重难点13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）-2024年中考数学一轮复习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
重难点13 几何最值问题2种题型
（将军饮马与蚂蚁爬行，16种模型）
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157755233"
\l "_Tc157755234" 题型01 将军饮马
\l "_Tc157755235" 题型02 蚂蚁爬行

题型01 将军饮马
模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营.问如何行走才能使总的路程最短.
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短.
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.
【将军饮马之模型一 专项训练】
1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．52B．3C．4D．5
2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．43B．23C．6D．3
3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）

A．2+1B．2+12C．22+1D．22−12
4．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．325B．2C．213−6D．213−4
5．（2020·广东深圳·南山实验教育集团南海中学校考一模）如图，AC,BD在AB的同侧，AC=2,BD=8,AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120∘，则CD的最大值是 ．
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长.
【将军饮马之模型二 专项训练】
1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC1)，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设使得管道长度较短？
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB(km)（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）．
(1)在方案一中，d1=______km（用含a的式子表示）；
(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=_______km（用含a的式子表示）．
(3)①当a=4时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当a=7时，比较大小：d1______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
(4)请你参考方框中的方法指导，就a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案还是方案二？
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小.
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长.
【将军饮马之模型三 专项训练】
1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．
（1）如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；

（2）如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数；
（3）如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度．
2．（2019下·河南南阳·七年级统考期末）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2.
①如图1，若∠AOB=25∘，请直接写出∠P1OP2=______；
②如图2，连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠CPD=98∘，求∠AOB的度数；
③在②的条件下，若∠CPD=α度（900，求自变量x的取值范围；
(2)动点Pn,0在x轴上运动．当n为何值时，PA−PC的值最大？并求最大值．
3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，二次函数y=ax2−2ax+c的图象与x轴交于A、B3,0两点，与y轴相交于点C0,−3．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P是对称轴上一动点，当PB−PC有最大值时，求点P的坐标．
4．（2020·广东东莞·东莞市长安培英初级中学校考二模）如图，点A（－2，n），B（1，－2）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出，当kx＋b