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第18讲 等腰三角形（24题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第18讲 等腰三角形（24题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第18讲等腰三角形练习原卷版docx、第18讲等腰三角形练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共199页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第18讲 等腰三角形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156228291" 题型01 等腰三角形的定义
\l "_Tc156228292" 题型02 根据等边对等角求角度
\l "_Tc156228293" 题型03 利用等边对等角证明
\l "_Tc156228294" 题型04 根据三线合一求解
\l "_Tc156228295" 题型05 根据三线合一证明
\l "_Tc156228296" 题型06 格点图中画等腰三角形
\l "_Tc156228297" 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
\l "_Tc156228298" 题型08 根据等角对等边证明边相等
\l "_Tc156228299" 题型09 根据等角对等边求边长
\l "_Tc156228300" 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
\l "_Tc156228301" 题型11 等腰三角形性质与判定综合
\l "_Tc156228302" 题型12 等腰三角形有关的折叠问题
\l "_Tc156228303" 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156228304" 题型14 等腰三角形有关的新定义问题
\l "_Tc156228305" 题型15 等腰三角形有关的动点问题
\l "_Tc156228306" 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
\l "_Tc156228307" 题型17 利用等边三角形的性质求线段长
\l "_Tc156228308" 题型18 手拉手模型
\l "_Tc156228309" 题型19 等边三角形的判定
\l "_Tc156228310" 题型20 等边三角形与折叠问题
\l "_Tc156228311" 题型21 等边三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156228312" 题型22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156228313" 题型23 利用垂直平分线的性质求解
\l "_Tc156228314" 题型24 线段垂直平分线的判定
题型01 等腰三角形的定义
1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对
2．（2019·陕西西安·校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023·四川广安·统考二模）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为 ．
题型02 根据等边对等角求角度
1．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形的两条对角线，相交于点，点在上，且．则的度数为 ．
2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模）中，，的平分线与边所夹的锐角为，则 ．
3．（2022·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在中，于点，与相交于点，且，．若，则的度数为 ．
题型03 利用等边对等角证明
1．（2023·广东深圳·统考三模）在中，，，点在内部，若的面积为，且满足，则 ．
2．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，中，， ，于D，E是的中点，的延长线交的延长线于F，若，则 ．
3．（2023·广东广州·统考一模）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为 ．
4．（2023·天津西青·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均落在格点上，连接，．
（1）线段的长等于 ．
（2）以为圆心，为半径作圆，在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，作出，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
题型04 根据三线合一求解
1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，中，，于，点在线段上，，若，，则的长为 ．
2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在中，．以为直径作半圆O，交于点D．若，则的度数是 度．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在中，，的面积为，则的值为 ．
4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为 ．
题型05 根据三线合一证明
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点D．
(1)求证：；
(2)若，时，求的半径．
2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，已知在中，，，点D是外一点，．
(1)尺规作图：请利用直尺和圆规作出的高（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)连接，若，判断四边形的形状并说明理由．
3．（2023·广东江门·统考一模）如图，在中，，，以为直径作分别交、于点、，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型06 格点图中画等腰三角形
1．（2021·广东广州·执信中学校考三模）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·贵州贵阳·校考一模）如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
1．（2018·河北·模拟预测）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．
2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）在▱ABCD中，对角线平分交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
3．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，矩形，将沿对角线翻折得到（如图1），交边于点，再将沿翻折得到（如图2），延长交边于点．设、．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)当，四边形为正方形时，求的值；
(3)当四边形为菱形时，求与的数量关系．
4．（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，，延长至点F，使C，交于点G，连接，交于点H．’
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点E为的中点，，求的值．
题型08 根据等角对等边证明边相等
1．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，为的中位线，且平分交于点F．若，，则 ．
2．（2021·湖北咸宁·统考模拟预测）在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是 ．
3．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）．
4．（2022·山东德州·统考二模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，，BC＝4，的平分线交AD边于点E，则AE的长为 ．
5．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，直线与双曲线交于、两点，直线经过点，与双曲线交于另一点，，连接，若的面积是50，则 ．
题型09 根据等角对等边求边长
1．（2020·河北·模拟预测）把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，则 ．
2．（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则 ．
3．（2023·浙江杭州·校考二模）已知如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点H，延长，相交于点G，若，，则 ．
4．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在矩形中，点是线段上的一点，，，将沿翻折，得到，连接，若，，则线段的长度为 ．
5．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）在中，，M为的中点，将绕点M旋转，使点C与点B重合得到，设边交边于点N．若，则 ．
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
1．（2020·福建厦门·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2018·湖北武汉·统考一模）已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为 .
3．（2018·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 ．
题型11 等腰三角形性质与判定综合
1．（2022·福建·统考模拟预测）已知，AB＝AC，AB＞BC．
(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
2．（2023·广西·模拟预测）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
3．（2023·广西·模拟预测）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求的长．
4．（2022·北京西城·统考一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．
(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
5．（2023·广西·模拟预测）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
(1)求证：；
(2)若时，求的长．
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
1．（2023·安徽芜湖·统考二模）在中，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿直线折叠得．
（1）如图（1），若为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段上时，则＝ ；
（2）如图（2），若为直角三角形．，．分别连接、、，若，且，则＝ ．
2．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，点是上一点，沿折叠得，点落在的平分线上，垂直平分，为垂足，则的度数是 ．
3．（2023·吉林长春·一模）实践与探究
(1)操作一：如图①，已知三角形纸片，，，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折痕为，点B的对应点为点E，与交于点F，且，则______度；
(2)操作二：如图②，将沿继续折叠，点E的对应点为点G．与交于点M，与交于点N，则图②中度数为的角共有______个．
(3)根据以上操作所得结论，解答下列问题：
①求证：；
②若，则线段的长为______．
4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，中，，点D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，折痕为，连接．求证：四边形是菱形．
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
1．（2021·四川乐山·统考一模）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C．D．
2．（2021·河南三门峡·统考二模）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且,再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
4．（2021·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形中，，，分别连接，，的中点，得到第1个等腰直角三角形；分别连接，，的中点，得到第2个等腰直角三角形……以此规律作下去，得到等腰直角三角形，则的长为 ．
5．（2021·山东聊城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，…均在直线上．设．．的面积分别为，…，依据图形所反映的规律， ．
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
1．（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．
(1)如图1，在四边形中，，连结，点是的中点，连结，．
①试判断四边形是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若，求的度数；
(2)如图2，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点，连结．若，，，求的长．
2．（2023·贵州铜仁·校考一模）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】（1）如图1，在等腰中，，为边上的高，已知上一点E满足，，求 ；
【尝试应用】（2）如图2，等边边长为，E为高线上的点，将绕点A逆时针旋转得到，连接，请你在此基础上继续探究出等边的“最近值”；
【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，过的中点E作垂线交的延长线于点F，连接，已知，，求“最近值”的平方．
题型15 等腰三角形有关的动点问题
1．（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图1，点P是等腰直角的斜边上一动点（不与点A，C重合），点D在边上，且，设，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则腰的长为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，，，点M在边上，，点是射线上一动点，连接，将沿直线翻折，点落在点处，联结，如果，那么的长是 ．
4．（2022·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，过点的直线与轴交于点，线段的长是一元二次方程的两个实数根．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着折线向终点运动，过点作轴的垂线，交轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)连接，设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，分别以的边为斜边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，点G是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，若， =2， =3，求的正切值；
(3)如图3，以的边为斜边向外作等腰直角三角形，连接，试探究线段的关系，并加以证明．
2．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，四边形是矩形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，，延长交于点G．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的值；
(3)探究三条线段之间的等量关系，并说明理由．
3．（2023·湖北十堰·统考一模）在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．
(1)如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________；
(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明；
(3)如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长．
4．（2023·山东东营·统考一模）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
题型17 利用等边三角形的性质求线段长
1．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
2．（2021·江西·统考二模）如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是 ．
3．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是 ．
题型18 手拉手模型
1．（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，等腰中，，点D在线段上运动（不与A、B重合），将与分别沿直线翻折得到与，给出下列结论：
①；
②面积的最小值为；
③当点D在的中点时，是等边三角形；
④当时，的长为；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
2．（2021·山东济南·统考二模）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是 ．
题型19 等边三角形的判定
1．（2023·上海杨浦·二模）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点A恰好落在腰上的点E处．
(1)如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形；
(2)延长交线段的延长线于点F，连接，如果，求证：四边形是矩形．
2．（2019·山东·校考一模）如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接．
（1）求证：；
（2）试说明与的位置关系和数量关系．
3．（2022·安徽马鞍山·校考一模）如图1，和都是等边三角形，且A，C，E在同一条直线上，分别连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，分别为，，的中点，过作与的延长线交于，求证：；
(3)如图3，设与交于点，点在上，，交于，交的延长线于，试判断的形状．
题型20 等边三角形与折叠问题
1．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知等边的边长为，点是边上的一个动点（与点A、B不重合），直线是经过点的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．
(1)基础图形：如图1，当时，若点恰好在边上，求的长度；
(2)模型变式：如图2，当时，若直线，则的长度为______；
(3)动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为．
如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值；
当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值．
2．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图1，等边三角形纸片中，，点D在边上（不与点B、C重合），，点E在边上，将沿折叠得到（其中点是点C的对应点）．
(1)当点落在上时，依题意补全图2，并指出与的位置关系；
(2)如图3，当点落到的平分线上时，判断四边形的形状并说明理由；
(3)当点到的距离最小时，求的长；
(4)当A，，D三点共线时，直接写出的余弦值．
题型21 等边三角形有关的规律探究问题
1．（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“……”的路线运动．设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是 ．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，过点B作MA1⊥AC于点A1，过点A1，作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…按着这个规律进行下去，点A2021的坐标是 ．
3．（2021·广东汕头·统考一模）如图，边长为4的等边ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边On﹣1BAn，则A2021的横坐标 ．
题型22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
1．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2023·山东泰安·统考二模）如图，正的边长为2，沿的边翻折得，连接交于点O，点M为上一动点，连接，射线绕点A逆时针旋转交于点N，连接．以下四个结论：①是等边三角形：②的最小值是；③当最小时；④当时，．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
3．（2022·福建厦门·校考二模）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．
4．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接．作点A关于的对称点F，连接、、．现给出以下4个结论：①平分；②菱形的面积等于；③周长的最小值为；④当时，，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
题型23 利用垂直平分线的性质求解
1．（2022·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CFB．∠FAC＝∠EACC．AB＝4D．AC＝2AB
3．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．
题型24 线段垂直平分线的判定
1．（2020·河南焦作·统考一模）已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BCD．
2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中， ，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
一、单选题
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB=AG=4，GD=5，则CH的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
2．（2023·海南·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE=2ED，则CE的长为（ ）
A．6B．4C．43D．26
3．（2023·海南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE:S△CDE的值是（ ）
A．1:2B．1:3C．2:5D．3:8
5．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE=36°B．BC=AE
C．BEAC=5−12D．S△AECS△BEC=5+12
6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°B．45°C．35°D．50°
7．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为4cm，矩形DEFG的长和宽分别为4cm和3cm，点C和点E重合，点B，CE，F在同一条直线上，令矩形DEFG不动，等边三角形ABC以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，等边三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线y=x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．298B．299C．2197D．2198
二、填空题
9．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A3,0，B0,4，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ．
10．（2023·江苏·统考中考真题）若等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，则这个三角形的底边长是 cm．
11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B0,0、C1,0．将线段CA 绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至CP4；……以此类推，则点P99的坐标是 ．
12．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB'，将AC绕点A逆时针旋转β至AC'(0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使∠BAC+∠B'AC'=180°，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①△ABC与△AB'C'面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB'和CC'，则∠B'BC+∠CC'B'=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B'C'=10．
13．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA1A2,△A3A4A5,△A6A7A8,⋯⋯都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点A2,A3,A5,⋯⋯都在x轴正半轴上，且A2A3=A5A6=A8A9=⋯⋯=1，则点A2023的坐标是 ．
14．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若AF=8，DF=7,B'F=4，则CG的长度为 ．
三、解答题
15．（2023·青海西宁·统考中考真题）一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，且经过点Bm,4．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−4的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
16．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．
17．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)若AD=2时，求CE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
18．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=BC=2AC=8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C对应点分别是D、E．点F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得∠BAD=∠FAG，连接FG．
(1)当点F与点C重合时，求FG的长；
(2)如图2，连接BG、DF．在点F的运动过程中：
①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？
19．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
20．（2022·山东临沂·统考中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第18讲 等腰三角形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156228291" 题型01 等腰三角形的定义
\l "_Tc156228292" 题型02 根据等边对等角求角度
\l "_Tc156228293" 题型03 利用等边对等角证明
\l "_Tc156228294" 题型04 根据三线合一求解
\l "_Tc156228295" 题型05 根据三线合一证明
\l "_Tc156228296" 题型06 格点图中画等腰三角形
\l "_Tc156228297" 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
\l "_Tc156228298" 题型08 根据等角对等边证明边相等
\l "_Tc156228299" 题型09 根据等角对等边求边长
\l "_Tc156228300" 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
\l "_Tc156228301" 题型11 等腰三角形性质与判定综合
\l "_Tc156228302" 题型12 等腰三角形有关的折叠问题
\l "_Tc156228303" 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156228304" 题型14 等腰三角形有关的新定义问题
\l "_Tc156228305" 题型15 等腰三角形有关的动点问题
\l "_Tc156228306" 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
\l "_Tc156228307" 题型17 利用等边三角形的性质求线段长
\l "_Tc156228308" 题型18 手拉手模型
\l "_Tc156228309" 题型19 等边三角形的判定
\l "_Tc156228310" 题型20 等边三角形与折叠问题
\l "_Tc156228311" 题型21 等边三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156228312" 题型22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156228313" 题型23 利用垂直平分线的性质求解
\l "_Tc156228314" 题型24 线段垂直平分线的判定
题型01 等腰三角形的定义
1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对
2．（2019·陕西西安·校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023·四川广安·统考二模）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为 ．
题型02 根据等边对等角求角度
1．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形的两条对角线，相交于点，点在上，且．则的度数为 ．
2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模）中，，的平分线与边所夹的锐角为，则 ．
3．（2022·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在中，于点，与相交于点，且，．若，则的度数为 ．
题型03 利用等边对等角证明
1．（2023·广东深圳·统考三模）在中，，，点在内部，若的面积为，且满足，则 ．
2．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，中，， ，于D，E是的中点，的延长线交的延长线于F，若，则 ．
3．（2023·广东广州·统考一模）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为 ．
4．（2023·天津西青·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均落在格点上，连接，．
（1）线段的长等于 ．
（2）以为圆心，为半径作圆，在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，作出，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
题型04 根据三线合一求解
1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，中，，于，点在线段上，，若，，则的长为 ．
2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在中，．以为直径作半圆O，交于点D．若，则的度数是 度．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在中，，的面积为，则的值为 ．
4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为 ．
题型05 根据三线合一证明
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点D．
(1)求证：；
(2)若，时，求的半径．
2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，已知在中，，，点D是外一点，．
(1)尺规作图：请利用直尺和圆规作出的高（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)连接，若，判断四边形的形状并说明理由．
3．（2023·广东江门·统考一模）如图，在中，，，以为直径作分别交、于点、，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型06 格点图中画等腰三角形
1．（2021·广东广州·执信中学校考三模）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·贵州贵阳·校考一模）如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
1．（2018·河北·模拟预测）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．
2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）在▱ABCD中，对角线平分交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
3．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，矩形，将沿对角线翻折得到（如图1），交边于点，再将沿翻折得到（如图2），延长交边于点．设、．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)当，四边形为正方形时，求的值；
(3)当四边形为菱形时，求与的数量关系．
4．（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，，延长至点F，使C，交于点G，连接，交于点H．’
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点E为的中点，，求的值．
题型08 根据等角对等边证明边相等
1．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，为的中位线，且平分交于点F．若，，则 ．
2．（2021·湖北咸宁·统考模拟预测）在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是 ．
3．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）．
4．（2022·山东德州·统考二模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，，BC＝4，的平分线交AD边于点E，则AE的长为 ．
5．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，直线与双曲线交于、两点，直线经过点，与双曲线交于另一点，，连接，若的面积是50，则 ．
题型09 根据等角对等边求边长
1．（2020·河北·模拟预测）把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，则 ．
2．（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则 ．
3．（2023·浙江杭州·校考二模）已知如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点H，延长，相交于点G，若，，则 ．
4．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在矩形中，点是线段上的一点，，，将沿翻折，得到，连接，若，，则线段的长度为 ．
5．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）在中，，M为的中点，将绕点M旋转，使点C与点B重合得到，设边交边于点N．若，则 ．
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
1．（2020·福建厦门·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2018·湖北武汉·统考一模）已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为 .
3．（2018·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 ．
题型11 等腰三角形性质与判定综合
1．（2022·福建·统考模拟预测）已知，AB＝AC，AB＞BC．
(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
2．（2023·广西·模拟预测）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
3．（2023·广西·模拟预测）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求的长．
4．（2022·北京西城·统考一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．
(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
5．（2023·广西·模拟预测）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
(1)求证：；
(2)若时，求的长．
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
1．（2023·安徽芜湖·统考二模）在中，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿直线折叠得．
（1）如图（1），若为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段上时，则＝ ；
（2）如图（2），若为直角三角形．，．分别连接、、，若，且，则＝ ．
2．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，点是上一点，沿折叠得，点落在的平分线上，垂直平分，为垂足，则的度数是 ．
3．（2023·吉林长春·一模）实践与探究
(1)操作一：如图①，已知三角形纸片，，，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折痕为，点B的对应点为点E，与交于点F，且，则______度；
(2)操作二：如图②，将沿继续折叠，点E的对应点为点G．与交于点M，与交于点N，则图②中度数为的角共有______个．
(3)根据以上操作所得结论，解答下列问题：
①求证：；
②若，则线段的长为______．
4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，中，，点D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，折痕为，连接．求证：四边形是菱形．
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
1．（2021·四川乐山·统考一模）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C．D．
2．（2021·河南三门峡·统考二模）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且,再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
4．（2021·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形中，，，分别连接，，的中点，得到第1个等腰直角三角形；分别连接，，的中点，得到第2个等腰直角三角形……以此规律作下去，得到等腰直角三角形，则的长为 ．
5．（2021·山东聊城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，…均在直线上．设．．的面积分别为，…，依据图形所反映的规律， ．
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
1．（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．
(1)如图1，在四边形中，，连结，点是的中点，连结，．
①试判断四边形是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若，求的度数；
(2)如图2，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点，连结．若，，，求的长．
2．（2023·贵州铜仁·校考一模）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】（1）如图1，在等腰中，，为边上的高，已知上一点E满足，，求 ；
【尝试应用】（2）如图2，等边边长为，E为高线上的点，将绕点A逆时针旋转得到，连接，请你在此基础上继续探究出等边的“最近值”；
【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，过的中点E作垂线交的延长线于点F，连接，已知，，求“最近值”的平方．
题型15 等腰三角形有关的动点问题
1．（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图1，点P是等腰直角的斜边上一动点（不与点A，C重合），点D在边上，且，设，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则腰的长为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，，，点M在边上，，点是射线上一动点，连接，将沿直线翻折，点落在点处，联结，如果，那么的长是 ．
4．（2022·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，过点的直线与轴交于点，线段的长是一元二次方程的两个实数根．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着折线向终点运动，过点作轴的垂线，交轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)连接，设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，分别以的边为斜边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，点G是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，若， =2， =3，求的正切值；
(3)如图3，以的边为斜边向外作等腰直角三角形，连接，试探究线段的关系，并加以证明．
2．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，四边形是矩形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，，延长交于点G．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的值；
(3)探究三条线段之间的等量关系，并说明理由．
3．（2023·湖北十堰·统考一模）在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．
(1)如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________；
(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明；
(3)如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长．
4．（2023·山东东营·统考一模）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
题型17 利用等边三角形的性质求线段长
1．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
2．（2021·江西·统考二模）如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是 ．
3．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是 ．
题型18 手拉手模型
1．（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，等腰中，，点D在线段上运动（不与A、B重合），将与分别沿直线翻折得到与，给出下列结论：
①；
②面积的最小值为；
③当点D在的中点时，是等边三角形；
④当时，的长为；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
2．（2021·山东济南·统考二模）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是 ．
题型19 等边三角形的判定
1．（2023·上海杨浦·二模）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点A恰好落在腰上的点E处．
(1)如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形；
(2)延长交线段的延长线于点F，连接，如果，求证：四边形是矩形．
2．（2019·山东·校考一模）如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接．
（1）求证：；
（2）试说明与的位置关系和数量关系．
3．（2022·安徽马鞍山·校考一模）如图1，和都是等边三角形，且A，C，E在同一条直线上，分别连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，分别为，，的中点，过作与的延长线交于，求证：；
(3)如图3，设与交于点，点在上，，交于，交的延长线于，试判断的形状．
题型20 等边三角形与折叠问题
1．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知等边的边长为，点是边上的一个动点（与点A、B不重合），直线是经过点的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．
(1)基础图形：如图1，当时，若点恰好在边上，求的长度；
(2)模型变式：如图2，当时，若直线，则的长度为______；
(3)动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为．
如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值；
当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值．
2．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图1，等边三角形纸片中，，点D在边上（不与点B、C重合），，点E在边上，将沿折叠得到（其中点是点C的对应点）．
(1)当点落在上时，依题意补全图2，并指出与的位置关系；
(2)如图3，当点落到的平分线上时，判断四边形的形状并说明理由；
(3)当点到的距离最小时，求的长；
(4)当A，，D三点共线时，直接写出的余弦值．
题型21 等边三角形有关的规律探究问题
1．（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“……”的路线运动．设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是 ．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，过点B作MA1⊥AC于点A1，过点A1，作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…按着这个规律进行下去，点A2021的坐标是 ．
3．（2021·广东汕头·统考一模）如图，边长为4的等边ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边On﹣1BAn，则A2021的横坐标 ．
题型22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
1．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2023·山东泰安·统考二模）如图，正的边长为2，沿的边翻折得，连接交于点O，点M为上一动点，连接，射线绕点A逆时针旋转交于点N，连接．以下四个结论：①是等边三角形：②的最小值是；③当最小时；④当时，．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
3．（2022·福建厦门·校考二模）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．
4．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接．作点A关于的对称点F，连接、、．现给出以下4个结论：①平分；②菱形的面积等于；③周长的最小值为；④当时，，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
题型23 利用垂直平分线的性质求解
1．（2022·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CFB．∠FAC＝∠EACC．AB＝4D．AC＝2AB
3．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．
题型24 线段垂直平分线的判定
1．（2020·河南焦作·统考一模）已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BCD．
2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中， ，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
一、单选题
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB=AG=4，GD=5，则CH的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
2．（2023·海南·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE=2ED，则CE的长为（ ）
A．6B．4C．43D．26
3．（2023·海南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE:S△CDE的值是（ ）
A．1:2B．1:3C．2:5D．3:8
5．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE=36°B．BC=AE
C．BEAC=5−12D．S△AECS△BEC=5+12
6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°B．45°C．35°D．50°
7．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为4cm，矩形DEFG的长和宽分别为4cm和3cm，点C和点E重合，点B，CE，F在同一条直线上，令矩形DEFG不动，等边三角形ABC以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，等边三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线y=x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．298B．299C．2197D．2198
二、填空题
9．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A3,0，B0,4，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ．
10．（2023·江苏·统考中考真题）若等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，则这个三角形的底边长是 cm．
11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B0,0、C1,0．将线段CA 绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至CP4；……以此类推，则点P99的坐标是 ．
12．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB'，将AC绕点A逆时针旋转β至AC'(0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使∠BAC+∠B'AC'=180°，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①△ABC与△AB'C'面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB'和CC'，则∠B'BC+∠CC'B'=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B'C'=10．
13．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA1A2,△A3A4A5,△A6A7A8,⋯⋯都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点A2,A3,A5,⋯⋯都在x轴正半轴上，且A2A3=A5A6=A8A9=⋯⋯=1，则点A2023的坐标是 ．
14．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若AF=8，DF=7,B'F=4，则CG的长度为 ．
三、解答题
15．（2023·青海西宁·统考中考真题）一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，且经过点Bm,4．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−4的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
16．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．
17．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)若AD=2时，求CE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
18．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=BC=2AC=8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C对应点分别是D、E．点F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得∠BAD=∠FAG，连接FG．
(1)当点F与点C重合时，求FG的长；
(2)如图2，连接BG、DF．在点F的运动过程中：
①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？
19．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
20．（2022·山东临沂·统考中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
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