2024茂名五校联盟高二下学期3月联考试题数学含解析

这是一份2024茂名五校联盟高二下学期3月联考试题数学含解析，共17页。试卷主要包含了非选择题的作答，已知是自然对数的底数，设，则，正方体的棱长为分别为的中点，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和（ ）
A.9 B.18 C.36 D.72
3.若函数在处的切线方程为，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则（ ）
A. B. C. D.4
6.双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C.3 D.9
7.已知是自然对数的底数，设，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A.18 B. C. D.27
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.正方体的棱长为分别为的中点，则（ ）
A.直线与直线垂直
B.直线与平面平行
C.平面截正方体所得的截面面积为
D.点和点到平面的距离不相等
10.已知，则（ ）
A.的值域为
B.时，恒有极值点
C.恒有零点
D.对于恒成立
11.如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，则（ ）
A.若点的坐标为，则
B.直线恒过定点
C.点的轨迹方程为
D.的面积的最小值为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是__________.
13.下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.
若第1个图中的三角形的周长为1，则第个图形的周长为
若第1个图中的三角形的面积为1，则第个图形的面积为__________.
14.已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为__________.
四､解答题本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.
16.（本小题满分15分）
已知数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的首项为1，其前项和满足，证明：若.
17.（本小题满分15分）
如图所示，在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，其中为的中点.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的左､右焦点分别为，该椭圆的离心率为，且椭圆上动点与点的最大距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若直线与轴､椭圆顺次交于（点在椭圆左顶点的左侧），且，求面积的最大值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
2023—2024学年度茂名市五校联盟高二联考
数学参考答案及解析
一､选择题
1.C 【考点】直线的倾斜角与斜率（容易题）
【解析】由直线得，
，得倾斜角为.故选C.
2.B 【考点】等差､等比数列的基本定义､公式与性质
（容易题）
【解析】由等比数列的性质得，，由等差数列的性质得.故选B.
3.C 【考点】导数的几何意义，解对数函数不等式（容易题）
【解析】由，得，
由题意得，得，
，解得.故选.
4.D 【考点】直线恒过定点，直线与圆相交的弦长（取材于课本P103改编，中档题）
【解析】直线.恒过定点，当时，圆心到直线的距离最大为，此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.故选D.
5.A 【考点】二面角的平面角定义，向量法求距离（课本P41习题改编，中档题）
【解析】由二面角的平面角的定义知，
，由
l，得，又，
.故选A.
6.B 【考点】双曲线的定义､离心率
【解析】设，则，由双曲线的定义得，故；由，故，在Rt中，，即①，在Rt中，，即，②，由②得，代入①得，故.故选B.
7.A 【考点】构造函数，利用函数的单调性比较大小（较难题）
【解析】设，
当单调递增；当单调递减，，即，又，令，当单调递减；故，即，故，故.故选A.
8.C 【考点】空间几何体的基本计算公式，导数法求函数的最值（较难题）
【解析】球的表面积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，则，，所以正四棱锥的体积，当时，，当时，当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为.故选C.
二､多选题
9.BC 【考点】几何法､向量法与坐标法在解决立体几何的位置关系､求距离中的应用（课本P48习题改编，中档题）
【解析】，而与显然不垂直，与不垂直，错；取中点，连接，由分别是中点，得，又是平行四边形，，
平面平面，
而平面平面，又平面平面.B正确；由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形，，等腰梯形的高为，截面面积为，C正确；设，易知是的中点，两点到平面的距离相等.不正确.故选.
10.BCD 【考点】导数法在研究函数中的应用（最值､极点､函数的零点､恒成立等问题）（中档偏难题）
【解析】对于：令，则，当单调递增；当单调递减.的值域不为，故A不正确；对于：由选项可知，当时，是的极值点，故B正确；对于C：0）有零点，即有根，当时，-1与函数图象恒有交点，当时，由选项A知；且在上单增，在上单减，当时，函数图象在第四象限与有交点，当时，函数图象在第三象限与有交点，与函数图象恒有交点，故C正确；对于D：若
，则，（
当时，等号成立），当，则，
故D正确.故选BCD.
11.ACD 【考点】直线与抛物线的位置关系综合，直线过定点，动点的轨迹，最值问题（课本P146习题改编，中档偏难题）
【解析】对于，由，
，联立，消去，
有，记，则，由，得，，故A正确；对于：可设，联立，消去，有，则，由-1得，过定点，故B不正确；由在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；此时：，过定点，故D正确.故选ACD.
三､填空题
或 【考点】导数法研究函数的单调性､极值､方程的根的个数（P104习题改编，中档题）
【解析】由题意在上单调递增，在上单调
递减，在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，；当从1的左侧无限趋近于1时，；当从1的右侧无限趋近于1时，；当时，，函数的大致图象如图所示，
满足题意的的取值范围是或.故答案为或.
13.； 【考点】等比数列的应用，递推公式（P55习题改编，中档题）
【解析】记第个图形为，三角形的边长为，边数为，周长为，面积为有条边，边长为有条边，边长为有条边，边长为，即，即.当第1个图中的三角形的周长为1时，即，由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，即，，利用累加法可得，数列是以为公比的等比数列，数列是以4为公比的等比数列，故数列是以为公比的等比数列，当第1个图中的三角形面积为1时，，即，此时有条边，则
.故答案为.
14. 【考点】动点的轨迹､活用点到直线距离公式､圆上的点到直线距离的最值问题（较难题）
【解析】弦的中点的轨迹为以为圆心，半径的圆，表示到直线的距离之和，即：等于的中点到直线的距离的2倍，，即..故答案为.
三､解答题
15.【考点】由频率分布直方图估计数据的数字特征､
古典概型､从分层随机抽样的平均数与方差估计总
体平均数与方差（容易题）
解：（1）由题意，，所以.
设第80百分位数为，
因为
，
故第80百分位数位于第四组：内，
由，解得：
，
所以第80百分位数为37.5.
（2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为，
甲，第五组抽取2人，记为，乙，
样本空间为：{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点.）
设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，
则{（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），
（C，乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共有9个样本点.
所以.
②设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分
别为，方差分别为，
则，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.
16.【考点】等差､等比数列的基本概念；累加法､法求数列的通项公式；错位相减法求和､数列的单调性（中档题）
解：（1），
.
（2）证明：由，得，
数列是以首项为1，公差为的等差数列，
则，即.
当时，，
也符合该式，.
则，记，
由，
作差得
，则.
，
数列在上单调递增，，
.
即.
17.【考点】向量法求线面角､二面角､点面距､探究性
问题（中档题）
解：（1）在中，为的中点，
.
又侧面底面，平面平面
平面，
平面.
在中，.
在直角梯形中，为的中点，.
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
.
平面.
为平面的法向量，设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的余弦值为.
（2），
设平面的法向量为
，则，取.
则点到平面的距离.
（3）假设存在，且设.
，
.
设平面的法向量为，
则，
取，得，
而平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为，
.
整理化简，得.解得或（舍去），
线段上存在满足题意的点，且.
18.【考点】椭圆的基本概念与性质，直线与椭圆的位置关系综合问题，基本不等式求最值（中档偏难题）
解：（1）椭圆的离心率为，即.
椭圆上动点与点的最大距离为3.
，
椭圆的标准方程为：.
（2）设，由（1）知，，
.
，整理得.
设直线的方程为，
联立，得，
，
，
，
，
，
.
直线的方程为.
点到直线的距离.
.
.
，
令，则，
，
当且仅当时，等号成立，此时，直线存在.
综上，面积的最大值为.
19.【考点】导数法讨论函数的单调性､函数的极点､函数的最值､恒成立､双变量问题的处理等综合问题（中档偏难题）
解：（1）函数定义域为，
二次函数的判别式.
①若时，即当时，对任意的
，
此时，在上单调递增；
②若时，即当时，
由，得
或.
当，或时，
，
当时，，
此时，函数在上单调递增，
在上单调递减.
综上：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，单调递增区间为，
，
单调递减区间为.
（2）若有两个极值点，由（1）
知，，且，
不等式恒成立等价于
恒成立，
又
.
，
令，则，
在上单调递减，
，
.
因此，实数的取值范围是.