重难点02 与方程、不等式有关的参数问题（5类型+33题型）-2024年中考数学一轮复习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
重难点突破02 与方程、不等式有关的参数问题
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc154238300" \l "_Tc154238301" 类型一 一元一次方程
\l "_Tc154238302" 题型一 根据方程定义求参数值
\l "_Tc154238303" 题型二 已知方程的解，求参数或代数式的值
\l "_Tc154238304" 题型三 一元一次方程同解问题
\l "_Tc154238305" 题型四 利用两个方程解的关系求值
\l "_Tc154238306" 题型五 错解问题
\l "_Tc154238307" 题型六 一元一次方程的正整数解
\l "_Tc154238308" 类型二 二元一次方程（组）
\l "_Tc154238309" 题型一 根据方程定义求参数值
\l "_Tc154238310" 题型二 已知方程组的解，求参数或代数式的值
\l "_Tc154238311" 题型三 二元一次方程（组）同解问题
\l "_Tc154238312" 题型四 利用两个方程解的关系求值
\l "_Tc154238313" 题型五 错解问题
\l "_Tc154238314" 题型六 遮挡问题
\l "_Tc154238315" 题型七 解的个数问题
\l "_Tc154238316" 题型八 二元一次方程的正整数解
\l "_Tc154238317" 类型三 一元一次不等式（组）
\l "_Tc154238318" 题型一 根据一元一次不等式定义求参数值
\l "_Tc154238319" 题型二 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
\l "_Tc154238320" 题型三 一元一次不等式整数解问题
\l "_Tc154238321" 题型四 不等式与方程组综合求参数的取值范围
\l "_Tc154238322" 题型五 已知有解、无解情况求参数的取值范围
\l "_Tc154238323" 题型六 由不等式组整数解情况确定字母取值范围
\l "_Tc154238324" 题型七 由不等式组的解集确定字母的取值范围
\l "_Tc154238325" 题型八 已知特殊解的情况求参数的取值范围
\l "_Tc154238326" 题型九 不等式组与方程的综合求参数的取值范围
\l "_Tc154238327" 类型四 分式方程
\l "_Tc154238328" 题型一 利用分式方程解的定义求参数的值
\l "_Tc154238329" 题型二 分式方程同解问题
\l "_Tc154238330" 题型三 利用分式方程解的范围求字母的值
\l "_Tc154238331" 题型四 根据分式方程有解或无解求参数值或取值范围
\l "_Tc154238332" 题型五 根据分式方程的增根求参数
\l "_Tc154238333" 题型六 分式与不等式综合求参数
\l "_Tc154238334" 类型五 一元二次方程
\l "_Tc154238335" 题型一 由一元二次方程的概念求参数的值
\l "_Tc154238336" 题型二 由一元二次方程的解求参数的值
\l "_Tc154238337" 题型三 应用根的判别式求代数式的取值范围
\l "_Tc154238338" 题型四 由方程两根的关系确定字母系数的取值范围
类型一 一元一次方程
题型一 根据方程定义求参数值
1．（2022上·云南红河·统考期末）若代数式m−1xm+4=0是关于x的一元一次方程，则m= ．
【答案】−1
【分析】根据一元一次方程的定义列式计算即可得解．
【详解】解：方程m−1xm+4=0是关于x的一元一次方程，
则有：m=1且m−1≠0，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，熟记定义是关键．
2．（2021·贵州·统考一模）已知关于x的方程k2−4x2+k−2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
【答案】D
【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵方程k2−4x2+k−2x=k+6是关于x的一元一次方程，
∴k2−4=0k−2≠0 ，
解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，
解得：x=-1，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·校考期中）已知m−2xm2−3+5=0是关于x的一元一次方程，关于x，y的单项式axny3的系数是最大的负整数，且次数与单项式2x2y4的次数相同，求代数式m2−an的值．
【答案】7
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，单项式的次数和次数，有理数的大小比较，解题的关键是利用相应的定义得到各个字母的值，代入计算．
【详解】解：∵m−2xm2−3+5=0是关于x的一元一次方程，
∴m−2≠0m2−3=1，
解得：m=−2，
∵关于x，y的单项式axny3的系数是最大的负整数，
∴a=−1，
又次数与单项式2x2y4的次数相同，
∴n+3=2+4，即n=3，
∴m2−an=−22−−1×3=7．
题型二 已知方程的解，求参数或代数式的值
1．（2020·吉林长春·统考三模）关于x的一元一次方程2xa−2−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9B．8C．7D．5
【答案】C
【分析】先根据一元一次方程的定义可得出a的值，再根据一元一次方程的解定义可求出m的值，然后代入求值即可．
【详解】∵方程2xa−2−2+m=4是关于x的一元一次方程，
∴a−2=1，
解得a=3，
∴方程为2x−2+m=4，
又∵x=1是方程2x−2+m=4的解，
∴2×1−2+m=4，
解得m=4，
则a+m=3+4=7，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、以及解定义，掌握理解一元一次方程的定义是解题关键．
的值叫做一元一次方程的解．
2．（2023·湖北咸宁·统考一模）若关于x的一元一次方程2x−a=3的解是1，则a的值是（ ）
A．−1B．1C．−5D．5
【答案】A
【分析】将x=1，代入方程，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程2x−a=3的解是1，
∴2×1−a=3，
∴a=−1；
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
3．（2022·安徽六安·校考一模）已知x= - 1是关于x的方程2x+ax+b=0的解，则代数式100-3a+3b= 。
【答案】106
【分析】把x=-1代入2x+ax+b=0，求得-a+b=2，再把100-3a+3b整理后整体代入求值．
【详解】∵x= - 1是关于x的方程2x+ax+b=0的解，
∴-2-a+b=0，
∴-a+b=2，
∴100−3a+3b=100+3−a+b=100+3×2=106．
故答案为106．
【点睛】本题考查了方程的根，整式的化简求值，熟练掌握方程根的定义和性质，整体代入法求代数式的值，是解决此类问题的关键．
题型三 一元一次方程同解问题
1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）已知关于x的方程2x+5a=1与2+x=0的解相同，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【分析】先求出方程2+x=0的解，然后代入方程2x+5a=1，即可求出答案．
【详解】解：∵2+x=0，
∴x=−2，
把x=−2代入方程2x+5a=1，则
2×−2+5a=1，
解得：a=1；
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题．
2．（2020·浙江·模拟预测）若方程3x+13=4和方程1−3a−x6=0的解相同，则a的值为（ ）
A．−3B．−1C．1D．3
【答案】C
【分析】先解3x+13=4，求出x的值，代入1−3a−x6=0，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：3x+13=4，
移项、合并同类项得
3x=-9，
系数化为1，得
x=-3，
把x=-3代入1−3a−x6=0得，
1−3a+36=0，
去分母，得
6-3a-3=0，
移项，得
-3a=3-6，
合并同类项，得
-3a=-3，
系数化为1，得
a=1，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
题型四 利用两个方程解的关系求值
1．（2022上·河北保定·校考阶段练习）若关于x的方程2﹣（1﹣x）＝0与方程mx﹣3（5﹣x）＝﹣3的解互为相反数，则m的值（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】先求出第一个方程的解，得出它的相反数，再代入第二个方程，即可求得m的值．
【详解】方程2﹣（1﹣x）＝0的解为x=−1，
∵-1相反数是1，
∴x=1是方程mx﹣3（5﹣x）＝﹣3的解，
代入，得m−35−1=−3，
解得：m=9，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，掌握运算法则是解题的关键．
2．（2022上·江苏泰州·校考阶段练习）关于x一元一次方程2x−13=x+a2−3①， 23x+4−5x+1=3②，
(1)若方程①的解比方程②的解小4，求a的值；
(2)小马虎同学在解方程①时，右边的“−3”漏乘了公分母6，因而求解方程的解为x=2，试求方程①的正确的解；
【答案】(1)a=4
(2)x=−13
【分析】（1）解出方程①和②的解，并利用方程①的解比方程②的解小4列出等式并求解即可．
（2）由题意得2(2x−1)=3(x+a)−3，再把x=2代入2(2x−1)=3(x+a)−3，解出a的值，再将其值代入原式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
2x−13=x+a2−3，
解得：x=3a−16，
23x+4−5x+1=3，
解得：x=0，
则：0−(3a−16)=4，
解得：a=4．
（2）由题意得：2(2x−1)=3(x+a)−3，
将x=2代入2(2x−1)=3(x+a)−3得：2×(2×2−1)=3×(2+a)−3，
解得：a=1，
则：2x−13=x+12−3，
解得：x=−13．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
3．（2023上·广东湛江·校考阶段练习）已知关于x的方程2x+1−m=−2m−2的解比方程5x+1−1=4x−1+1的解大2，求m的值．
【答案】12
【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
先分别解两个一元一次方程，然后根据题意列关于m的一元一次方程，计算求解即可．
【详解】解：2x+1−m=−2m−2，
2x+2−m=−2m+4，
2x=−m+2，
x=−m2+1；
5x+1−1=4x−1+1，
5x+5−1=4x−4+1
x=−7；
由题意知，−m2+1−−7=2，
解得，m=12，
∴m的值为12．
题型五 错解问题
1．小明是（2）班的学生，他在对方程2x−13 =x+a2−1去分母时由于粗心，方程右边的−1没有乘6而得到错解x=4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
【答案】a=1，x=−1
【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解．
【详解】解：∵方程右边的−1忘记乘6，求出的解为x=4，
∴22×4−1=34+a−1，
解得a=1，
则原方程为：2x−13 =x+12−1，
去分母，得4x−2=3x+3−6，
移项、合并同类项，得x=−1．
【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键．
题型六 一元一次方程的正整数解
1．（2023上·重庆忠县·校考期中）若整数a使关于x的一元一次方程2+ax4=2−a2有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（ ）
A．−6B．3C．0D．−3
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程得到ax=6−2a，再证明a≠0，推出x=6a−2，根据方程有正整数解得到6a是大于2的正整数，据此求出符合条件的a的值，然后求和即可．
【详解】解：2+ax4=2−a2
去分母得：2+ax=8−2a，
移项得：ax=8−2a−2，
合并同类项得：ax=6−2a，
当a=0时，0=6−0，不成立，
∴a≠0，
∴x=6−2aa=6a−2，
∵整数a使关于x的一元一次方程2+ax4=2−a2有正整数解，
∴6a−2是正整数，即6a是大于2的正整数，
∴a=1时，6a=6，符合题意；
a=2时，62=3，符合题意；
a=3时，63=2，不符合题意；
∴符合条件的所有整数a之和为1+2=3，
故选B．
1．（2023上·江苏盐城·校联考期中）若关于x的方程12mx−53=12x−43有负整数解，则整数m为（ ）
A．2或3B．−1或2C．0或−1D．−1、0、2、3
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，先把m当做已知数，按照去括号，去分母，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解该方程，再根据解为负整数，得出m−1=−1,−2，即可求解．
【详解】解：12mx−53=12x−43，
12mx−53=12x−23，
3mx−10=3x−4，
3mx−3x=−4+10，
3m−1x=6，
x=2m−1，
∵方程有负整数解，
∴m−1=−1或−2，
当m−1=−1时，m=0，
当m−1=−2时，m=−1，
故选：C．
3．（2023下·江苏连云港·校考阶段练习）已知方程x−(2x−a)=2的解是正数，则a的最小整数解是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得x=a−2，再根据方程的解是正数，求出a>2，即可得到a的最小整数解．
【详解】解：x−(2x−a)=2，
去括号，得：x−2x+a=2，
移项，得：x−2x=2−a，
合并同类项，得：−x=2−a，
系数化1，得：x=a−2，
∵方程x−(2x−a)=2的解是正数，
∴a−2>0，
∴a>2，
∴a的最小整数解是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
4．（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x的方程2x+4=m−x的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤43B．m≥43C．m≤4D．m≥4
【答案】D
【分析】解方程得x=m−43，由解为非负数知m−43≥0，解之可得．
【详解】解：解方程2x+4=m−x得x=m−43，
由题意知m−43≥0，
解得m≥4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5．（2023上·重庆渝北·校考期中）若关于x的方程a−2x=3和2x=3+a有同一个整数解，则整数a= ．
【答案】3
【分析】本题考查一元一次方程的整数解，解题的关键是直接解方程进而利用整数的定义分析即可得出答案．
【详解】解：a−2x=3，
解得：x=3a−2，
∵3a−2是整数，
∴a−2=±1或±3，
∴a=3，1，5或−1，
∵2x=3+a，
解得：x=3+a2，
当a=3时，方程a−2x=3的解：x=33−2=3，方程2x=3+a的解：x=3+32=3，符合题意；
当a=1时，方程a−2x=3的解：x=31−2=−3，方程2x=3+a的解：x=3+12=2，不符合题意；
当a=5时，方程a−2x=3的解：x=35−2=1，方程2x=3+a的解：x=3+52=4，不符合题意；
当a=−1时，方程a−2x=3的解：x=3−1−2=−1，方程2x=3+a的解：x=3−12=1，不符合题意；
综上所述，整数a=3．
故答案为：3．
6．（2022·江苏苏州·统考二模）关于x的方程kx＋5=0的解是负数，则k的取值范围为 ．
【答案】k＞0
【分析】直接解方程组，再根据方程的解是负数即可得到答案．
【详解】∵kx＋5=0，当k=0时，等式5=0不成立
∴k≠0
∴kx=−5
∴x=−5k
∵x为负数
∴−5k<0
∴k>0
故答案为：k>0
【点睛】本题考查解一元一次方程和不等式的相关知识，分类讨论是解题的关键．
7．（2023上·江苏扬州·校考期中）已知x,y为有理数，定义一种新的运算△：xΔy=2xy−x+1，若关于x的方程xΔa=9有正整数解，且a为正整数．求符合条件的a值．
【答案】1
【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，先根据新定义运算得出关于x的方程，再解关于x的方程，然后根据方程的解和a是正整数求出a值，即可求解．
【详解】解：∵ xΔa=9，
∴2ax−x+1=9，
∴x= 82a−1,
∵x为正整数，
∴2a−1=1，2，4，8，
∵a为正整数，
∴a=1
类型二 二元一次方程（组）
题型一 根据方程定义求参数值
1．（2020·辽宁丹东·校考二模）若xa+b-7+2y5a-b-3=0是二元一次方程，那么的a、b值分别是（ ）
A．a=2， b=4；B．a=2， b=6；C．a=3， b=5；D．a=3， b=8
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义可得a+b−7=15a−b−3=1，解二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意可得a+b−7=15a−b−3=1，
解得a=2b=6，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
2．（2023下·河南驻马店·校考阶段练习）若m−1x−y=1是二元一次方程，则写出一个符合条件的m值 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据二元一次方程的定义可得m−1≠0，据此即可求解．
【详解】解：∵m−1x−y=1是二元一次方程，
∴m−1≠0，即m≠1，
∴一个符合条件的m值可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
3．若xm−2yn−3=1为含x，y的二元一次方程，试求：
(1)m和n的值；
(2)求代数式2m−n2的立方根．
【答案】(1)m=1，n=4
(2)−1
【分析】（1）根据二元一次方程的定义，即可求得m，n的值；
（2）把m，n的值代入代数式2m−n2即可求解．
【详解】（1）由题意得，m=1，n−3=1，
即m=1，n=4；
（2）代数式2m−n2的立方根为：32×1−42=3−1=−1．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，立方根，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
题型二 已知方程组的解，求参数或代数式的值
1．（2022下·河北石家庄·校考阶段练习）小明在解方程组y=kx+by=−2x的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2，已知直线y=kx+b过点3,1，则b的正确值是（ ）
A．4B．−11C．13D．11
【答案】B
【分析】解本题时可将x=−1y=2.和b=6代入方程组，解出k的值，然后再把(3,1)代入y=kx+b中解出b的值．
【详解】解：依题意得：2=−k+6，
解得：k=4；
又∵1=3×4+b，
∴b=−11．
故选B
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法．先将已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函数中可解出b的值．运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
2．（2023下·湖南郴州·校考期中）若a=1b=−2是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay−b=7的一个解，代数式3x2+6xy+3y2−1的值是 ．
【答案】74
【分析】根据二元一次方程的解的概念将a=1b=−2代入ax+ay−b=7中得到一个关于x，y的式子，然后整体代入求值即可．
【详解】∵a=1b=−2是关于a,b的二元一次方程ax+ay−b=7的一个解，
∴x+y+2=7 ，
∴x+y=5，
3x2+6xy+3y2−1=3(x+y)2−1=3×52−1=74 ，
故答案为：74．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的概念和代数式求值，掌握二元一次方程的解的概念和整体代入法是解题的关键．
3．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知x=1y=2是方程ax+by=3的解，则代数式a+2b−2的值为 ．
【答案】1
【分析】利用二元一次方程的解，可得出a+2b=3，再将其代入a+2b−2中，即可求出结论．
【详解】解：将x=1y=2代入原方程，得：
a+2b=3
∴a+2b−2=3−2=1；
故答案为：1
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解的性质，把解代入原方程是解题的关键．
题型三 二元一次方程（组）同解问题
1．（2023下·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组3x−y=54ax+5by=−22和2x+3y=−4ax−by=8有相同解，求（−a）b值．
【答案】−8
【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值．
【详解】解：因为两个方程组有相同的解，所以原方程组可化为
3x−y=52x+3y=−4（1），4ax+5by=−22ax−by=8（2）
解方程组（1）得x=1y=−2，
代入（2）得4a−10b=−22a+2b=8，
解得：a=2b=3．
所以（−a）b=（−2）3=−8．
【点睛】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
题型四 利用两个方程解的关系求值
1．（2023·山东聊城·统考一模）若关于x，y的方程组2x−y=5k+64x+7y=k的解满足x+y=2023，则k的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】用整体思想①+②，得6x+6y=6k+6，等式两边都除以6，得x+y=k+1，再根据x+y=2023，从而计算出k的值．
【详解】解：2x−y=5k+6①4x+7y=k②，
①+②，得6x+6y=6k+6，
∴x+y=k+1，
∵x+y=2023，
∴k+1=2023，
∴k=2022．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
2．方程组3x+2y=1(2k−1)x−ky=8的解中x与y值互为相反数，则k=
【答案】3
【分析】把y＝－x代入第一个方程可求出x＝1，则y＝－1，然后把x＝1，y＝－1代入第二个方程得到关于k的方程，然后解此方程即可．
【详解】∵x＋y＝0，
∴y＝−x，
∴3x−2x＝1，解得x＝1，
∴y＝−1，
∴2k−1＋k＝8，
∴k＝3.
故答案为3.
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的解，解题关键是得到x＋y＝0.
3．（2023·江苏无锡·校考二模）若关于x，y的二元一次方程组x−y=3m−2x+3y=−4的解满足x+y>0，则m的取值范围 ．
【答案】m>2
【分析】两方程相加可得2x+2y=3m−6，根据题意得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】解：x−y=3m−2①x+3y=−4②，
①+②，得：2x+2y=3m−6，
∴x+y=3m−62，
∵x+y>0，
∴3m−62>0，
解得m>2，
故答案为：m>2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
4．（2023·江西南昌·校考一模）二元一次方程组2x+3y=2k+3①3x+2y=k−2②的解满足x+y=2，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】将方程组中的两个方程相加可得5x+5y=3k+1，进而得到x+y=3k+15，再根据x+y=2可得一个关于k的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：2x+3y=2k+3①3x+2y=k−2②，
由①+②得：5x+5y=3k+1，
∴x+y=3k+15
二元一次方程组2x+3y=2k+3①3x+2y=k−2②的解满足x+y=2，
∴3k+15=2，
解得k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确发现方程组中的两个方程与x+y=2之间的联系是解题关键．
5．（2023下·辽宁大连·统考期中）已知关于x，y方程组2x+3y+k=1y+2x=k的解满足关于x，y方程x+2y−2k=4，求k值．
【答案】k=−1312
【分析】用①−②得：2y=−2k+1，②×3−①可得x=k−14，代入已知等式x+2y−2k=4，解方程即可求出k的值．
【详解】解：2x+3y=−k+1①2x+y=k②，
①−②得：2y=−2k+1，
②×3−①得：4x=4k−1，
∴x=k−14，
∵x+2y−2k=4，
∴k−14−2k+1−2k=4，
∴k=−1312．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．
6．（2020下·浙江杭州·期末）若方程组2x−y=4m14x−3y=20的解中，y值是x值的3倍，求m的值．
【答案】-1
【分析】先根据已知y=3x和原方程组中的第二个方程组成新的方程组，解出可得x、y的值，再求m的值即可．
【详解】解：由题意得：y=3x，
组成新的方程组为：y=3x①14x−3y=20②，
把①代入②得：14x-3•3x=20，
解得x=4，
把x=4代入①中得：y=12，
所以2×4-12-4m=0，
解得m=-1．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，利用y的值是x值的3倍建立新方程组是解题关键．
7．（2019·吉林白城·校联考期中）已知x=1y=−2是方程组mx+ny=7mx−ny=−1的解，求m，n值．
【答案】m=3n=−2
【分析】把x与y的值代入方程组计算，即可求出m与n的值．
【详解】把x=1y=−2代入方程组得：m−2n=7m+2n=−1，
解得：m=3n=−2
故m的值为3，n的值为-2.
【点睛】本题考查了二元一次方程组，掌握方程组的解满足方程组中的每个方程．
8．（2023·山东菏泽·统考二模）若关于x，y的二元一次方程组2x+y=−3m+2x+2y=4的解满足x+y>−23x−y<2，求m的整数值．
【答案】−1、0、1、2
【分析】先求得方程组的解，代入不等式组求解，计算即可．
【详解】解：2x+y=−3m+2①x+2y=4②，
①+②可得3x+y=−3m+6，据此可得x+y=−m+2；
①-②可得x−y=−3m−2，
∵x+y>−23x−y<2，
∴−m+2>−23−3m−2<2，
解得−43则m的整数值为−1、0、1、2．
【点睛】本题考查了方程组的解法，一元一次不等式组的解法及其整数解，熟练掌握解方程组和不等式组是解题的关键．
题型五 错解问题
1．（2021下·四川成都·成都嘉祥外国语学校校考期末）如图，小红和小明两人共同解方程组ax+5y=154x−by=−2①②
根据以上他们的对话内容，请你求出a，b的正确值，并计算a2020+−110b2019的值．
【答案】a=−1，b=10，0
【分析】根据题意将x=−3y=−1代入方程②求出b，把x=5y=4代入①求出a，最后代入代数式求值.
【详解】解：因为小明看错了方程①中的a，所以x=−3y=−1满足方程②，
即4×−3−b×−1=−2，解得b=10，
因为小红看错了方程②中的b，所以x=5y=4满足方程①，
即5a+5×4=15，解得a=−1，
所以a2020+−110b2019=−12020+−110×102019=1+−1=0．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解.
题型六 遮挡问题
1．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·统考期末）小强同学解方程组2x−y=●3x+y=8时，求得方程组的解为x=◆y=−1，由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处表示的数应该是 ．
【答案】7
【分析】把y=−1代入3x+y=8，解出x的值即可，再进行求解即可．
【详解】解：∵方程组2x−y=●3x+y=8的解为x=◆y=−1，
∴把y=−1代入3x+y=8，
解得：x=3
●处表示的数应该是2×3−−1=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意将y值代入方程求出x的值是解答本题的关键．
题型七 解的个数问题
1．（2020下·江苏南通·南通田家炳中学校考阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,c的值应满足的条件是( )
A．a≠bB．b≠cC．a≠cD．a≠c且c≠1
【答案】A
【分析】先消去y，得到关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．
【详解】x+y=1①ax+by=c②，
②-①×b得：a−bx=c−b，
∴x=c−ba−b，
要使方程有唯一解，
则a≠b，
故选：A．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组以及解一元一次方程，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型八 二元一次方程的正整数解
1．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（ ）
A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13
C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，13
【答案】B
【分析】先将m看作已知量，解二元一次方程组，用m表示出y，再结合x，y为整数，得出y的整数解，然后把y的整数解代入①，得出x的解，再把方程组的整数解代入②，即可得出m的值．
【详解】解：4x−3y=6①6x+my=26②，
由②×2−①×3，可得：y=342m+9，
∵x，y为整数，
∴当2m+9为−34，−17，−2，−1，34，17，2，1时，y为整数，
∴把2m+9的值代入y=342m+9，可得：y=−1，y=−2，y=−17，y=−34，y=1，y=2，y=17，y=34，
∴把y的整数解代入①，可得：x=34，x=0，x=−454，x=−24，x=94，x=3，x=574，x=27，
∴方程组4x−3y=66x+my=26的整数解为x=0y=−2，x=−24y=−34，x=3y=2，x=27y=34，
把方程组的整数解代入②，可得：m=−13，m=−5，m=4，m=−4．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
2．（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）若关于x，y的二元一次方程组mx+y=35x+3y=15的解是整数，则满足条件的整数m的和是 ．
【答案】3
【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．先求出二元一次方程组的解，根据解为整数，求出m的值，再进行计算即可．熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
【详解】解：解mx+y=35x+3y=15，得：x=65−3my=15−15m5−3m，
∵解是整数，m也是整数，
∴5−3m=±1,±6,±2,±3，
∴m=1,2，
当m=1时，y=15−155−3=0，当m=2时，y=15−15×25−3×2=15，满足题意，
∴满足条件的整数m的和为1+2=3；
故答案为：3．
3．（2023上·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考期中）关于x，y的二元一次方程组2x+ay=16x−2y=0的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先解方程组求出x，y，根据方程组的解为正整数，求出整数a的值，最后求和即可得到答案．
【详解】解：方程组2x+ay=16x−2y=0得，x=32a+4y=16a+4
∵方程组的解为正整数，
∴32a+4，16a+4都为正整数，
∴a+4=1或a+4=2或a+4=4或a+4=8或a+4=16，
∴a=−3或a=−2或a=0或a=4或a=12
∴当a=−3时，x=32y=16，
当a=−2时，x=16y=8，
当a=0时，x=8y=4，
当a=4时，x=4y=2，
当a=12时，x=2y=1，
∴满足条件的所有整数a的和为−3−2+0+4+12=11，
故答案为：11．
类型三 一元一次不等式（组）
题型一 根据一元一次不等式定义求参数值
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ．
【答案】-3
【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式,
∴k-3≠0且|k|-2=1,
解得k=-3.
题型二 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
1．（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x的方程2x+4=m−x的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤43B．m≥43C．m≤4D．m≥4
【答案】D
【分析】解方程得x=m−43，由解为非负数知m−43≥0，解之可得．
【详解】解：解方程2x+4=m−x得x=m−43，
由题意知m−43≥0，
解得m≥4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2．（2023下·四川眉山·校考期中）如果关于x的不等式a+2023x>a+2023的解集为x<1，那么a的取值范围是（ ）．
A．a>−2023B．a<−2023C．a>2023D．a<2023
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于a的不等，求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式a+2023x>a+2023的解集为x<1，
∴a+2023<0，
解得：a<−2023，
故选：B．
3．（2022·广东佛山·校考三模）若关于x的不等式ax−1<0的解集是x<14，则关于x的不等式(a−6)x>−a+1 的解集是（ ）
A．x<32B．x<−32C．x>32D．x>−32
【答案】A
【分析】根据不等式ax−1<0的解集是x<14可求出a 的值，代入不等式(a−6)x>−a+1，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得，ax−1<0
∴x<1a ，
又∵ax−1<0的解集是x<14，
∴a=4，
∴(a−6)x>−a+1得，(4−6)x>−4+1，
∴−2x>−3，
∴x<32，
故选：A ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）关于x的不等式(2a−b)x>a−2b的解集是x<52，求关于x的不等式ax+b<0的解集．
【答案】x<−8
【分析】由不等式(2a−b)x>a−2b可得x【详解】解：不等式(2a−b)x>a−2b系数化1得x∵该不等式的解集为是x<52，
∴ a−2b2a−b=52，
∴b=8a，
∵2a−b<0，
∴2a−8a<0，
解得：a>0，
将b=8a代入不等式ax+b<0得，
ax+8a<0，
移项得，ax<−8a，
又∵a>0，
∴x<−8，
即不等式ax+b<0的解集是x<−8．
【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
题型三 一元一次不等式整数解问题
1．（2020上·广东惠州·惠州一中校考开学考试）关于x的不等式2x−m<0的正整数解集是1，2，3，则m的取值范围是 ．
【答案】66
【分析】解关于x的不等式求得x≤m2，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之可得．
【详解】解：解不等式2x−m<0，得x∵不等式的正整数解是1，2，3，
在数轴上表示不等式的解集为：
∴3解得6故答案为：6【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2．（2023下·山东青岛·校考期中）已知关于x的不等式x−a≥−3的解集中有且仅有3个负整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】−1【分析】解不等式得x≥a−3，根据3个负整数解只能是−3、−2、−1，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次不等式x−a≥−3的解集中有且仅有3个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式x≥a−3的3个负整数解只能是−3、−2、−1，
∴−4∴−1∴a的取值范围是−1故答案为：−1【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
3．（2022下·湖北咸宁·校考期末）若不等式2x+3>1的最小整数解是方程2x−a=3的解，则a的值为 ．
【答案】−7
【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最小整数解，代入2x−a=3得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：解不等式2x+3>1，得x>−52，
∴不等式2x+3>1的最小整数解是−2，
将x=−2代入2x−a=3，得2×−2−a=3，
解得a=−7，
故答案为：−7．
题型四 不等式与方程组综合求参数的取值范围
1．（2022·江苏镇江·统考二模）关于x、y的二元一次方程组3x+y=1+mx+y=3的解满足2x+y<1，则m的取值范围是 ．
【答案】m<−2
【分析】先把两式相加求出4x+2y的值，再代入2x+y<1中得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：3x+y=1+m①x+y=3②，
①+②得，4x+2y=4+m，
∴2x+y=2+12m，
∵2x+y<1，
∴2+12m<1，
解得：m<−2，
故答案为：m<−2．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知条件表示出2x+y的值，再得到关于m的不等式．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考期中）关于x，y的二元一次方程组3x+y=a4x−2y=2a的解x，y满足y−x>1，则a的取值范围是 ．
【答案】a<−53/a<−123
【分析】解方程组，得到x=2a5y=−a5因此可得−a5−2a5>1，解得a<−53．
【详解】解：3x+y=a①4x−2y=2a②，
①×2得：6x+2y=2a③，
②+③得：10x=4a，
解得x=2a5，
把x=2a5，代入①，解得y=−a5
∵y−x>1，
∴−3a5>1，
解得a<−53．
故答案为：a<−53．
【点睛】本题考查了不等式与方程组结合问题，熟练计算求出y−x，是解题的关键．
题型五 已知有解、无解情况求参数的取值范围
1．（2023·广东深圳·校考模拟预测）若关于x的不等式组2x−3≥0x−m≤0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤32B．m>32C．m<32D．m≥32
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定m的取值范围．
【详解】解：2x−3≥0①x−m≤0②，
解不等式①得：x≥32，
解不等式②得：x≤m，
∵关于x的不等式组2x−3≥0x−m≤0有解，
∴m≥32，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2022·福建莆田·校考一模）关于x的不等式组3>2(x−1)x>1−a有解，则a的取值范围是（ ）．
A．a≤−32B．a<−32C．a>−32D．a>−32
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集x＜52x>1−a，再利用不等式有解判断出1−a＜52，计算即可．
【详解】解：解不等式组3>2(x−1)x>1−a得：x＜52x>1−a，
∵不等式组有解，
∴1−a＜52，解之得：a>−32，
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式组，由不等式组解的情况求参数，解题的关键是求出不等式解集，根据不等式有解找出a的范围．
3．（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知不等式组x<3a−2x>2a−5无解，则a的取值范围是（ ）
A．a<3B．a>−3C．a>3D．a≤−3
【答案】D
【分析】根据不等式组无解，得到大大小小无解，进而确定出a的范围即可．
【详解】解：∵不等式组x<3a−2x>2a−5无解，
2a−5≥3a−2，
解得：a≤−3，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
题型六 由不等式组整数解情况确定字母取值范围
1．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组6x−m≥05x−n<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对m,n共有（ ）
A．42对B．36对C．30对D．11对
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于m、n的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出m、n的值．
【详解】解：6x−m≥0①5x−n<0②，
解不等式①得：x≥m6，
解不等式②得：x∴不等式组的解集是m6≤x∵关关于x的不等式组6x−m≥05x−n<0的整数解仅为1，2，3，
∴0∵m、n为整数，
∴m=1、2、3、4、5、6，n=16、17、18、19、20，
6×5=30，
所以适合这个不等式组的整数对m,n共有30对，
故选：C．
2．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）若关于x的一元一次不等式组4x>k−10x−1≤0有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．−1B．−2C．0D．2
【答案】B
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解情况得到关于k的不等式进而即可解答．
【详解】解：4x>k−10①x−1≤0②，
由①得，x>k−104，
由②得，x≤1，
∴不等式组的解集为k−104∵不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式组的整数解为1、0、−1、−2，
∴−3≤k−104<−2，
解得：−2≤k<2，
∴符合条件的所有整数k的和为−2−1+0+1=−2，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集及根据一元一次不等式组的整数解的情况求参数，熟练解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
3．（2022·江苏南通·统考二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：x−a<0①2x+3>0②，
解①得x解②得x>−32．
则不等式组的解集是−32∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴a＞3．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
4．（2023·四川凉山·统考一模）若关于x的不等式组2x+5>03x−k<4只有3个整数解，则整数k的值不可能是（ ）
A．−4B．−3C．−2D．−1
【答案】A
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集中只有3个整数解，确定出k的范围即可求解．
【详解】解：解2x+5>0得x>−2.5，
解3x−k<4得x∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为−2，−1，0，
∴0解得：−4∴整数k=−3,−2,−1，不能为−4，
故选；A．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
5．（2022·河北张家口·统考一模）若不等式组x−2≥02xA．8B．10C．11D．13
【答案】C
【分析】先解出不等式组x−2≥02x【详解】解：解不等式组x−2≥02x得2≤x∵此不等式组的最大整数解与最小整数解的差为3，
∴5解得10故选∶C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组最大整数解与最小整数解的差得出m的范围．
题型七 由不等式组的解集确定字母的取值范围
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）若数a使关于x的不等式组x+23−x2>12x−a≤0的解集为x<−2，则符合条件的数a的取值范围为 ．
【答案】a≥−2/−2≤a
【分析】先解不等式组，再根据已知解集确定出a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组得：x<−2x≤a，
∵不等式组的解集为x<−2，
∴a≥−2．
故答案为：a≥−2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图为关于x的不等式组 2x−1>0x+1>2a的解集在数轴上的表示，则a的取值范围是 ．

【答案】a≤1
【分析】解不等式组2x−1>0x+1>2a， 得 x>1x>2a−1， 由数轴可知，原不等式组的解集为x>1，则2a−1≤1，计算求解即可．
【详解】解：解不等式组2x−1>0x+1>2a， 得 x>1x>2a−1，
由数轴可知，原不等式组的解集为x>1，
∴2a−1≤1，
解得a≤1.
故答案为：a≤1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用．
3．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）不等式组x−1<02x+1≥m的解集为−2≤x<1，则m的取值范围是
【答案】m=−3
【分析】先求出各个不等式的解集，然后根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），即可求解．
【详解】解：不等式组x−1<0①2x+1≥m②
解不等式①得：x<1；
解不等式②得：x≥m−12；
∵不等式组的解集为−2≤x<1，
∴m−12=−2，
∴解得m=−3
故答案为：m=−3．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键．
4．（2021·内蒙古呼和浩特·统考二模）若不等式组2x+a>012x>−a4+1的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围．
【答案】a≤﹣6
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式的解集，由不等式组的任意x都能使不等式x﹣5＞0成立，确定a的范围即可．
【详解】解：2x+a>0①12x>−a4+1②
解不等式①得：x>−a2，
解不等式②得：x>−a2+2，
∵−a2＜−a2+2
∴不等式组的解集为x>−a2+2，
∵不等式组的任意x都能使不等式x﹣5＞0成立
又不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，
∴−a2+2≥5，
解得：a≤﹣6，
故a的取值范围为a≤﹣6．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练并正确地求出其解集是解题的关键．
题型八 已知特殊解的情况求参数的取值范围
1．（2023·四川绵阳·统考二模）不等式组6x+3>3x+ax2−1≤7−32x的所有整数解的和为9，则整数a的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】先解不等式组，求出其解集（用a表示），再根据不等式组的所有整数解的和为9，得到不等式整数解，从而得出关于a的不等式组，再求解即可．
【详解】解：解等式组6x+3>3x+ax2−1≤7−32x得
x>a−1x≤4，
∴a−1∵不等式组的所有整数解的和为9，
当x的整数解为2，3，4时，
∴1≤a−1<2
∵a为整数，
∴a=2，
当x的整数解为-1，0，1，2，3，4时，
∴−2≤a−1<−1
∵a为整数，
∴a=−1，
∴整数a的值有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的整数解情况求参问题，熟练掌握解不等式组，确定不等式组解集的方法是解题的关键．根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解题的难点．
2．（2020·湖北武汉·校考一模）若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是（ ）
A．6＜a＜7B．7＜a＜8C．6≤a＜7D．6≤a＜8
【答案】D
【分析】首先确定不等式的解集，用含有a的式子表示，然后根据题意中正整数解的情况，可以得到关于a的不等式组，从而求解．
【详解】解：2x-a≤0，得x≤a2，
∵正整数解是1、2、3，
∴3≤a2＜4
解得：6≤a＜8
故选：D．
【点睛】本题考查了解不等式的方法，根据整数解，就可以确定a2的取值范围．
3．如果不等式组3x−a≥02x−b<0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）的个数是（ ）
A．5B．6C．12D．4
【答案】B
【分析】首先解不等式组3x−a≥02x−b≺0，不等式的解集即可用a,b表示，根据不等式组的整数解仅为1,2,3，即可确定a,b的范围，再确定a,b的整数解，然后得到有序数对的个数.
【详解】3x−a≥0①2x−b≺0②，
由①得：x≥a3 ,
由②得：x≤b2 ，
不等式组的解集为：a3≤x≤b2，
∵整数解仅为1,2,3
∴0＜a3≤1,3≤b2＜4
解得：0＜a≤3,6≤b＜8，
∴a=1,2,3
b=6，7
∴整数a,b组成是有序数对（a，b）共有（1,6）（1,7）（2,6）（2,7）（3,6）（3,7）即6个
故选B.
【点睛】考察不等式组的解集，再利用有限个整数解来解决此题.
题型九 不等式组与方程的综合求参数的取值范围
1．（2021·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）若整数a是使得关于x的不等式组x−16>x4−126x−a≥5有且只有2个整数解，且使得且关于y的分式方程2y+3y−1＋a+11−y＝a有非负数解，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】解不等式组，确定a的取值范围，在解方程确定a的取值范围，它们解集的公共部分就是满足条件的整数a，再求出个数即可.
【详解】解：x−16＞x4−12①6x−a≥5②
由①得，2（x-1）＞3x-6
解得：x＜4，
由②得，x≥5+a6，
∵有且只有2个整数解，
∴1＜5+a6≤2，
解得，1＜a≤7,
2y+3y−1＋a+11−y＝a
2y+3-a-1=a(y-1)
(2-a)y=-2
y=-22-a,
a≠2
∵有非负数解，
∴2-a＜0，
∴a＞2，
∴1＜a≤7 ，
∴2＜a≤7
∵a=4时，y=1是增根，
∴a可为3、5、6、7，
故答案为：C.
【点睛】本题考查了解不等式组，找出不等式组和方程解集的公共部分是解题的关键.
2．（2021下·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）若关于x的不等式组x−12≤2x+36x+1>a+3有解，关于y的分式方程a+1y−2+32−y＝2有非负数解，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先分别求解不等式组和分式方程，然后根据题意分别确定参数的范围，最后综合求出符合条件的参数值即可．
【详解】对于不等式组x−12≤2x+36x+1>a+3，解得：x≤6x>a+2，
∵原不等式组有解，
∴a+2<6，解得：a<4，
对于分式方程a+1y−2+32−y=2，解得：y=a+22，
∵原分式方程有非负数解，
∴a+22≥0，解得：a≥−2
∵y≠2，
∴a+22≠2，解得：a≠2，
综上，a满足的条件为：−2≤a<4且a≠2，
∴满足条件的整数有5个，
故选：C．
【点睛】本题考查含参不等式组与分式方程综合问题，准确求解含参不等数组与分式方程，并注意求解参数时建立不等式需要满足的条件是解题关键．
3．（2020下·重庆万州·统考期末）已知关于x、y的方程组ax+3y=12x−3y=0的解为整数，且关于x的不等式组2(x+1)a−4有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣8D．﹣6
【答案】C
【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案．
【详解】解：解方程组ax+3y=12x−3y=0得：x=12a+1y=4a+1，
∵方程组ax+3y=12x−3y=0的解为整数，
∴a+1＝±1、±2、±4，
解得：a＝﹣2或0或1或﹣3或3或﹣5，
解不等式组2(x+1)a−4，得：a−43＜x＜3，
∵不等式组2(x+1)a−4有且仅有5个整数解，
∴﹣3≤a−43＜﹣2，
解得：﹣5≤a＜﹣2，
∴满足条件的整数a有﹣5、﹣3这2个，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．
类型四 分式方程
题型一 利用分式方程解的定义求参数的值
1．（2023·四川成都·统考二模）若关于x的分式方程mx−2−x−12−x=3的解为x=3，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【分析】解分式方程，根据方程的解为x=3，即可求解．
【详解】解：mx−2−x−12−x=3，
方程两边同时乘以x−2得：m+x−1=3x−2，
解得x=m+52， 且x−2≠0，
∵方程的解为x=3，
∴ m+52=3，
即m=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
2．（2023·河南驻马店·校联考二模）若关于x的分式方程m+xx−1=m2的解是2，则m的值为（ ）
A．−4B．−2C．2D．4
【答案】A
【分析】把x=2代入方程得出m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：∵分式方程m+xx−1=m2的解是2，
∴m+22−1=m2，
解得m=−4，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程等知识，把x=2代入原方程中进行计算是解题的关键．
题型二 分式方程同解问题
1. 已知关于x的分式方程axa+1−2x−1=1的解与方程x+4x=3的解相同，求a的值．
【答案】a=−3
【分析】先将方程x+4x=3的解求出，再将该解代入axa+1−2x−1=1，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论．
【详解】解：解分式方程x+4x=3，得x=2，
经检验，x=2是方程x+4x=3的解，
∵关于x的分式方程axa+1−2x−1=1的解与方程x+4x=3的解相同，
∴将x=2代入axa+1−2x−1=1，
得：2aa+1−2=1，
解得：a=−3，
经检验，a=−3是方程2aa+1−2=1的解，
∴ a=−3．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验．
题型三 利用分式方程解的范围求字母的值
1．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）关于x的分式方程2x+ax+1=1的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a>1B．a<1C．a<1且a≠2D．a>1且a≠2
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【详解】解：去分母得：2x+a=x+1，
解得：x=1−a，
由题意得：1−a<0，
解得：a>1
又因为1+x≠0，即1−a+1≠0
所以a≠2，
综上所述：a>1且a≠2
故选D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是熟练解分式方程，要注意在任何时候都要考虑分母不为0．
2．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）若关于x的分式方程2x+a2−x=1的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a<2B．a>2C．a<2且a≠−4D．a>2且a≠4
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a的范围即可．
【详解】解：去分母得：2x+a=2−x，
解得：x=2−a3，
由分式方程的解为正数，得到2−a3＞0，且2−a3≠2，
解得：a<2且a≠−4，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，正确求出分式方程的解是解本题的关键．注意不要忽略方程的解不能使分母为零．
3．（2023·黑龙江·统考三模）已知关于x的分式方程kx+1−1=x+k1−x的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k>−12B．k<−12且k≠−1C．k<−12D．k>−12且k≠0
【答案】D
【分析】保留k解方程，得到x的解，再利用解为负数列不等式且分母不为零，求出k的取值范围即可．
【详解】解kx+1−1=x+k1−x，
两边同乘(x+1)(1−x)得：k(1−x)−(1+x)(1−x)=(x+k)(1+x)，
k−kx−1+x2=x+k+x2+kx
−2kx−x=1
x=1−2k−1
∵x<0，
∴1−2k−1<0，
∴2k+1>0，
得k>−12，
检验得分母不为零，
∴x≠1且x≠−1，
得2k+1≠1且2k+1≠−1，
即k≠0且k≠−1，
综上k>−12且k≠0，
故选D．
【点睛】本题考查已知分式方程解的范围求分式方程中参数的取值范围，注意计算时保留参数须将参数看成常数，且分式方程的解需要检验确保分母不为零．
题型四 根据分式方程有解或无解求参数值或取值范围
1．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）若关于x的分式方程1x−2+ax−22−x=1有解，则a的取值范围是（ ）
A．a≠32B．a≠−1C．a=−1D．a≠32且a≠−1
【答案】D
【分析】先解分式方程得到−a+1x=−5，再根据分式方程有解，进行求解即可．
【详解】解：1x−2+ax−22−x=1
去分母得：1−ax−2=x−2，
去括号得：1−ax+2=x−2，
移项得：−ax−x=−2−2−1，
合并同类项得：−a+1x=−5，
∵关于x的分式方程1x−2+ax−22−x=1有解，
∴a+1≠0x−2≠0，
∴a+1≠0−2a+1≠−5，
∴a≠32且a≠−1，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到−a+1x=−5是解题的关键．
2．（2019·河南周口·校联考一模）若关于x的分式方程x+m4−x2+xx−2=1无解，则m的值是（ ）
A．m=2或m=6B．m=2
C．m=6D．m=2或m=−6
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程为−x+m=4，由分式方程无解可得4−x2=0或x−2=0，求出x的值，再代入整式方程即可．
【详解】解：∵x+m4−x2+xx−2=1，
∴x+m2−x2+x−x2−x=1，
去分母得：x+m−x2+x=2−x2+x，
整理得：−x+m=4，
∵关于x的分式方程x+m4−x2+xx−2=1无解，
∴4−x2=0或x−2=0，
解得：x=2或x=−2，
当x=2时，−2+m=4，解得：m=6，
当x=−2时，−−2+m=4，解得：m=2，
∴ m的值是m=6或m=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为0确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．（2022·山东临沂·统考二模）关于x的分式方程5x=ax−2有解，则字母a的取值范围是（ ）
A．a=5或a=0B．a≠0C．a≠5D．a≠5且a≠0
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程5x=ax−2有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
【详解】解：5x=ax−2，
去分母得：5（x-2）=ax，
去括号得：5x-10=ax，
移项，合并同类项得：
（5-a）x=10，
∵关于x的分式方程5x=ax−2有解，
∴5-a≠0，x≠0且x≠2，
即a≠5，
系数化为1得：x=105−a，
∴105−a≠0且105−a≠2，
即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程5x=ax−2有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，
故选：D．
【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
题型五 根据分式方程的增根求参数
1．（2022·广东广州·广州大学附属中学校联考模拟预测）若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=1有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．−1D．0
【答案】C
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】解：方程两边都乘(x−3)，
得2−(x+m)=x−3，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−3=0，
解得：x=3，
当x=3时，m=−1，
故选：C．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性．
2．（2022·河北保定·校考一模）关于x的分式方程mx−2+12−x=1有增根，则(﹣1)m=（ ）
A．﹣1B．1C．2D．5
【答案】A
【分析】先去分母，用含有m的式子表示x，因为方程有增根，所以x-2=0，从而解出m的值，代入(﹣1)m计算即可．
【详解】解：方程两边都乘x-2，得
m-1=x-2．
解这个方程，得x=m+1．
∵方程有增根，
∴x-2=0．
即m+1-2=0
解这个方程，得m=1．
那么(﹣1)m=-1．
故选：A．
【点睛】此题考查了方式方程增根问题，解题的关键是知道分式方程的增根就是使得原分式方程的分母为零的那个根．
题型六 分式与不等式综合求参数
1．（2022·湖北恩施·校考一模）若关于x的一元一次不等式组x−144a−2≤123x−12A．0B．1C．4D．6
【答案】B
【分析】先根据不等式组的解集的情况，求出a的取值范围，再根据分式方程的解的情况，求出满足条件的整数a，再求和即可．
【详解】解：x−144a−2≤12①3x−12解不等式①的解集为x≤a，
不等式②的解集为x<5，
∵不等式组的解集为x≤a，
∴a<5．
解关于y的分式方程2y−ay−1−y−41−y=1得：y=a+32．
由题意：a+32≥0．
∴a≥−3．
∴−3≤a<5．
∵关于y的分式方程2y−ay−1−y−41−y=1有非负整数解，
∴a=−3，−1，1，3．
但a=−1时，y=a+32=1是原方程的增根，舍去．
∴a=−3或1或3．
∴符合条件的所有整数a的和为−3+1+3=1．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和分式方程．解题的关键是掌握一元一次不等式组和分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．
2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，且关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．10B．12C．16D．14
【答案】B
【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且y−2≠0，即可求得满足条件的所有整数a的值．
【详解】3x+54≤x+32①x+12>x+a2②
解不等式①，得
x≤1．
解不等式②，得
x>a−1．
因为关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，可得
a−1≥1．
解得
a≥2．
解关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2，得
y=6a−1．
∵6a−1为整数，a≥2，6a−1−2≠0,
∴a=2或a=3或a=7．
∴满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．
3．（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）若关于x的一元一次不等式组3x+82>2−x2−x+a≥2x−3有且仅有1个奇数解，且关于y的分式方程a−7y−2−y2−y=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．4B．3C．9D．8
【答案】A
【分析】先解不等式组得出x>−1且x≤a+33，根据该不等式组有且仅有1个奇数解，得出0≤a<6，解分式方程得y=a−12，根据该方程有整数解，得出a=1,3,5,最后根据分式有题意的条件，排除不符合题意的a的值，即可求解．
【详解】解：3x+82>2−x2①−x+a≥2x−3②，
由①可得：x>−1，
由②可得：x≤a+33，
∵该不等式组有且仅有1个奇数解，
∴1≤a+33<3，解得：0≤a<6，
由a−7y−2−y2−y=3得：y=a−12，
∵该方程有整数解，
∴a−1能被2整除，
∴a=1,3,5,
∵y−2≠0，
∴y≠2，则a≠5
∴满足条件的所有整数a的和为：1+3=4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，解题的关键是掌握解不等式组和解分式方程的方法和步骤，以及分式方程分母不等于0．
类型五 一元二次方程
题型一 由一元二次方程的概念求参数的值
1．（2020上·广东广州·九年级广州市第七中学校考阶段练习）关于x的方程(m−2)x|m|+mx−1=0是一元二次方程，则m值为（ ）
A．2或−2B．2C．−2D．m≥0且m≠2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即|m|=2，且m-2≠0，解出m的值即可．
【详解】解析：由题意得m−2≠0m=2，
解得m=−2，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，比较简单，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．
2．（2021·黑龙江牡丹江·校联考模拟预测）关于x的一元二次方程m−3x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．－3
【答案】D
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【详解】解：∵m−3x2+m2x=9x+5，
∴m−3x2+m2−9x−5=0，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．
3．（2019·九年级单元测试）若方程(m－2)xm2-2+(3－m)x－2=0是关于x的一元二次方程，试求代数式m2+2m－4的值．
【答案】－4
【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意，得m2－2=2且m－2≠0，
解得m=±2且m≠2，
所以m=－2，
m2+2m－4=(－2)2+2×(－2)－4=4－4－4=－4．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟悉掌握是关键．
题型二 由一元二次方程的解求参数的值
1．（2023·安徽阜阳·统考三模）若关于x的一元二次方程(m−3)x2+x+m2−9=0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．−3D．−3或3
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−3)x2+x+m2−9=0的一个根为0，
∴m−3≠0且m2−9=0，
解得：m=−3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
题型三 应用根的判别式求代数式的取值范围
1．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个实数根，那么整数k的可能值是（ ）
A．−12B．0C．1D．3
【答案】A
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac>0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个实数根，
∴Δ=−22−4k×1>0，且k≠0，
解得：k<1且k≠0，
∴k的值可能是−12．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
2．（2022·福建福州·校考模拟预测）关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则m取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤3 C．m≥3且m≠2D．m≤3且m≠2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的判别式，有实根，则△≥0，由此即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，且a=m−2，b=2，c=1，
∴ Δ=22−4(m−2)≥0，解不等式得，m≤3，
∵关于x的一元二次方程，
∴m−2≠0，即m≠2，
∴m≤3且m≠2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
3．（2022·广东茂名·统考二模）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ．
【答案】m<1/1>m
【分析】利用方程有两个不相等的实数根时，Δ>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=−22−4m>0，即4−4m>0，
解得：m<1，
故答案为：m<1．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
题型四 由方程两根的关系确定字母系数的取值范围
1．（2023·山东日照·统考二模）关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，且x2x1+x1x2=x1⋅x2，则m值是（ ）
A．52B．−52C．±52D．±32
【答案】B
【分析】根据韦达定理可知x1+x2=2，x1⋅x2=2m−1，利用完全平方公式可得x22+x12x1⋅x2=x1+x22−2x1⋅x2x1⋅x2 ，整体代入解方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，
∴ x1+x2=2，x1⋅x2=2m−1，
∵ Δ=−22−42m−1=81−m≥0，
∴m≤1，
∵ x2x1+x1x2=x1⋅x2，
∴x2x1+x1x2=x22+x12x1⋅x2=x1+x22−2x1⋅x2x1⋅x2=x1⋅x2
∴4−22m−1=2m−12，
整理得：4m2=5，
解得m=±52，
∵m≤1，
∴m=−52，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是解题关键．
2．（2023·四川绵阳·统考三模）若关于x的方程2x2−k−1x+k+1=0的两个实数根满足关系式x1−x2=1，则k的值为( )
A．11B．−1C．11或−1D．11或−1或1
【答案】C
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=k−12,x1x2=k+12，再把|x1−x2|=1两边平方后利用完全平方公式变形得到x1+x22−4x1x2=1，然后将x1+x2=k−12,x1x2=k+12代入求关于k的方程，最后再利用判别式确定k的取值．
【详解】解：∵关于x的方程2x2−k−1x+k+1=0的两个实数根
∴x1+x2=k−12,x1x2=k+12，
∵x1−x2=1
∴x1+x22−4x1x2=1
∴k−122−4×k+12=1，整理得：k2−10k−11=0，解得k1=11，k2=−1，
当k=11时，方程变形为2x2−10x+12=0，即x2−5x+6=0，Δ=25−4×6>0，方程有两个不相等的实数解；
当k=−1时，方程变形为2x2+2x=0，即x2+x=0，Δ=1>0，方程有两个不相等的实数解；
∴k的值为11或−1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与系数的关系、根的判别式等知识点，若方程两个为x1、x2，则x1+x2=−ba,x1x2=ca是解答本题的关键．
3．（2020·广西玉林·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2+3x−p=0的两个不相等的实数根α、β满足αβ+βα=−5，则p的值是（ ）
A．-3B．3C．−94D．−97
【答案】B
【分析】先根据判别式的意义可判断p＞-94，再根据根与系数的关系得到α+β=-3，αβ=-p，接着由αβ+βα=−5变形得到（α+β）2=-3αβ，则32=3p，解得p=3．
【详解】解：根据题意得△=32+4p＞0，解得p＞-94，
∵α、β是一元二次方程x2+3x−p=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-3，αβ=-p，
∵αβ+βα=−5，
∴α2+β2=-5αβ，
∴（α+β）2=-3αβ，
∴32=3p，解得p=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
4．（2019·山东潍坊·统考二模）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，则m的值是（ ）
A．3或−1B．3C．1D．−3或1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=(2m+3)2−4m2>0，解得m>−34；再根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，则2m+3=m2，解方程得m1=3，m2=−1，然后根据m的取值范围确定满足条件的m的值 ．
【详解】解： 根据题意得△=(2m+3)2−4m2>0，解得m>−34；
根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，
则2m+3=m2，
整理得m2−2m−3=0，即(m−3)(m+1)=0，
解得m1=3，m2=−1，
则m=3．
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系： 若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1·x2=ca．要注意根据一元二次方程根的判别式对m的值进行取舍 ．
1．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程2x+3x−2=k(x−2)(x+3)+2的解满足−4A．正数B．负数C．零D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=6−k3，代入−4【详解】关于x的分式方程2x+3x−2=k(x−2)(x+3)+2
得x=k−217，
∵−4∴−4解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）若不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x﹣1)+5＞5x+2(m+x)成立，则m的取值范围是（ ）
A．m>−35B．m<−15C．m<−35D．m>−15
【答案】C
【分析】求出不等式2x+53−1≤2−x的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【详解】解：解不等式2x+53−1≤2−x得：x≤45，
∵不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，
∴x＜1−m2，
∴1−m2＞45，
解得：m＜−35，
故选C．
【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
3．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14B．m≤14C．m≥−14D．m>−14
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，列不等式求解即可．
【详解】解析：∵关于x的方程x2−x−m=0有实数根，
∴Δ=(−1)2−4(−m)=1+4m≥0，
解得m≥−14，
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
4．（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3B．−3C．7D．−7
【答案】A
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
5．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①−②得2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
6．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组3x+y=2m−1x−y=n的解满足x+y=1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用n,m表示出x,y，再将求得的代数式代入x+y=1，得到m,n的关系，最后将4m÷2n变形，即可解答．
法二：3x+y=2m−1①x−y=n②中①−②得到2m−n=2x+y+1，再根据x+y=1求出2m−n=3代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：3x+y=2m−1①x−y=n②，
①+②得4x=2m+n−1，
解得x=2m+n−14，
将x=2m+n−14代入②，解得y=2m−3n−14，
∵x+y=1，
∴2m+n−14+2m−3n−14=1，
得到2m−n=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
法二：3x+y=2m−1①x−y=n②
①−②得：2x+2y=2m−n−1，即：2m−n=2x+y+1，
∵x+y=1，
∴2m−n=2×1+1=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出m,n的关系是解题的关键．
7．（2022·山东聊城·统考中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
【答案】A
【分析】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
8．（2020·甘肃天水·统考中考真题）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为( )
A．−7【答案】D
【分析】先解不等式得出x⩽2−a3，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2⩽2−a3<3，解之可得答案．
【详解】解：∵3x+a⩽2，
∴3x⩽2−a，
则x⩽2−a3，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2⩽2−a3<3，
解得：−7故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．
9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）已知不等式组x−a>2x+1A．0B．−1C．1D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2+a【详解】解：x−a>2①x+1解不等式①得：x>2+a，
解不等式②得：x∴原不等式组的解集为：2+a∵不等式组的解集是−1∴2+a=−1，b−1=1，
∴a=−3，b=2，
∴a+b2023=−3+22023=−12023=−1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（2022·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组x−1≥4x−135x−1＜a的解集为x≤−2，且关于y的分式方程y−1y+1=ay+1−2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．－26B．－24C．－15D．－13
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ x−1≥4x−13①5x−1＜a②，
解①得解集为x≤−2，解②得解集为x＜a+15，
∵ 不等式组x−1≥4x−135x−1＜a的解集为x≤−2，
∴a+15＞−2，
解得a＞-11，
∵ y−1y+1=ay+1−2的解是y=a−13，且y≠-1，y−1y+1=ay+1−2的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，
∴-11＜a＜1且a≠-2，
故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数a的值之和是-8-5=-13，
故选D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
11．（2022·重庆·统考中考真题）关于x的分式方程3x−ax−3+x+13−x=1的解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2(y+2)2y−a3>1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：3x−a−x−1=x−3
解得：x=a−2
又题意得：a−2>0且a−2≠3
∴a>2且a≠5，
由y+9≤2y+2得：y≥5
由2y−a3>1得：y>3+a2
∵解集为y≥5
∴3+a2<5
解得：a<7
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
12．（2021·山东日照·统考中考真题）若不等式组x+6<4x−3x>m的解集是x>3，则m的取值范围是（ ）
A．m>3B．m≥3C．m≤3D．m<3
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式x+6<4x−3，得：x>3，
∵x>m且不等式组的解集为x>3，
∴m⩽3，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（2020·云南·统考中考真题）若整数a使关于x的不等式组x−12≤11+x34x−a>x+1，有且只有45个整数解，且使关于y的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数，则a的值为（ ）
A．−61或−58B．−61或−59C．−60或−59D．−61或−60或−59
【答案】B
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定a的范围，结合a为整数，再确定a的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到a的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【详解】解：∵x−12≤11+x3①4x−a>x+1②
由①得：x≤25,
由②得：x＞a+13，
因为不等式组有且只有45个整数解，
∴a+13＜x≤25,
∴−20≤a+13＜−19,
∴−60≤a+1＜−57,
∴−61≤a＜−58,
∵a为整数，
∴a为−61,−60,−59,
∵ 2y+a+2y+1+601+y=1，
∴2y+a+2+60=y+1,
∴y=−61−a,
而y≤0, 且y≠−1,
∴−61−a≤0,
∴a≥−61,
又−61−a≠−1,
∴a≠−60,
综上：a的值为：−61,−59.
故选B．
【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
14．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知关于x的不等式组−2x−3≥1x4−1≥a−12无实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−52B．a≥−2C．a>−52D．a>−2
【答案】D
【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：解不等式−2x−3≥1得，
x≤−2，
解不等式x4−1≥a−12得，
x≥2a+2，
∵该不等式组无实数解，
∴2a+2>−2，
解得：a>−2，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．
15．（2019·四川遂宁·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．−1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义，再将x=0代入原式，即可得到答案.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，
∴a2−1=0，a−1≠0，
则a的值为：a=−1．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
16．（2022·广西·统考中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=23a−b−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是 ．
【答案】14
【分析】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代数式变形为2a+b2+22a+b−1，把2a+b=3整体代入即可求值．
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，
∴2a+b=3，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=2a+b2+22a+b−1
=32+2×3−1
=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．
17．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ．
【答案】1≤n<3
【分析】解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
【详解】解：解方程13x−1=0得x=3，
∵x=3为不等式组x−2≤n2n−2x<0的解，
∴1≤n2n−6≤0，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
18．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值 ．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+y>22代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得x+y=a−3，
∵x+y>22，
∴a−3>22，
∴a>3+22，
∵4<8<9，
∴2<22<3，
∴5<22+3<6，
∴a的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
19．（2021·四川眉山·统考中考真题）若关于x的不等式x+m<1只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】−3≤m<−2
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：解不等式x+m<1，
得：x<1−m，
由题意x只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：{1−m>31−m≤4，
解得：−3≤m<−2，
故答案是：−3≤m<−2．
【点睛】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
20．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的不等式组2x+1>x+a①x2+1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a的值为 ．
【答案】2或−1
【分析】根据题意可求不等式组的解集为a−1【详解】解：由①得：x>a−1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：a−1∵所有整数解的和为14，
①整数解为：2、3、4、5，
∴1≤a−1<2，
解得：2≤a<3，
∵ a为整数，
∴a=2．
②整数解为：−1，0，1，2、3、4、5，
∴−2≤a−1<−1，
解得：−1≤a<0，
∵ a为整数，
∴a=−1．
综上，整数a的值为2或−1
故答案为：2或−1．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
21．（2022·四川绵阳·统考中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是 ．
【答案】0<1m≤15
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ 2x+3≥x+m①2x+53−3<2−x②，
解不等式①得：x≥m−3，
解不等式②得：x<2，
∵不等式组无解，
∴m−3≥2，解得：m≥5，
∴0<1m≤15．
故答案为：0<1m≤15
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是 ．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x+2x−2得到：x+2+2(x−2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不为0，
∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
23．（2023·湖北黄石·统考中考真题）若实数a使关于x的不等式组−20的解集为−1【答案】a≤−1/−1≥a
【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．
【详解】解：−20②，
由①得，−1a；
∵解集为−1∴a≤−1，
故答案为：a≤−1．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．
24．（2022·四川达州·统考中考真题）关于x的不等式组−x+a<23x−12⩽x+1恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】2≤a<3
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：−x+a<2①3x−12⩽x+1②
解不等式①得：x>a−2，
解不等式②得：x≤3，
∵不等式组有解,
∴不等式组的解集为： a−2∵不等式组−x+a<23x−12⩽x+1恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
∴0≤a−2<1，
解得2≤a<3．
故答案为：2≤a<3．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
25．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）不等式组2x−1<3x>m无解，则m的取值范围 ．
【答案】m≥2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：2x−1<3①x>m②
解不等式①得：x<2
由②式知：x>m
∵不等式组无解
∴m≥2
故答案为：m≥2
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．
26．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程kx2−3x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【答案】94
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=−32−4k=0k≠0，
∴k=94，
故答案为：94．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
27．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，推出22−2(k−1)k−1＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，
∴(x1+x2)2−2x1x2x1x2＝2（x1+x2）﹣k，
∴22−2(k−1)k−1＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
28．（2023·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−4x+2a=0有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式Δ≥0，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+2a=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=−42−4×1×2a≥0，
即16−8a≥0，
解得：a≤2，
∴a的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与判别式的关系，当a>0时，方程有两个不相等的实数根；当a=0时，方程有两个相等的实数根；当a<0时，方程没有实数根．
29．（2020·广东·统考中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）−43；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．实际就是方程组
x+y=4x−y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
x+y=4x−y=2解得x=3y=1
将x=3，y=1分别代入ax+23y=−103和x+by=15
解得a=−43，b=12
∴a=−43，b=12
（2）x2−43x+12=0
解得x=43±48−482=23
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵(23)2+(23)2=(26)2
∴该三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
30．（2022·湖北荆州·统考中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
【答案】k<2
【分析】先求出二元一次方程组的解，代入2kx−3y<5中即可求k；
【详解】解：令①+②得，2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①中得，2+y=3，
解得：y=1，
将x=2，y=1代入2kx−3y<5得，4k−3<5，
解得：k<2．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
31．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−2k+4x+k−6=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
【答案】(1)k>−25且k≠0
(2)x1=3+14，x2=3−14
【分析】（1）根据题意，可得2k+42−4kk−6>0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将k=1代入kx2−2k+4x+k−6=0，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：k≠0Δ=2k+42−4kk−6=40k+16>0，
解得k>−25且k≠0；
（2）解：当k=1时，原方程变为：x2−6x−5=0，
则有：x2−6x+9=5+9，
∴x−32=14，
∴x−3=±14，
∴方程的根为x1=3+14，x2=3−14．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
32．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
【答案】(1)k>2
(2)k=3
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值范围；
（2）根据两根之积为：ca，把字母和数代入求出k的值．
【详解】（1）解：b2−4ac=22−4×1×3−k=−8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴−8+4k>0，
解得：k>2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ=ca=3−k，
∴k2=3−k+3k，
解得：k1=3，k2=−1（舍去）．
即：k=3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
33．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]∗[c,d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]∗[5,1]=3×5−2×1=13．
(1)求[−4,3]∗[2,−6]的值；
(2)已知关于x的方程[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)10；
(2)m≤14且m≠0．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵[a,b]∗[c,d]=ac−bd，
∴[−4，3]∗[2，−6]=−4×2−3×−6=−8+18=10；
（2）解：∵[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0，
∴x⋅mx+1−2x−1⋅m=0，
整理得mx2+1−2mx+m=0，
∵关于x的方程[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=1−2m2−4m2≥0，且m≠0，
解得m≤14且m≠0．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
34．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+m=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)m的值为1或−2
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵Δ=−2m+12−4×m2+m=1>0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2−2m+1x+m2+m=0的两个实数根为a,b，
∴a+b=2m+1,ab=m2+m．
∵2a+ba+2b=20，
∴2a2+4ab+2b2+ab=20，2(a+b)2+ab=20．
∴2(2m+1)2+m2+m=20．
即m2+m−2=0．
解得m=1或m=−2．
∴m的值为1或−2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
35．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=−52，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)25或1．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m−1，x1x2=−3m2+m，整体代入得到m2+2m−3=0求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0，
∴a=1，b=−2m−1，c=−3m2+m，
∴Δ=b2−4ac=−2m−12−4×1×−3m2+m=4m−12，
∵4m−12≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0的两个实数根，
∴x1+x2=2m−1，x1x2=−3m2+m，
∵x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=x1+x22−2x1x2x1x2=−52，
∴x1+x22x1x2=−12，
∴(2m−1)2−3m2+m=−12，整理，得5m2−7m+2=0，解得m1=25，m2=1，
∴m的值为25或1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．