 与七巧板有关的计算
1．（2020·浙江湖州·统考中考真题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2
2．（2022·江西赣州·统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（ ）
A．S5+S7=S2B．2S6=S3C．S7=13S1D．S7=S3
3．（2021·浙江金华·统考三模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（ ）
A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁
C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲
4．（2022·湖南株洲·统考二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图①是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为 cm2．
5．（2022·陕西西安·校考二模）如图（1）是边长为8cm的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成图（2）所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是 cm2．
6．（2020·湖北黄石·校考模拟预测）动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：
（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；
（2）图3中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；
（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．
题型08 画直线、射线、线段
1．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
2．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知A，B，C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上述语句画图，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平面上四个点A,B,C,D，按下列要求画出图形：
（1）画线段BD和线段BD的延长线；
（2）线段AC和线段DB相交于点O；
（3）连结线段BC，反向延长线段BC．
题型09 直线的性质
1．（2022·广东深圳·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是( )
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
题型10 线段的性质
1．（2022·江苏扬州·统考一模）下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线
3．（2023·北京海淀·统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A．B．C．D．
题型11 与线段中点有关的计算
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：AC=3BC，CD=100m，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．
(1)如果点C是AB的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________，
(2)比较b−2与c+1的大小，并说明理由；
(3)化简：−|a−2|+|b+1|+|c|．
3．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，已知数轴上点A，B对应的数为−5，1，点C为AB的中点，点P为数轴上任意一点，且对应的数为m．
(1)若点P为原点，在图中标出点P的位置，并直接写出点C对应的数；
(2)若点P在B的右侧且满足AP=3PB，求−5，1与m这三个数的和．
题型12 两点之间的距离
1．（2020·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）A、D两站的距离为_________；
（2）C、D两站的距离为__________；
（3）若a=3，C为AD的中点，求b的值．
2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
3．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．
（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为 ；
（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．
4．（2021·河北邯郸·一模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
(1)请直接写出原点在第几部分；
(2)若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
(3)若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．
题型13 度、分、秒的换算
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）74°19'30″= °．
2（2023·江苏盐城·校考一模）已知∠A=65°30'，则∠A的补角= °．
3．（2020·浙江湖州·统考模拟预测）计算：40°﹣15°30′＝ ．
题型14 钟面角的计算
1．（2019·广西梧州·统考中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2．（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①. 若此钟面显示3点45分 时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②. 则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（ ）厘米
A．22−33B．16+πC．22D．18+43
3．（2018·山东德州·校联考一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26B．5：26-5：27C．5：27-5：28D．5：28-5：29
题型15 方向角的表示
1．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30°，再前进5m后又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ）
A．第二次左转后行走的方向是北偏东30°B．第六次左转后行走的方向是正西方向
C．第八次左转后行走的方向是南偏西60°D．嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m
2．（2022·河北石家庄·校考一模）A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是（ ）
A．C地在B地的正北方向上B．A地在B地的正东方向上C．C地在A地的北偏西60°方向上D．A地在C地的南偏东30°方向上
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，有A,B,C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的（ ）
A．北偏西54°方向B．北偏东54°方向C．南偏西54°方向D．南偏西90°方向
题型16 角平分线的相关计算
1．（2021·山东济南·统考中考真题）如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
2．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB=（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．（2018·四川南充·统考一模）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知O是直线AB上一点，将一个直角三角尺OMN按图①方式放置，直角边ON在直线AB上，另一条直角边OM与AB的夹角∠AOM=90°，射线OC在∠AOM内部．
（1）如图②，将三角尺OMN绕着点O顺时针旋转，当OM平分∠BOC时，试判断∠AON与∠CON的大小关系，并说明理由．
（2）若∠AOC=60°，三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为t，则当t为何值时∠CON=∠MOB？
（3）在（2）的条件下，在三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周的过程中，∠CON+∠MOB的值能否为定值？若能，求t的取值范围．
题型17 求一个角的余角、补角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ）
A．25°30′B．64°30′C．74°30′D．154°30′
2．（2019·甘肃兰州·一模）一个角的补角是150°，则这个角的余角等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是 ．
4．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于 ；
（2）已知∠β的补角为120°37′46″，∠β= °．
题型18 与余角、补角有关的计算
1．（2021·陕西西安·校考模拟预测）如图，∠AOC与∠COB互余，∠COB=15°,OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（ ）
A．75°B．60°C．65°D．55°
2．（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 °．
3．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=120°，则∠2−∠1= ．
题型19 同（等）角的余（补）角相等
1．（2020·北京房山·统考一模）一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则sinA=（ ）
A．BCACB．ACABC．ADACD．BDBC
3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·黑龙江大庆·统考中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD=108°，则∠COB= ．
题型19 点到直线的距离
1．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023下·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，∠ABC=∠ADB=90°，DA=DB，若BC=2，AB=4，则点D到AC的距离是（ ）
A．556B．655C．455D．554
3．（2021·山东滨州·二模）阅读下面材料：
我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝|Ax0+By0+C|A2+B2计算．
例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．
解：∵y＝﹣2x+5
∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5
∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为： d＝|Ax0+By0+C|A2+B2＝|2×3+1×4−5|22+12＝55＝5
根据以上材料解答下列问题：
(1)求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；
(2)如图，直线l1：y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线l2，求这两条平行直线之间的距离．
(3)若将l2绕其与y轴的交点逆时针旋转90度与l1相交，直接写出l1大于l2时，x的取值范围
题型20 利用对顶角、邻补角的性质求解
1．（2022·北京·统考中考真题）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2020·贵州安顺·统考中考真题）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
3．（2021·河南·统考中考真题）如图，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
4．（2020·湖北黄冈·中考真题）已知：如图，AB//EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°，则∠BCD= 度．
题型21 判断同位角、内错角、同旁内角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
2．（2018·浙江金华·中考真题）如图，∠B的同位角可以是( )
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
题型22 利用平行线的判定进行证明
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
(1)求证：EF∥AD；
(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．
2．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，AB∥CD，AM平分∠BAE，FG平分∠AFC．
(1)求证：AM∥GF；
(2)若∠BAM＝55°，求∠CFE的度数．
3．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC的延长线上，以AC为边作△ACD，使DA=DC，且点B、D在AC的两侧，连接AE交CD于点F，若∠ADC=∠BAC．
(1)求证：AD∥BE；
(2)求证：AC2=BC⋅CD；
(3)若DA=10、CE=2.5，且AC2=2CF⋅AD，求AE的长；
题型23 平行线判定的实际应用
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2．（2019·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
3．（2021·山东烟台·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为 米．
题型24 由平行线的性质求角度
1．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
2．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
4．（2021·山东临沂·统考中考真题）如图，在AB//CD中，∠AEC=40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
题型25 由平行线的性质解决折叠问题
1．（2022·四川达州·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2的度数为（ ）
A．140°B．120°C．110°D．100°
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B=50°，则∠BDF的度数为 ．
3．（2023·广东湛江·统考二模）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF．若∠ABE=20°，则∠EFC'的度数为 ．
4．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图1，∠1=55°，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2，再沿图2中的虚线进行第二次折叠得到图3(点O在MN上)，则∠2的度数为 ．
题型26 平行线的性质在实际生活的应用
1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB=20°，∠FED=56°，则∠GFH=（ ）
A．34°B．36°C．38°D．56°
2．（2022·山东济南·校考一模）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41，3≈1.73）．
A．246 mmB．247mmC．248mmD．249mm
3．（2022·浙江温州·统考三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B=140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两直线平行，内错角相等．B．内错角相等，两直线平行．
C．两直线平行，同位角相等．D．同位角相等，两直线平行．
4．（2023·四川成都·统考二模）为测量校园某一块路线指示牌的高度，小明绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得FG=1.3m，EF=1m，∠EFG=110°，∠AEF=70°，四边形ABCD为矩形底座，且AB=10cm．请帮助小明求出指示牌最高点G到地面BC的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.940，cs70°≈0.342，tan70°≈2.747，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839）
题型26 利用平行线的性质解决三角板问题
1．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
2．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°， BC∥DE，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．（2023下·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0(2)在（1）的条件下，若∠2恰好是∠1的54倍，求n的值．
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为ts．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
题型27 根据平行线性质与判定求角度
1．（2023·江苏扬州·校联考二模）某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在五角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器：对应的刻度为32°，那么被测物体表面的倾斜角α为（ ）
A．24°B．32°C．36°D．58°
2．（2023·河南周口·校联考二模）已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，一等腰直角三角板绕点B旋转．
(1)如图1所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于C点，一直边交半圆于D点，另一直边交半圆于E点，若点C在量角器上的读数为25°，求此时点E在量角器上的读数；
(2)如图2所示，当点C、D在量角器上的读数α、β满足什么关系时，直角边与半圆O相切于点D
题型28 根据平行线性质与判定证明
1．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，将一副直角三角板如图摆放，∠GEF=60°,∠MNP=45°,∠BEF=75°．
（1）AB与CD的位置关系是 ；
（2）在不标字母的情况下，找出与∠AEG相等的角是 ．
2．（2019·广东中山·统考二模）将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，且CD:DB=1:2，∠F=30°．三角板ABC固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，旋转角为α 0°<α<90°．
（1）当α=_______时，EF//BC；
（2）当α=45°时，三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积．
（3）如图3，设CM=x，四边形ANDM的面积为y，求y关于x的表达式（不用写x的取值范围）．
3．（2021·江苏盐城·统考二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
1．（2022·河北·统考中考真题）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
A．①③B．②③C．③④D．①④
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥
3．（2023·山东·统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
4．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A．31B．32C．33D．34
5．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．（2022·四川巴中·统考中考真题）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．（2023·北京·统考中考真题）如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36°B．44°C．54°D．63°
11．（2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向
C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向
12．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
13．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．75°
14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB∥CD,AD⊥AC，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
15．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
16．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A,B,C,D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．连接AB，则AB∥PQB．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQD．连接AD，则AD⊥PQ
17．（2023·广东·统考中考真题）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD=（ ）
A．43°B．53°C．107°D．137°
18．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
19．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80∘，∠E=∠F=47∘，则图中∠G的度数是（ ）
A．80∘B．76∘C．66∘D．56∘
20．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 ．
21．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 dm3．
22．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
23．（2023·江西·统考中考真题）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm,3cm，则线段AB的长为 cm．
24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC= °．
25．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= 度．
26．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF= 度．
27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=140°，则∠BOD的度数为 ．
28．（2023·浙江台州·统考中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为 ．
29．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
(1)求证：∠E=∠ECD；
(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．−3
2
a
c
b
−1
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第15讲 几何图形的初步
目 录
TOC \ "1-3" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc155354479" 题型01 判断几何体的截面形状
\l "_Tc155354480" 题型02 判断几何体的展开图
\l "_Tc155354481" 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
\l "_Tc155354482" 题型04 正方体展开图的识别
\l "_Tc155354483" 题型05 补一个面使其成为正方体的展开面
\l "_Tc155354484" 题型06 正方体相对两面上的字或图案
\l "_Tc155354485" 题型07 与七巧板有关的计算
\l "_Tc155354486" 题型08 画直线、射线、线段
\l "_Tc155354487" 题型09 直线的性质
\l "_Tc155354488" 题型10 线段的性质
\l "_Tc155354489" 题型11 与线段中点有关的计算
\l "_Tc155354490" 题型12 两点之间的距离
\l "_Tc155354491" 题型13 度、分、秒的换算
\l "_Tc155354492" 题型14 钟面角的计算
\l "_Tc155354493" 题型15 方向角的表示
\l "_Tc155354494" 题型16 角平分线的相关计算
\l "_Tc155354495" 题型17 求一个角的余角、补角
\l "_Tc155354496" 题型18 与余角、补角有关的计算
\l "_Tc155354497" 题型19 同（等）角的余（补）角相等
\l "_Tc155354498" 题型19 点到直线的距离
\l "_Tc155354499" 题型20 利用对顶角、邻补角的性质求解
\l "_Tc155354500" 题型21 判断同位角、内错角、同旁内角
\l "_Tc155354501" 题型22 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc155354502" 题型23 平行线判定的实际应用
\l "_Tc155354503" 题型24 由平行线的性质求角度
\l "_Tc155354504" 题型25 由平行线的性质解决折叠问题
\l "_Tc155354505" 题型26 平行线的性质在实际生活的应用
\l "_Tc155354506" 题型26 利用平行线的性质解决三角板问题
\l "_Tc155354507" 题型27 根据平行线性质与判定求角度
\l "_Tc155354508" 题型28 根据平行线性质与判定证明
题型01 判断几何体的截面形状
1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个几何体的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，当截面是矩形时，截面周长最大为（ ）
A．18B．20C．24D．25
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
4. 如图所示，把一个底面半径是5cm，高是8cm的圆柱放在水平桌面上．
(1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此时截面面积．
题型02 判断几何体的展开图
1．（2021·北京·统考中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱
2．（2021·浙江·统考中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）
A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱
4．（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，已知圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A.；B.；C.；D.
（2）求该长度最短的金属丝的长．
题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为63cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm3．
3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
4．（2020·河北邯郸·校考一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)图（2）是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)已知h＝4，求a的值和该几何体的表面积．
题型04 正方体展开图的识别
1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ）
A．B．C．D．
题型05 补一个面使其成为正方体的展开面
1．（2022·河北承德·统考二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．（2021·河南洛阳·统考二模）如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ）
A．只有②B．只有①④C．只有①②④D．①②③④都正确
3．（2021·浙江杭州·一模）已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放的位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
题型06 正方体相对两面上的字或图案
1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则
（1）x的值为 ；
（2）x2−y的值为 ．
2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是 ．
3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：a=______，b=_______，c=_______；
（2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值．
4．（2021·河北邢台·统考一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南洛阳·统考三模）如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·吉林长春·东北师大附中校考二模）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（ ）
A．线段CDB．线段EFC．线段ADD．线段BC
题型07 与七巧板有关的计算
1．（2020·浙江湖州·统考中考真题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2
2．（2022·江西赣州·统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（ ）
A．S5+S7=S2B．2S6=S3C．S7=13S1D．S7=S3
3．（2021·浙江金华·统考三模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（ ）
A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁
C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲
4．（2022·湖南株洲·统考二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图①是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为 cm2．
5．（2022·陕西西安·校考二模）如图（1）是边长为8cm的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成图（2）所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是 cm2．
6．（2020·湖北黄石·校考模拟预测）动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：
（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；
（2）图3中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；
（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．
题型08 画直线、射线、线段
1．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
2．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知A，B，C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上述语句画图，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平面上四个点A,B,C,D，按下列要求画出图形：
（1）画线段BD和线段BD的延长线；
（2）线段AC和线段DB相交于点O；
（3）连结线段BC，反向延长线段BC．
题型09 直线的性质
1．（2022·广东深圳·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是( )
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
题型10 线段的性质
1．（2022·江苏扬州·统考一模）下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线
3．（2023·北京海淀·统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A．B．C．D．
题型11 与线段中点有关的计算
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：AC=3BC，CD=100m，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．
(1)如果点C是AB的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________，
(2)比较b−2与c+1的大小，并说明理由；
(3)化简：−|a−2|+|b+1|+|c|．
3．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，已知数轴上点A，B对应的数为−5，1，点C为AB的中点，点P为数轴上任意一点，且对应的数为m．
(1)若点P为原点，在图中标出点P的位置，并直接写出点C对应的数；
(2)若点P在B的右侧且满足AP=3PB，求−5，1与m这三个数的和．
题型12 两点之间的距离
1．（2020·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）A、D两站的距离为_________；
（2）C、D两站的距离为__________；
（3）若a=3，C为AD的中点，求b的值．
2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
3．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．
（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为 ；
（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．
4．（2021·河北邯郸·一模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
(1)请直接写出原点在第几部分；
(2)若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
(3)若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．
题型13 度、分、秒的换算
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）74°19'30″= °．
2（2023·江苏盐城·校考一模）已知∠A=65°30'，则∠A的补角= °．
3．（2020·浙江湖州·统考模拟预测）计算：40°﹣15°30′＝ ．
题型14 钟面角的计算
1．（2019·广西梧州·统考中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2．（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①. 若此钟面显示3点45分 时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②. 则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（ ）厘米
A．22−33B．16+πC．22D．18+43
3．（2018·山东德州·校联考一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26B．5：26-5：27C．5：27-5：28D．5：28-5：29
题型15 方向角的表示
1．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30°，再前进5m后又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ）
A．第二次左转后行走的方向是北偏东30°B．第六次左转后行走的方向是正西方向
C．第八次左转后行走的方向是南偏西60°D．嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m
2．（2022·河北石家庄·校考一模）A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是（ ）
A．C地在B地的正北方向上B．A地在B地的正东方向上C．C地在A地的北偏西60°方向上D．A地在C地的南偏东30°方向上
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，有A,B,C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的（ ）
A．北偏西54°方向B．北偏东54°方向C．南偏西54°方向D．南偏西90°方向
题型16 角平分线的相关计算
1．（2021·山东济南·统考中考真题）如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
2．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB=（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．（2018·四川南充·统考一模）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知O是直线AB上一点，将一个直角三角尺OMN按图①方式放置，直角边ON在直线AB上，另一条直角边OM与AB的夹角∠AOM=90°，射线OC在∠AOM内部．
（1）如图②，将三角尺OMN绕着点O顺时针旋转，当OM平分∠BOC时，试判断∠AON与∠CON的大小关系，并说明理由．
（2）若∠AOC=60°，三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为t，则当t为何值时∠CON=∠MOB？
（3）在（2）的条件下，在三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周的过程中，∠CON+∠MOB的值能否为定值？若能，求t的取值范围．
题型17 求一个角的余角、补角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ）
A．25°30′B．64°30′C．74°30′D．154°30′
2．（2019·甘肃兰州·一模）一个角的补角是150°，则这个角的余角等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是 ．
4．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于 ；
（2）已知∠β的补角为120°37′46″，∠β= °．
题型18 与余角、补角有关的计算
1．（2021·陕西西安·校考模拟预测）如图，∠AOC与∠COB互余，∠COB=15°,OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（ ）
A．75°B．60°C．65°D．55°
2．（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 °．
3．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=120°，则∠2−∠1= ．
题型19 同（等）角的余（补）角相等
1．（2020·北京房山·统考一模）一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则sinA=（ ）
A．BCACB．ACABC．ADACD．BDBC
3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·黑龙江大庆·统考中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD=108°，则∠COB= ．
题型19 点到直线的距离
1．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023下·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，∠ABC=∠ADB=90°，DA=DB，若BC=2，AB=4，则点D到AC的距离是（ ）
A．556B．655C．455D．554
3．（2021·山东滨州·二模）阅读下面材料：
我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝|Ax0+By0+C|A2+B2计算．
例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．
解：∵y＝﹣2x+5
∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5
∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为： d＝|Ax0+By0+C|A2+B2＝|2×3+1×4−5|22+12＝55＝5
根据以上材料解答下列问题：
(1)求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；
(2)如图，直线l1：y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线l2，求这两条平行直线之间的距离．
(3)若将l2绕其与y轴的交点逆时针旋转90度与l1相交，直接写出l1大于l2时，x的取值范围
题型20 利用对顶角、邻补角的性质求解
1．（2022·北京·统考中考真题）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2020·贵州安顺·统考中考真题）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
3．（2021·河南·统考中考真题）如图，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
4．（2020·湖北黄冈·中考真题）已知：如图，AB//EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°，则∠BCD= 度．
题型21 判断同位角、内错角、同旁内角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
2．（2018·浙江金华·中考真题）如图，∠B的同位角可以是( )
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
题型22 利用平行线的判定进行证明
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
(1)求证：EF∥AD；
(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．
2．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，AB∥CD，AM平分∠BAE，FG平分∠AFC．
(1)求证：AM∥GF；
(2)若∠BAM＝55°，求∠CFE的度数．
3．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC的延长线上，以AC为边作△ACD，使DA=DC，且点B、D在AC的两侧，连接AE交CD于点F，若∠ADC=∠BAC．
(1)求证：AD∥BE；
(2)求证：AC2=BC⋅CD；
(3)若DA=10、CE=2.5，且AC2=2CF⋅AD，求AE的长；
题型23 平行线判定的实际应用
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2．（2019·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
3．（2021·山东烟台·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为 米．
题型24 由平行线的性质求角度
1．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
2．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
4．（2021·山东临沂·统考中考真题）如图，在AB//CD中，∠AEC=40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
题型25 由平行线的性质解决折叠问题
1．（2022·四川达州·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2的度数为（ ）
A．140°B．120°C．110°D．100°
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B=50°，则∠BDF的度数为 ．
3．（2023·广东湛江·统考二模）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF．若∠ABE=20°，则∠EFC'的度数为 ．
4．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图1，∠1=55°，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2，再沿图2中的虚线进行第二次折叠得到图3(点O在MN上)，则∠2的度数为 ．
题型26 平行线的性质在实际生活的应用
1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB=20°，∠FED=56°，则∠GFH=（ ）
A．34°B．36°C．38°D．56°
2．（2022·山东济南·校考一模）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41，3≈1.73）．
A．246 mmB．247mmC．248mmD．249mm
3．（2022·浙江温州·统考三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B=140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两直线平行，内错角相等．B．内错角相等，两直线平行．
C．两直线平行，同位角相等．D．同位角相等，两直线平行．
4．（2023·四川成都·统考二模）为测量校园某一块路线指示牌的高度，小明绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得FG=1.3m，EF=1m，∠EFG=110°，∠AEF=70°，四边形ABCD为矩形底座，且AB=10cm．请帮助小明求出指示牌最高点G到地面BC的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.940，cs70°≈0.342，tan70°≈2.747，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839）
题型26 利用平行线的性质解决三角板问题
1．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
2．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°， BC∥DE，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．（2023下·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为ts．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
题型27 根据平行线性质与判定求角度
1．（2023·江苏扬州·校联考二模）某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在五角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器：对应的刻度为32°，那么被测物体表面的倾斜角α为（ ）
A．24°B．32°C．36°D．58°
2．（2023·河南周口·校联考二模）已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，一等腰直角三角板绕点B旋转．
(1)如图1所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于C点，一直边交半圆于D点，另一直边交半圆于E点，若点C在量角器上的读数为25°，求此时点E在量角器上的读数；
(2)如图2所示，当点C、D在量角器上的读数α、β满足什么关系时，直角边与半圆O相切于点D
题型28 根据平行线性质与判定证明
1．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，将一副直角三角板如图摆放，∠GEF=60°,∠MNP=45°,∠BEF=75°．
（1）AB与CD的位置关系是 ；
（2）在不标字母的情况下，找出与∠AEG相等的角是 ．
2．（2019·广东中山·统考二模）将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，且CD:DB=1:2，∠F=30°．三角板ABC固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，旋转角为α 0°<α<90°．
（1）当α=_______时，EF//BC；
（2）当α=45°时，三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积．
（3）如图3，设CM=x，四边形ANDM的面积为y，求y关于x的表达式（不用写x的取值范围）．
3．（2021·江苏盐城·统考二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
1．（2022·河北·统考中考真题）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
A．①③B．②③C．③④D．①④
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥
3．（2023·山东·统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
4．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A．31B．32C．33D．34
5．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．（2022·四川巴中·统考中考真题）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．（2023·北京·统考中考真题）如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36°B．44°C．54°D．63°
11．（2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向
C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向
12．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
13．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．75°
14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB∥CD,AD⊥AC，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
15．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
16．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A,B,C,D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．连接AB，则AB∥PQB．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQD．连接AD，则AD⊥PQ
17．（2023·广东·统考中考真题）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD=（ ）
A．43°B．53°C．107°D．137°
18．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
19．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80∘，∠E=∠F=47∘，则图中∠G的度数是（ ）
A．80∘B．76∘C．66∘D．56∘
20．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 ．
21．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 dm3．
22．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
23．（2023·江西·统考中考真题）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm,3cm，则线段AB的长为 cm．
24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC= °．
25．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= 度．
26．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF= 度．
27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=140°，则∠BOD的度数为 ．
28．（2023·浙江台州·统考中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为 ．
29．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
(1)求证：∠E=∠ECD；
(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．−3
2
a
c
b
−1
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