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浙教版八年级下册1.1 二次根式课时练习
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这是一份浙教版八年级下册1.1 二次根式课时练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．以下计算正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
3．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5B．3C．2D．4
4．如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小正方形方格的顶点上，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
5．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．若，则的结果是（ ）
A．aB． C． D．
7．若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：．②若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．若，都是实数，且，则的值是（ ）
A．0B．4C．2D．不能确定
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．计算： ．
12．若，则，，，按从小到大的顺序排列为 ．
13．如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 ．
14．如果，那么的值是 ．
15．已知，，则的值为 ．
16．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么化简 ．
三、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．已知：，．求值：
(1)
(2)
19．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）
(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
20．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(2)已知：，其中是整数，且，求的相反数．
21．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：
解决问题：
化简下列各式：
(1)；
(2)
参考答案：
1．C
【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．
【详解】∵是一个整数,且m是正整数，,
∴m的最小值为3，此时的值是整数3.
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．C
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算和二次根式的乘法，立方根．根据合并同类二次根式、立方根、二次根式的加减与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并成一项，
∴与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，分母有理化．利用网格的特征和勾股定理求得的面积和线段的长度，再利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：的面积，
，
设边上的高为，
，
，
．
故选：B．
5．A
【分析】先判断，可得，再结合算术平方根的含义可得时，，再化简绝对值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选A．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握“算术平方根的含义与化简绝对值”是解本题的关键．
6．A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，有理数的大小比较以及绝对值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，再利用得到即可得到答案．
【详解】解：，
．
故选：A．
7．D
【分析】利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出一元一次不等式组，并求解即可．
【详解】解：有意义，
，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组的解集，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解答本题的关键．
8．B
【分析】
由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
9．B
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，明确被开方数是非负数是解题的关键．
10．C
【分析】将，代入，求出，利用海伦公式，得到，设，利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：将，代入，得，
∴，
∴．
三角形的面积．
设，
它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值1，
此时，面积S取最大值为．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数求最值．
11．9
【分析】本题考查了二次根式的运算，同类二次根式才能加减，所以加减运算之前先将二次根式化为最简二次根式，熟记“”是解题关键．
【详解】解：
故答案为：
12．
【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键．
根据的取值范围，设，分别求出，，的值，比较大小即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
则，故，
，，
∵，，，
∴；
即．
故答案为：．
13．72
【分析】
本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48，
∴大正方形边长为：，
∴大正方形面积为，
∴留下的阴影部分面积和为：
故答案为：72．
14．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，进而求出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵要有意义，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：．
15．11
【分析】先将b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算．
【详解】
故答案为：11
16．
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，有理数的加法，有理数的大小比较，绝对值，解题的关键是先根据数轴分析，，之间的大小关系，再进行化简．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
17．(1)
(2)10
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的性质化简，再进行加减法运算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）分母有理化，化简，据此求解即可；
（2）提取公因式得到，再整体代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
19．(1)21
(2)37
【分析】本题考查了平方根的应用：
（1）将代入关系式计算即可；
（2）将代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：当时，
（厘米），
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．
（2）解：当时，
即，
，
答：冰川约是在37年前消失的．
20．(1)2
(2)
【分析】本题考查无理数的估算及相反数的定义，结合已知条件估算出各数分别在哪两个连续整数之间是解题的关键．
（1）分别估算后求得a，b的值，然后将其代入计算即可；
（2）估算出的值后再结合已知条件确定x，y的值，然后代入中再根据相反数的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
的小数部分为，的整数部分为，
；
（2）解：，
，
，即，
∵x是整数，且，
，
则，
那么的相反数为．
21．(1)
(2)
【分析】（1）将根号里面的7拆分成6和1，6写成的平方，1写成1的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题考查乘法公式的逆用，二次根式的性质，利用完全平方公式对根号内式子进行变形时关键．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．以下计算正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
3．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5B．3C．2D．4
4．如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小正方形方格的顶点上，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
5．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．若，则的结果是（ ）
A．aB． C． D．
7．若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：．②若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．若，都是实数，且，则的值是（ ）
A．0B．4C．2D．不能确定
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．计算： ．
12．若，则，，，按从小到大的顺序排列为 ．
13．如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 ．
14．如果，那么的值是 ．
15．已知，，则的值为 ．
16．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么化简 ．
三、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．已知：，．求值：
(1)
(2)
19．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）
(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
20．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(2)已知：，其中是整数，且，求的相反数．
21．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：
解决问题：
化简下列各式：
(1)；
(2)
参考答案：
1．C
【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．
【详解】∵是一个整数,且m是正整数，,
∴m的最小值为3，此时的值是整数3.
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．C
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算和二次根式的乘法，立方根．根据合并同类二次根式、立方根、二次根式的加减与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并成一项，
∴与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，分母有理化．利用网格的特征和勾股定理求得的面积和线段的长度，再利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：的面积，
，
设边上的高为，
，
，
．
故选：B．
5．A
【分析】先判断，可得，再结合算术平方根的含义可得时，，再化简绝对值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选A．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握“算术平方根的含义与化简绝对值”是解本题的关键．
6．A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，有理数的大小比较以及绝对值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，再利用得到即可得到答案．
【详解】解：，
．
故选：A．
7．D
【分析】利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出一元一次不等式组，并求解即可．
【详解】解：有意义，
，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组的解集，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解答本题的关键．
8．B
【分析】
由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
9．B
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，明确被开方数是非负数是解题的关键．
10．C
【分析】将，代入，求出，利用海伦公式，得到，设，利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：将，代入，得，
∴，
∴．
三角形的面积．
设，
它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值1，
此时，面积S取最大值为．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数求最值．
11．9
【分析】本题考查了二次根式的运算，同类二次根式才能加减，所以加减运算之前先将二次根式化为最简二次根式，熟记“”是解题关键．
【详解】解：
故答案为：
12．
【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键．
根据的取值范围，设，分别求出，，的值，比较大小即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
则，故，
，，
∵，，，
∴；
即．
故答案为：．
13．72
【分析】
本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48，
∴大正方形边长为：，
∴大正方形面积为，
∴留下的阴影部分面积和为：
故答案为：72．
14．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，进而求出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵要有意义，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：．
15．11
【分析】先将b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算．
【详解】
故答案为：11
16．
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，有理数的加法，有理数的大小比较，绝对值，解题的关键是先根据数轴分析，，之间的大小关系，再进行化简．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
17．(1)
(2)10
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的性质化简，再进行加减法运算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）分母有理化，化简，据此求解即可；
（2）提取公因式得到，再整体代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
19．(1)21
(2)37
【分析】本题考查了平方根的应用：
（1）将代入关系式计算即可；
（2）将代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：当时，
（厘米），
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．
（2）解：当时，
即，
，
答：冰川约是在37年前消失的．
20．(1)2
(2)
【分析】本题考查无理数的估算及相反数的定义，结合已知条件估算出各数分别在哪两个连续整数之间是解题的关键．
（1）分别估算后求得a，b的值，然后将其代入计算即可；
（2）估算出的值后再结合已知条件确定x，y的值，然后代入中再根据相反数的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
的小数部分为，的整数部分为，
；
（2）解：，
，
，即，
∵x是整数，且，
，
则，
那么的相反数为．
21．(1)
(2)
【分析】（1）将根号里面的7拆分成6和1，6写成的平方，1写成1的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题考查乘法公式的逆用，二次根式的性质，利用完全平方公式对根号内式子进行变形时关键．
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