2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学一模试卷

这是一份2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．2
2．（3分）下列运算结果等于a6的是（ ）
A．a3+a3B．a2•a3C．（﹣a3）2D．a12÷a2
3．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
4．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，则取走的正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买一张彩票，中奖”是不可能事件
B．“从，，π，0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是0.5
7．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）分式方程＝的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1+C．无解D．x＝2
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
10．（3分）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．
11．（3分）截止2021年4月中国高速路总里程达16万公里．请将“16万”用科学记数法表示记为 ．
12．（3分）某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价 ．
13．（3分）从A，B，C，D四名同学中，随机抽取三人代表某学校参加文艺表演，A，B，C三人的概率是 ．
14．（3分）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x
等于 时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．
15．（3分）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，CD分别交PA，PB于C，若∠APB＝50°，则∠COD的度数为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，EF＝2，则AD的长等于 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．（6分）先化简，再求值（﹣2）÷（﹣），其中a＝+﹣．
18．（6分）某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
②A，B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：
根据以上信息，回答问题：
（1）A班有 人，其中成绩在70≤x＜80这一组的有 人；
（2）表中m＝ ，n＝ ；
（3）从两个方面来分析A，B两班的成绩：
① ；
② ．
19．（6分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD
20．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据（结果取整数）．
参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60．
21．（7分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AD，AC平分∠PAD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若OE＝1，CD＝2，求的长．
23．（10分）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5小时共分拣垃圾8吨．
（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，机器人公司的报价如下表：
①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设其中购买A型机器人x台（10≤x≤35），购买两种机器人总费用为W万元．求W与x的函数关系式，并说明如何购买总费用最少；
②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过140万元增购这两种机器人共10台，机器人公司全部以打折后价格销售
24．（11分）在矩形ABCD中，＝k（k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），连接AE．
（1）特例发现：如图1，当k＝1时，将点P移动到对角线交点处，则＝ ，∠AEP＝ ；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小 （填“改变”或“不变”）；
（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，并说明理由；
（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，AE∥PC，PC＝2
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2，直线l：y＝﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．
（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，求PQ的最大值．
（3）如图2，点C（﹣2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．
1．（3分）下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．2
【解答】解：|﹣3|＝3，|﹣6|＝2，|2|＝7，
∴3＞2＞8，
∴绝对值最大的数﹣3，
故选：A．
2．（3分）下列运算结果等于a6的是（ ）
A．a3+a3B．a2•a3C．（﹣a3）2D．a12÷a2
【解答】解：A、a3+a3＝5a3，不合题意；
B、a2•a2＝a5，不合题意；
C、（﹣a3）5＝a6，符合题意；
D、a12÷a2＝a10，不合题意；
故选：C．
3．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵EF平分∠CEG，
∴∠CEG＝2∠CEF
又∵AB∥CD，
∴∠2＝∠CEF＝（180°﹣∠7）÷2＝50°，
故选：C．
4．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，则取走的正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：原几何体的主视图是：
．
故取走的正方体是①．
故选：A．
5．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式3x＞﹣6，得：x＞﹣6，
解不等式≤7，
故不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
故选：B．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买一张彩票，中奖”是不可能事件
B．“从，，π，0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是0.5
【解答】解：A．“购买一张彩票，A选项说法错误；
B．“从，，π，这个数是无理数”是随机事件，故B选项符合题意；
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，说明正面朝上的概率是0.3，有8次正面朝上，随着实验次数的增多越来越接近于理论数值0.5；
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，D选项说法不正确．
故选：B．
7．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形．故此选项错误．
故选：A．
8．（3分）分式方程＝的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1+C．无解D．x＝2
【解答】解：＝，
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝2，
x2+2x﹣x3﹣x+2＝3，
x＝3，
经检验，x＝1是方程的增根，
∴方程无解，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA．故A正确．
∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形．故B正确．
若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形；
因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，所以是菱形．
故选：D．
10．（3分）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得，2x+y＝10，
所以，y＝﹣2x+10，
由三角形的三边关系得，，
解不等式①得，x＞8.5，
解不等式②得，x＜5，
所以，不等式组的解集是5.5＜x＜5，
正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．
11．（3分）截止2021年4月中国高速路总里程达16万公里．请将“16万”用科学记数法表示记为 1.6×105 ．
【解答】解：16万＝160000＝1.6×107，
故答案为：1.6×103．
12．（3分）某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价 10% ．
【解答】解：设这种服装平均每件降价的百分率是x，由题意得
80（1﹣x）2＝64.8
∴（1﹣x）2＝8.81
∴1﹣x＝0.8或1﹣x＝﹣0.3
∴x＝10%或x＝1.9（舍）
故答案为10%．
13．（3分）从A，B，C，D四名同学中，随机抽取三人代表某学校参加文艺表演，A，B，C三人的概率是 ．
【解答】解：根据题意，所有等可能情况有：（A，B、（A，B、（A，C、（B，C，
其中抽到A，B，C三人的只有1种结果，
所以抽到A，B，C三人的概率为，
故答案为：．
14．（3分）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于 2 时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．
【解答】解：根据题意知，窗框的长为（12﹣3x）÷2＝6﹣，
∴窗框的透光面积S＝x（6﹣x）
＝﹣x2+3x
＝﹣（x﹣4）2+6，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝6时，S取得最大值，
即当x等于2时窗户的透光面积最大，
故答案为：2．
15．（3分）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，CD分别交PA，PB于C，若∠APB＝50°，则∠COD的度数为 65°或115° ．
【解答】解：分为两种情况：
①如图1，连接OA、OE，
∵PA、PB是⊙O的切线，A，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵CD切⊙O于E，
∴OE⊥CD，
∴∠DEO＝∠CEO＝90°，
∵PA、PB，切点是A、B、E，
∴∠ACO＝∠ECO，∠EDO＝∠BDO，
∵∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠ACO，∠EOC＝180°﹣∠OEC﹣∠ECO，
∴∠AOC＝∠EOC，同理可证：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠EOC+∠EOD＝∠AOB＝；
②如图4，
∠COD＝×（360°﹣130°）＝115°；
故答案为：65°或115°．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，EF＝2，则AD的长等于 8 ．
【解答】解：过点F作FM⊥AD交于点M，
由折叠可知，BE＝ED，CF＝C'F，
∵AB＝4，
∴BC'＝4，MF＝4，
∵EF＝2，
∴EM＝＝＝2，
设CF＝x，则C'F＝x，
∵∠C'＝∠C＝90°，
在Rt△C'BF中，BF＝＝，
在Rt△ABF中，AE＝＝，
∵AE+EM＝BF，
∴+8＝，
解得x＝3，
∴BF＝4，CF＝3，
∴AD＝8，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．（6分）先化简，再求值（﹣2）÷（﹣），其中a＝+﹣．
【解答】解：（﹣6）÷（﹣）
＝÷
＝•
＝a﹣b，
当，时，
原式＝＝．
18．（6分）某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
②A，B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：
根据以上信息，回答问题：
（1）A班有 40 人，其中成绩在70≤x＜80这一组的有 10 人；
（2）表中m＝ 81 ，n＝ 85 ；
（3）从两个方面来分析A，B两班的成绩：
① 从平均分来看，A，B两班差不多 ；
② 从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多 ．
【解答】解：（1）由题意可知，A班有：5+2+3+22+8＝40（人），
故答案为：40；10；
（2）A班共40名同学，中位数落在80≤x＜90＝81，
B班共40名同学，中位数落在80≤x＜90＝85，
故m、n的值分别为81；
（3）从平均分来看，A，B两班差不多，B班85分以上学生数比A班多，A班方差小，B班方差大．（任选两点）．
故答案为：从平均分来看，A，B两班差不多，B班85分以上学生数比A班多．
19．（6分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD
【解答】（1）解：如图，射线BD为所求；
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAC．
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
同理可证AB＝AD，
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
20．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据（结果取整数）．
参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60．
【解答】解：在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，
则AD＝≈CD，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴CD＝CD+30，
解得，CD＝45，
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
21．（7分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在
【解答】解：（1）当k＝0时，方程变形为x+2＝2；
当k≠0时，Δ＝（2k+4）2﹣4•k•8＝（2k﹣1）6，
∵（2k﹣1）4≥0，
∴△≥0，
∴当k≠2时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）存在，
设方程两根为x1、x2，
则x8+x2＝﹣，x1x2＝，
∵+＝2，即，
∴＝2＝2，
解得：k＝﹣，
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AD，AC平分∠PAD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若OE＝1，CD＝2，求的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵AC平分∠PAD，
∴∠PAC＝∠CAD，
∵OC⊥AD，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠PAC，
∴∠PAB＝∠PAC+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，
∴PA⊥AB，
又∵AB是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：设的半径为r，
∵AC＝CD，CD＝2，
∴AC＝CD＝2，
在Rt△ACE和Rt△OCE中，由勾股定理得AC7﹣AE2＝CE2＝OC7﹣OE2，OE＝1，
∴22﹣（r﹣1）6＝r2﹣16，
解得r1＝2，r2＝﹣1（舍去），
在Rt△COE中，cs∠COE＝，
∴∠AOC＝60°，
∴＝＝．
23．（10分）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5小时共分拣垃圾8吨．
（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，机器人公司的报价如下表：
①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设其中购买A型机器人x台（10≤x≤35），购买两种机器人总费用为W万元．求W与x的函数关系式，并说明如何购买总费用最少；
②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过140万元增购这两种机器人共10台，机器人公司全部以打折后价格销售
【解答】解：（1）设1台A型机器人每小时分拣a吨，1台B型机器人每小时分拣b吨．
根据题意，得，
解得，，
答：1台A型机器人每小时分拣0.4吨，1台B型机器人每小时分拣0.7吨；
（2）①设购买B型机器人y台，则0.4x+4.2y＝20，
整理得y＝100﹣2x，
∴当x＝10时，y＝80；
当x＝30时，y＝40；
当x＝35时，y＝30；
∵﹣8＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当10≤x＜30时，40＜y≤80；
当30≤x≤35时，30≤y≤40，
∴当10≤x＜30时，W＝20x+12×0.3（100﹣2x）＝0.2x+960，
∵0.8＞7，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝10时，W取最小值968，
∴当30≤x≤35时，W＝20×0.9x+12×5.8（100﹣2x）＝﹣2.2x+960．
∵﹣1.3＜0，∴W随x的增大而减小，
∴当x＝35时，W取最小值918．
∵918＜968，
∴当x＝35，y＝30时W最小．
综上可知W＝，购买A型35台；
②设购买A型m台，则购买B型（10﹣m）台，
每小时可分拣垃圾8.4m+0.8（10﹣m）＝（0.2m+5）（吨）．
根据题意可知20×0.9m+12×8.8（10﹣m）≤140，
解得m≤5．
∵m为正整数，
∴m≤5，0.3m+2≤3，
∴这10台机器人每小时最多处理5吨垃圾．
24．（11分）在矩形ABCD中，＝k（k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），连接AE．
（1）特例发现：如图1，当k＝1时，将点P移动到对角线交点处，则＝ 1 ，∠AEP＝ 45° ；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小 不变 （填“改变”或“不变”）；
（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，并说明理由；
（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，AE∥PC，PC＝2
【解答】解：（1）如图1（甲），设矩形ABCD的对角线AC，
∵＝k＝1，
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝ACBD，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵点P与点O重合，∠APE＝90°，
∴OE与OB重合，
∴PA＝OA，PE＝OB，
∴PA＝PE，
∴＝1；
当点P移动到其他位置时，如图1（乙），PG⊥BC于点G，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴PF＝PG，
∵∠PFB＝∠FBG＝∠PGB＝90°，
∴∠FPG＝90°，
∵∠APF＝∠EPG＝90°﹣∠EPF，∠PFA＝∠EGP＝90°，
∴△PAF≌△PEG（ASA），
∴PA＝PE，
∴∠AEP＝∠EAP＝45°，
∴∠AEP的大小不变，
故答案为：4，45°．
（2）∠AEP的大小不变．
理由如下：如图2（甲），过点P作PM⊥AB于点M，
∴∠PMA＝∠PMB＝∠PNB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MBN＝∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴四边形PMBN是矩形．
∴∠MPN＝90°，PN＝BM，
∵∠APE＝90°，
∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，
∴∠APM＝∠EPN．
∵∠PMA＝∠PNE＝90°，
∴△PAM∽△PEN，
∴＝＝，
∵∠BAD＝90°，
∴tan∠ABD＝，
∴tan∠AEP＝＝＝k，
∵k为定值，
∴∠AEP的大小不变．
（3）如图2（乙），
∵PC⊥BD，AE∥PC，
∴∠BHE＝∠BPC＝90°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠EBD＝∠ABD，
∴tan∠AEB＝tan∠ABD＝k，
∵tan∠AEP＝k，
∴∠AEB＝∠AEP，
∵∠ABE＝∠APE＝90°，AE＝AE，
∴△AEB≌△AEP（AAS），
∴AB＝AP，∠BAE＝∠PAE，
∴AE垂直平分BP，
∴HB＝HP，∠AHB＝∠AHP＝90°；
∵AB∥CD，
∴∠CDP＝∠ABH，
∵∠CPD＝∠AHB＝90°，CD＝AB，
∴△CPD≌△AHB（AAS），
∴PD＝HB＝HP，PC＝HA＝4，
∵∠PCD＝90°﹣∠CDP＝90°﹣∠ABH＝∠PBC，∠CPD＝∠BPC＝90°，
∴△CPD∽△BPC，
∴，
∴PB•PD＝PC2，
设PD＝HB＝HP＝m，则PB＝2m，
∴2m•m＝22，
∴m＝或m＝，舍去），
∴HP＝，
∴AP＝＝＝．
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2，直线l：y＝﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．
（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，求PQ的最大值．
（3）如图2，点C（﹣2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点
【解答】解：（1）由y＝﹣x+1＝0，解得x＝7，
∴A（1，0）．
由y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2＝﹣5（x﹣m）2+2＝3，
解得x1＝m﹣1，x5＝m+1．
∵抛物线经过点A，且抛物线与x轴的交点在y轴的右侧，
∴m﹣1＝3，
解得m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x5+8x﹣6．
（2）如图，作PM∥y轴交直线l于点M．
当x＝5时，y＝﹣x+1＝1，
∴B（2，1）．
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
∴∠PMQ＝∠OBA＝45°．
∵PQ⊥l于Q，
∴PQ＝PM•sin∠PMQ＝PM•sin45°＝PM．
设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为﹣2n2+8n﹣6，
∴点M的纵坐标为﹣n+1，
∴PM＝（﹣2n2+8n﹣7）﹣（﹣n+1）＝﹣2（n﹣）2+．
∴PQ＝PM＝﹣）6+．
由﹣2x6+8x﹣6＝﹣x+2，
解得x1＝1，x2＝．
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴3＜n＜．
∵﹣＜0＜，
∴当n＝时，PQ取最大值为．
（3）∵C（﹣4，0），0），
∴AC＝8．
由（1）可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（m﹣1，（m+1．
∵m﹣4＜m+1，（m+1）﹣（m﹣3）＝2＜3，
∴当抛物线与线段AC只有一个公共点时，这两个交点只能有8个在线段AC上．
如图，当只有点（m﹣1，，
解得7＜m≤2．
如图，当只有点（m+1，，
解得﹣3≤m＜﹣1．
综上可知，当抛物线与线段AC只有一个公共点时﹣3≤m＜﹣1或0＜m≤7．平均数
中位数
方差
A班
80.6
m
96.9
B班
80.8
n
153.3
型号
原价
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购买量不少于30台
A型
20万元/台
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B型
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平均数
中位数
方差
A班
80.6
m
96.9
B班
80.8
n
153.3
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