2024年普通高等学校招生圆梦杯统一模拟考试(四)数学试题及答案

这是一份2024年普通高等学校招生圆梦杯统一模拟考试(四)数学试题及答案，共8页。试卷主要包含了已知命题，已知，，，则，已知函数的图象关于点对称，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试䖭指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知直线与交于，两点，若，则（ ）
A．1B．C．D．
4．已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1B．2C．D．
7．已知椭圆与双曲线有公共焦点，记与在轴上方的两个交点为，，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数（，），如图，，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前的学生将获得“优秀学生”称号，则（ ）
A．估计该市考生的成绩低于60分的比例为
B．估计该市考生成绩的众数为60
C．估计该市考生成绩的平均数为70.6
D．估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号
10．记函数的导函数为，已知，若数列，满足，则（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．D．
11．已知抛物线，为坐标原点，过作轴的垂线交直线于点，点满足，过作轴的平行线交于点（在的右侧），若，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，的夹角为，若，，则__________．
13．已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球表面上，，，则三棱锥的内切球半径为__________；若，则三棱锥体积的最大值为__________．
14．已知数列满足，函数的极值点为，若，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的正弦值．
16．（15分）
已知数列的各项均为正数，，．
（1）若，证明：；
（2）若，证明：当取得最大值时，．
17．（15分）
已知函数（，）．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在极值点，证明：随着的增大而增大．
18．（17分）
某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张卡片，共有“”和“”两种卡片，每位玩家的初始分数为0，每获得一张“”加1分，每获得一张“”減1分．已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕次，设该玩家获得“”的次数为，最终分数为．
（1）若玩家每次点击屏幕时，获得“”和“”的概率均为，求的分布列与数学期望，并直接写出的值；
（2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“”和“”的概率．计数器会记录玩家已经点击屏幕的次数（初始值为0），若为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“”和“”的概率均为，若为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“”的概率为，获得“”的概率为．求．
附：若随机变量和的取值是相互独立的，则．
19．（17分）
已知双曲线与曲戟有4个交点，，，（按逆时针排列）
（1）当时，判断四边形的形状；
（2）设为坐标原点，证明：为定值；
（3）求四边形面积的最大值．
附：若方程有4个实根，，，，则，．
2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一考试
B卷参考答案
一、单选题
1．D2．A3．C4．B5．C6．C7．D8．B
二、多选题
9．AC10．ACD11．BCD
三、填空题
12．413．；14．
四、解答题
15．解：
（1）面．
又面，．
（2），建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，，，，，，．
16．解：
（1），设，，
，，．
（2），，
最大值为8，当且仅当时取等号．
而，而时，，
，．
17．解：
（1）
①，，．
②，，
（ⅰ），在，．
（ⅱ），在，；
（2）要证，即证，，
，，，
，再证：时，，时，，即，
而，显然在，，成立！
综上，随的增大而增大．
18．解：
（1）的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分标列为
，．
（2）可以将奇数次抽奖和偶数次抽奖看作两个独立的二项分布且．
①当为奇数时，第奇数次抽奖共进行次，第偶数次抽奖共进行次，
，，
而奇数次抽奖和偶数次抽奖相互独立，
．
②当为偶数时
．
19．解：
（1），，
，由，
且，为正方形．
（2），
将代入，由“公式”知，
．
（3）记，，，．
①当在内部时，
．
当且．仅当四边形为正方形取等．
②当在外部时，．
综上，四边形面积最大值为8．
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