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第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（2考点+18题型+4类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）
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这是一份第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（2考点+18题型+4类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用），文件包含第29讲尺规作图与定义命题定理讲义原卷版docx、第29讲尺规作图与定义命题定理讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第29讲 尺规作图与定义、命题、定理
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158196848" \l "_Tc157927020" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158196849" 考点一 尺规作图
\l "_Tc158196850" 题型01 尺规作图-作线段
\l "_Tc158196851" 题型02 尺规作图-作角度
\l "_Tc158196852" 类型一 作一个角等于已知角
\l "_Tc158196853" 类型二 尺规作角的和、差
\l "_Tc158196854" 类型三 过直线外一点作这条线的平行
\l "_Tc158196855" 类型四 作角平分线
\l "_Tc158196856" 题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
\l "_Tc158196857" 题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
\l "_Tc158196858" 题型05 尺规作图-作垂直平分线
\l "_Tc158196859" 题型06 尺规作图- 画圆
\l "_Tc158196860" 题型07 尺规作图- 找圆心
\l "_Tc158196861" 题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
\l "_Tc158196862" 题型09 尺规作图-作外接圆
\l "_Tc158196863" 题型10 尺规作图-作内切圆
\l "_Tc158196864" 题型11 尺规作图-作圆内接正多边形
\l "_Tc158196865" 题型12 尺规作图-格点作图
\l "_Tc158196866" 考点二 定义、命题、定理
\l "_Tc158196867" 题型01 判断是否命题
\l "_Tc158196868" 题型02 判断命题真假
\l "_Tc158196869" 题型03 举反例说明命题为假命题
\l "_Tc158196870" 题型04 写出命题的逆命题
\l "_Tc158196871" 题型05 反证法证明中的假设
\l "_Tc158196872" 题型06 用反证法证明命题
考点一 尺规作图
尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
五种基本作图：
根据基本作图作三角形
根据基本作图作圆
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3) 切记作图中一定要保留作图痕迹．
题型01 尺规作图-作线段
【例1】（2021上·辽宁抚顺·九年级校联考周测）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图．
(1)画直线AB；
(2)作射线BC；
(3)画线段AD；
(4)连接CD，并延长CD至点E，使DE＝CD；（保留作图痕迹）
(5)在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小．
【变式1-1】（2023上·广西河池·九年级统考期末）如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
(1)作直线AC，射线BC，连接AB；
(2)延长AB到点D，使得BD=AB；
(3)直接写出∠ABC+∠CBD=______°．
【变式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
【变式1-3】（2022上·广西梧州·七年级统考期末）（1）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作图，分别作下列两条线段．
①AB=a+b；
②CD=2a−b．
（2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数．
题型02 尺规作图-作角度
类型一 作一个角等于已知角
【例2】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·山东青岛·校考一模）如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
(1)尺规作图：以E为顶点，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．
【变式2-2】（2021下·上海闵行·上海上师初级中学校考期中）如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）
类型二 尺规作角的和、差
【例3】（2023上·内蒙古呼和浩特·校考阶段练习）如图，已知∠ABC．
(1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）
(2)若∠ABC的补角是∠ABC的5倍，则∠ABC= ．
【变式3-1】（2023上·陕西榆林·校考阶段练习）已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB=∠β−∠α．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式3-2】（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作一点D，使得∠ADE=12∠C．（保留作图痕迹，不写作法）
类型三 过直线外一点作这条线的平行
【例4】（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，在△ABC中，P为AC边上任意一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AP、AB于点M，N；②以点P为圆心，以AM长为半径作弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作射线PF交BC于点Q．若∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
【变式4-1】（2023下·河南焦作·统考期中）如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB 的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求．
小亮作图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上结论都不正确
【变式4-2】（2024上·陕西商洛·统考期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作射线CE，使得CE∥AB，且点E在BD上方．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式4-3】（2023上·吉林长春·统考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点，在给定的网格中，按下列要求作图
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C．
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B．
类型四 作角平分线
【例5】（2024上·内蒙古包头·统考期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于点D和E；②分别以点D,E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则∠HGB=（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【变式5-1】（2023上·广东广州·广州市第七十五中学校考期中）如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小．
【变式5-2】（2023上·河南驻马店·统考阶段练习）如图，已知△ABC， 过点A 的直线l∥BC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：△ABD是等腰三角形．
题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
【例6】（2024上·山西吕梁·统考期末）如图，已知△ABC．
实践操作：
（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺规作图，点D在直线AB的下方，保留作图痕迹，不写作法）．
推理与探究：
（2）点E是BC上一点，AE∥BD．探究：线段CE+AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（2023上·湖北襄阳·统考期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
【变式6-2】（2024上·湖北襄阳·统考期末）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．
(1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由．
【变式6-3】（2024上·江西南昌·校联考期末）如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．
(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）；
(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为52（画出一个即可）．
【变式6-4】（2023上·江苏南京·校联考期末）如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一个含30°角的直角三角形ABC，使其斜边为AB（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【变式6-5】（2022下·福建漳州·统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式6-6】．（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
【例7】（2023下·江苏泰州·泰州市海军中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）
(1)分别画出△ABC的中线BG、高CH；
(2)画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；
(3)画一个直角三角形MNP(要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
【变式7-1】（2023·吉林·一模）如图，图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
(1)在图①中，作△ABC的BC边上的高；
(2)在图②中，过点B作直线l，使得直线l平分△ABC的面积．
【变式7-2】（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得S△ABC=4S△ADP.（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-3】（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)网格中∠B的度数是 ___________°；
(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
(4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为13．
题型05 尺规作图-作垂直平分线
【例8】（2023下·河北石家庄·校考开学考试）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．FH>HGB．FH=HGC．EF>FHD．EF=FH
【变式8-1】（2023·江苏南通·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．按照如下步骤作图：
①分别以点A,B为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M,N；
②作直线MN，交AC点D；
③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E；
④连接BD,BE．
下列说法错误的是( )
A．AD=DEB．∠CBE=12∠AC．BC2=AC⋅CDD．CECD=35
【变式8-2】（2023·贵州遵义·统考二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=AC，∠A=56°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．93°C．100°D．112°
【变式8-3】（2023·广东清远·统考二模）如图，在△ABC中，∠A>∠B．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，使得EA=EB（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AE，若∠B=48°，求∠AEC的度数．
【变式8-4】（2023·广东潮州·二模）如图，在▱ABCD中，AC为对角线．
(1)求证：△ABC≌△CDA．
(2)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若△CDE的周长为10，求▱ABCD的周长．
题型06 尺规作图- 画圆
【例9】（2023·福建泉州·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC是钝角
(1)求作⊙O，使得圆心O在边AC上，且⊙O经过点B,C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，设AC与⊙O的另一个交点为D，且AC=2AB=4AD求证：AB是⊙O的切线
【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）已知：△ABC及AB边上一点E．
求作：⊙O，使它分别与AB、BC相切，且点E为其中一个切点．
（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【变式9-2】（2021·江苏盐城·校考二模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作⊙O，使点O在BC上，且⊙O与AC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半径．
题型07 尺规作图- 找圆心
【例10】（2023·广东茂名·统考一模）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=24cm，CD=8cm．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作圆的半径．
【变式10-1】（2023·河南新乡·统考三模）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD．
①求证：AD=AC；
②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC=70,BC=4，求⊙O的半径．
【变式10-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
(1)在AB边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BD=23，求⊙O的半径．
题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【例11】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
【变式11-1】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：PQ=12BD，
【变式11-2】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接OD．
(1)尺规作图：先作线段CD的垂直平分线l，交AC于点E，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)DE是⊙O的切线吗？请说明理由；
(3)当点O是AB中点时，请直接写出此时线段DE的长．
题型09 尺规作图-作外接圆
【例12】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知∠A=90°，作出△ABC的外接圆⊙M（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【变式12-1】（2022·黑龙江绥化·统考三模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆⊙O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；
(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．
题型10 尺规作图-作内切圆
【例13】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知△ABC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ABC的内切圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=4，AB=5，BC=6，则tan∠OBC=__________．（如需画草图，请使用图2）
【变式13-1】（2021·广东佛山·统考一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若⊙O的半径为1，求BC的长．
题型11 尺规作图-作圆内接正多边形
【例14】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式14-1】（2023上·浙江宁波·宁波市第七中学校联考期中）如图，已知⊙O．
(1)用直尺和圆规作出圆的内接正六边形ABCDEF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若⊙O半径为6，求AB的长度（结果保留π）．
题型12 尺规作图-格点作图
【例15】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作∠A的角平分线；
(2)在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2=AD⋅AC．
【变式15-1】（2023·吉林长春·统考一模）如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作△ABC的中线CD．
(2)在图②中，在AB边上找一点E，连结CE，使CE=BE．
(3)在图③中，在AC边上找一点F，连结BF，使△BFC的面积为103．
【变式15-2】（2023·天津河北·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M,Q在格点上，点N为小正方形边的中点，连接MN．
(1)MN的长为_________
(2)点P为线段MN上一点，当∠MPQ=45°时，请用无刻度的直尺在网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
【变式15-3】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE；连接PE交AC于F，则sin∠APF=______
(2)在图2中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC
(3)在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N连接PM，MN，使得PM+MN最小.
考点二 定义、命题、定理
题型01 判断是否命题
【例1】（2021·广东深圳·明德学校校考一模）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a=b，a=c，那么b=c
【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考二模）下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？B．美丽的天空．
C．猴子是动物．D．过直线l外一点作l的平行线．
题型02 判断命题真假
【例2】（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
【变式2-1】（2022·河南洛阳·统考一模）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（3）（4）
【变式2-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【变式2-3】（2023·湖南岳阳·岳阳市弘毅新华中学校考一模）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【变式2-4】（2022·江苏无锡·校考一模）下面a，b的取值，能够说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝3，b＝﹣2C．a＝﹣3，b＝﹣5D．a＝﹣3，b＝5
题型03 举反例说明命题为假命题
【例3】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）要说明命题“若a2>b2，则a>b是假命题”，下列a，b的值能作为反例的是（ ）
A．a=3，b=2B．a=−2，b=−1C．a=−1，b=−2D．a=2，b=−1
【变式3-1】（2023·北京·模拟预测）“如果a2>b2，那么a>b”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中，a= ，b= ．
题型04 写出命题的逆命题
【例4】（2022·广东广州·统考一模）下列命题的逆命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是矩形D．有一个角是直角的四边形是矩形
【变式4-1】（2022·广东珠海·统考二模）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等D．如果a=b，那么a2=b2
【变式4-2】（2020·河北·模拟预测）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
题型05 反证法证明中的假设
【例5】（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）用反证法证明“若ab2”时，应假设（ ）
A．a≤bB．a≥bC．a2≤b2D．a2≥b2
【变式5-1】（2022·广东佛山·统考二模）命题：已知△ABC，AB=AC．求证：∠B<90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A．AB≠ACB．∠B>90°C．∠B≥90°D．AB≠AC且∠B≥90°
【变式5-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）若要运用反证法证明“若a>b>0，则aA．a≥bB．a>bC．a≤bD．a题型06 用反证法证明命题
【例6】（2023·福建泉州·统考二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D=360°．
老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°，
如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠EFG．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°，
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°，
这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
【变式6-1】（2022·湖南长沙·校考一模）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1=∠2．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2
∴A'B'∥CD（ ）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴∠1=∠2．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【变式6-2】．（2018·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m-3=0 有两个实根x1和x2．
求证：x1≠x2．
考点要求
新课标要求
命题预测
尺规作图
能用尺规作图:
①作一个角等于已知角；作一个角的平分线.
②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.
③过直线外一点作这条直线的平行线.
④已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.
⑤过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形.
⑥过圆外一点作圆的切线.
本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．
定义、命题、定理
通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.
结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式.
了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
通过实例体会反证法的含义.
类型
图示
作图依据
作一条线段等于已知线段
圆上的点到圆心的距离等于半径.
作一个角等于已知角
1)三边分别相等的两个三角形全等；
2)全等三角形的对应角相等；
3)两点确定一条直线.
作一个角的平分线
作一条线段的垂直平分线
1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
2)两点确定一条直线.
过一点作已知直线的垂线
1)等腰三角形“三线合一”；
2)两点确定一条直线.
类型
图示
已知三角形的三边，求作三角形
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
类型
图示
过不在同一直线上的三点作圆
（即三角形的外接圆）
作三角形的内切圆
如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄金三角形．
类别
相关内容
定义与命题
1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
真命题、假命题
1．正确的命题叫做真命题．
2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
逆命题
1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
公理与定理
1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
互逆命题
1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
反证法
1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第29讲 尺规作图与定义、命题、定理
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158196848" \l "_Tc157927020" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158196849" 考点一 尺规作图
\l "_Tc158196850" 题型01 尺规作图-作线段
\l "_Tc158196851" 题型02 尺规作图-作角度
\l "_Tc158196852" 类型一 作一个角等于已知角
\l "_Tc158196853" 类型二 尺规作角的和、差
\l "_Tc158196854" 类型三 过直线外一点作这条线的平行
\l "_Tc158196855" 类型四 作角平分线
\l "_Tc158196856" 题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
\l "_Tc158196857" 题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
\l "_Tc158196858" 题型05 尺规作图-作垂直平分线
\l "_Tc158196859" 题型06 尺规作图- 画圆
\l "_Tc158196860" 题型07 尺规作图- 找圆心
\l "_Tc158196861" 题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
\l "_Tc158196862" 题型09 尺规作图-作外接圆
\l "_Tc158196863" 题型10 尺规作图-作内切圆
\l "_Tc158196864" 题型11 尺规作图-作圆内接正多边形
\l "_Tc158196865" 题型12 尺规作图-格点作图
\l "_Tc158196866" 考点二 定义、命题、定理
\l "_Tc158196867" 题型01 判断是否命题
\l "_Tc158196868" 题型02 判断命题真假
\l "_Tc158196869" 题型03 举反例说明命题为假命题
\l "_Tc158196870" 题型04 写出命题的逆命题
\l "_Tc158196871" 题型05 反证法证明中的假设
\l "_Tc158196872" 题型06 用反证法证明命题
考点一 尺规作图
尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
五种基本作图：
根据基本作图作三角形
根据基本作图作圆
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3) 切记作图中一定要保留作图痕迹．
题型01 尺规作图-作线段
【例1】（2021上·辽宁抚顺·九年级校联考周测）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图．
(1)画直线AB；
(2)作射线BC；
(3)画线段AD；
(4)连接CD，并延长CD至点E，使DE＝CD；（保留作图痕迹）
(5)在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小．
【变式1-1】（2023上·广西河池·九年级统考期末）如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
(1)作直线AC，射线BC，连接AB；
(2)延长AB到点D，使得BD=AB；
(3)直接写出∠ABC+∠CBD=______°．
【变式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
【变式1-3】（2022上·广西梧州·七年级统考期末）（1）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作图，分别作下列两条线段．
①AB=a+b；
②CD=2a−b．
（2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数．
题型02 尺规作图-作角度
类型一 作一个角等于已知角
【例2】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·山东青岛·校考一模）如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
(1)尺规作图：以E为顶点，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．
【变式2-2】（2021下·上海闵行·上海上师初级中学校考期中）如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）
类型二 尺规作角的和、差
【例3】（2023上·内蒙古呼和浩特·校考阶段练习）如图，已知∠ABC．
(1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）
(2)若∠ABC的补角是∠ABC的5倍，则∠ABC= ．
【变式3-1】（2023上·陕西榆林·校考阶段练习）已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB=∠β−∠α．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式3-2】（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作一点D，使得∠ADE=12∠C．（保留作图痕迹，不写作法）
类型三 过直线外一点作这条线的平行
【例4】（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，在△ABC中，P为AC边上任意一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AP、AB于点M，N；②以点P为圆心，以AM长为半径作弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作射线PF交BC于点Q．若∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
【变式4-1】（2023下·河南焦作·统考期中）如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB 的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求．
小亮作图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上结论都不正确
【变式4-2】（2024上·陕西商洛·统考期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作射线CE，使得CE∥AB，且点E在BD上方．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式4-3】（2023上·吉林长春·统考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点，在给定的网格中，按下列要求作图
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C．
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B．
类型四 作角平分线
【例5】（2024上·内蒙古包头·统考期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于点D和E；②分别以点D,E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则∠HGB=（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【变式5-1】（2023上·广东广州·广州市第七十五中学校考期中）如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小．
【变式5-2】（2023上·河南驻马店·统考阶段练习）如图，已知△ABC， 过点A 的直线l∥BC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：△ABD是等腰三角形．
题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
【例6】（2024上·山西吕梁·统考期末）如图，已知△ABC．
实践操作：
（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺规作图，点D在直线AB的下方，保留作图痕迹，不写作法）．
推理与探究：
（2）点E是BC上一点，AE∥BD．探究：线段CE+AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（2023上·湖北襄阳·统考期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
【变式6-2】（2024上·湖北襄阳·统考期末）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．
(1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由．
【变式6-3】（2024上·江西南昌·校联考期末）如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．
(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）；
(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为52（画出一个即可）．
【变式6-4】（2023上·江苏南京·校联考期末）如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一个含30°角的直角三角形ABC，使其斜边为AB（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【变式6-5】（2022下·福建漳州·统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式6-6】．（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
【例7】（2023下·江苏泰州·泰州市海军中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）
(1)分别画出△ABC的中线BG、高CH；
(2)画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；
(3)画一个直角三角形MNP(要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
【变式7-1】（2023·吉林·一模）如图，图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
(1)在图①中，作△ABC的BC边上的高；
(2)在图②中，过点B作直线l，使得直线l平分△ABC的面积．
【变式7-2】（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得S△ABC=4S△ADP.（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-3】（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)网格中∠B的度数是 ___________°；
(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
(4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为13．
题型05 尺规作图-作垂直平分线
【例8】（2023下·河北石家庄·校考开学考试）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．FH>HGB．FH=HGC．EF>FHD．EF=FH
【变式8-1】（2023·江苏南通·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．按照如下步骤作图：
①分别以点A,B为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M,N；
②作直线MN，交AC点D；
③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E；
④连接BD,BE．
下列说法错误的是( )
A．AD=DEB．∠CBE=12∠AC．BC2=AC⋅CDD．CECD=35
【变式8-2】（2023·贵州遵义·统考二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=AC，∠A=56°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．93°C．100°D．112°
【变式8-3】（2023·广东清远·统考二模）如图，在△ABC中，∠A>∠B．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，使得EA=EB（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AE，若∠B=48°，求∠AEC的度数．
【变式8-4】（2023·广东潮州·二模）如图，在▱ABCD中，AC为对角线．
(1)求证：△ABC≌△CDA．
(2)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若△CDE的周长为10，求▱ABCD的周长．
题型06 尺规作图- 画圆
【例9】（2023·福建泉州·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC是钝角
(1)求作⊙O，使得圆心O在边AC上，且⊙O经过点B,C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，设AC与⊙O的另一个交点为D，且AC=2AB=4AD求证：AB是⊙O的切线
【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）已知：△ABC及AB边上一点E．
求作：⊙O，使它分别与AB、BC相切，且点E为其中一个切点．
（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【变式9-2】（2021·江苏盐城·校考二模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作⊙O，使点O在BC上，且⊙O与AC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半径．
题型07 尺规作图- 找圆心
【例10】（2023·广东茂名·统考一模）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=24cm，CD=8cm．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作圆的半径．
【变式10-1】（2023·河南新乡·统考三模）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD．
①求证：AD=AC；
②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC=70,BC=4，求⊙O的半径．
【变式10-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
(1)在AB边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BD=23，求⊙O的半径．
题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【例11】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
【变式11-1】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：PQ=12BD，
【变式11-2】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接OD．
(1)尺规作图：先作线段CD的垂直平分线l，交AC于点E，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)DE是⊙O的切线吗？请说明理由；
(3)当点O是AB中点时，请直接写出此时线段DE的长．
题型09 尺规作图-作外接圆
【例12】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知∠A=90°，作出△ABC的外接圆⊙M（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【变式12-1】（2022·黑龙江绥化·统考三模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆⊙O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；
(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．
题型10 尺规作图-作内切圆
【例13】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知△ABC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ABC的内切圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=4，AB=5，BC=6，则tan∠OBC=__________．（如需画草图，请使用图2）
【变式13-1】（2021·广东佛山·统考一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若⊙O的半径为1，求BC的长．
题型11 尺规作图-作圆内接正多边形
【例14】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式14-1】（2023上·浙江宁波·宁波市第七中学校联考期中）如图，已知⊙O．
(1)用直尺和圆规作出圆的内接正六边形ABCDEF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若⊙O半径为6，求AB的长度（结果保留π）．
题型12 尺规作图-格点作图
【例15】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作∠A的角平分线；
(2)在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2=AD⋅AC．
【变式15-1】（2023·吉林长春·统考一模）如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作△ABC的中线CD．
(2)在图②中，在AB边上找一点E，连结CE，使CE=BE．
(3)在图③中，在AC边上找一点F，连结BF，使△BFC的面积为103．
【变式15-2】（2023·天津河北·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M,Q在格点上，点N为小正方形边的中点，连接MN．
(1)MN的长为_________
(2)点P为线段MN上一点，当∠MPQ=45°时，请用无刻度的直尺在网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
【变式15-3】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE；连接PE交AC于F，则sin∠APF=______
(2)在图2中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC
(3)在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N连接PM，MN，使得PM+MN最小.
考点二 定义、命题、定理
题型01 判断是否命题
【例1】（2021·广东深圳·明德学校校考一模）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a=b，a=c，那么b=c
【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考二模）下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？B．美丽的天空．
C．猴子是动物．D．过直线l外一点作l的平行线．
题型02 判断命题真假
【例2】（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
【变式2-1】（2022·河南洛阳·统考一模）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（3）（4）
【变式2-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【变式2-3】（2023·湖南岳阳·岳阳市弘毅新华中学校考一模）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【变式2-4】（2022·江苏无锡·校考一模）下面a，b的取值，能够说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝3，b＝﹣2C．a＝﹣3，b＝﹣5D．a＝﹣3，b＝5
题型03 举反例说明命题为假命题
【例3】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）要说明命题“若a2>b2，则a>b是假命题”，下列a，b的值能作为反例的是（ ）
A．a=3，b=2B．a=−2，b=−1C．a=−1，b=−2D．a=2，b=−1
【变式3-1】（2023·北京·模拟预测）“如果a2>b2，那么a>b”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中，a= ，b= ．
题型04 写出命题的逆命题
【例4】（2022·广东广州·统考一模）下列命题的逆命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是矩形D．有一个角是直角的四边形是矩形
【变式4-1】（2022·广东珠海·统考二模）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等D．如果a=b，那么a2=b2
【变式4-2】（2020·河北·模拟预测）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
题型05 反证法证明中的假设
【例5】（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）用反证法证明“若a
A．a≤bB．a≥bC．a2≤b2D．a2≥b2
【变式5-1】（2022·广东佛山·统考二模）命题：已知△ABC，AB=AC．求证：∠B<90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A．AB≠ACB．∠B>90°C．∠B≥90°D．AB≠AC且∠B≥90°
【变式5-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）若要运用反证法证明“若a>b>0，则a
【例6】（2023·福建泉州·统考二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D=360°．
老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°，
如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠EFG．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°，
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°，
这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
【变式6-1】（2022·湖南长沙·校考一模）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1=∠2．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2
∴A'B'∥CD（ ）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴∠1=∠2．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【变式6-2】．（2018·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m-3=0 有两个实根x1和x2．
求证：x1≠x2．
考点要求
新课标要求
命题预测
尺规作图
能用尺规作图:
①作一个角等于已知角；作一个角的平分线.
②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.
③过直线外一点作这条直线的平行线.
④已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.
⑤过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形.
⑥过圆外一点作圆的切线.
本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．
定义、命题、定理
通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.
结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式.
了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
通过实例体会反证法的含义.
类型
图示
作图依据
作一条线段等于已知线段
圆上的点到圆心的距离等于半径.
作一个角等于已知角
1)三边分别相等的两个三角形全等；
2)全等三角形的对应角相等；
3)两点确定一条直线.
作一个角的平分线
作一条线段的垂直平分线
1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
2)两点确定一条直线.
过一点作已知直线的垂线
1)等腰三角形“三线合一”；
2)两点确定一条直线.
类型
图示
已知三角形的三边，求作三角形
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
类型
图示
过不在同一直线上的三点作圆
（即三角形的外接圆）
作三角形的内切圆
如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄金三角形．
类别
相关内容
定义与命题
1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
真命题、假命题
1．正确的命题叫做真命题．
2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
逆命题
1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
公理与定理
1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
互逆命题
1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
反证法
1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
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