2024年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

这是一份2024年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（4月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2的相反数是( )
A. ±2B. −2C. 0D. 2
2.在下列现象中，属于平移的是( )
A. 小亮荡秋千运动B. 升降电梯由一楼升到八楼
C. 时针的运行过程D. 卫星绕地球运动
3.下列说法不正确的是( )
A. 为了审核书稿中的错别字，选择普查
B. 为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查
C. 为了清楚地反映事物的变化情况，可选用扇形统计图
D. 频数与总次数的比值是频率
4.下列命题是真命题的有个．( )
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有理数与数轴上的点一一对应；
⑤圆周率是一个无理数．
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集( )
A. 12−6x0D. 12−6x≥0
6.如图，CA⊥BE于A，AD//BC，若∠1=54°，则∠C等于( )
A. 30°
B. 36°
C. 45°
D. 54°
7.下列说法中，正确的是( )
A. 一组数据−2，−1，0，1，1，2的中位数是0
B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式
C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件
D. 分别写有三个数字−1，−2，4的三张卡片(卡片的大小形状都相同)，从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为13
8.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为45，则坡面AC的长度为( )
A. 152mB. 10mC. 10mD. 302m
9.下列计算正确的是( )
A. 3a3⋅2a3=6a3B. (−4a3b)2=8a6b2
C. (a+b)2=a2+b2D. −2a2+3a2=a2
10.甲、乙两人加工某种机械零件，已知甲每小时比乙多加工4个，甲加工50个所用的时间与乙加工40个所用的时间相等.设甲每小时加工x个零件，则可列方程为( )
A. 50x−4=40xB. 50x+4=40xC. 50x=40x+4D. 50x=40x−4
11.如图，点A在反比例函数y=ax第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA=AB，△AOB的面积为2，则a的值为( )
A. −12
B. 12
C. 2
D. 1
12.在平面直角坐标系中，函数y=−x+1与y=−32(x−1)2的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13. 3× 15=______．
14.若分式|x|−33−x的值为0，则x= ______．
15.掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数为奇数的概率为______．
16.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的高度是______cm．
17.已知a、b、c都是实数，若 a−2+|2b+12|+(c+2a)2=0，则a−c4a+8b=______．
18.直线y=−x+2a(常数a>0)和双曲线y=kx(k>0,x>0)的图象有且只有一个交点B，一次函数y=−x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO=∠QPA.设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算：−24×(12−14−38)
20.计算：
(1)x(1−x)；
(2)(a−1)(2a+3)−2a(a−4)；
(3)x2x−1−x−1．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
有一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC.求证：AC平分∠BAD．
22.(本小题8分)
为了了解秦兵马俑的身高状况，某考古队随机调查了36尊秦兵马俑，它们的高度(单位：cm)如下：
172，178，181，184，184，187，187，190，190，175，181，181，184，184，187，187，190，193，178，181，181，184，187，187，187，190，193，178，181，184，184，187，187，190，190，196．
(1)这36尊秦兵马俑高度的平均数、中位数和众数分别是多少？
(2)你能据此估计出秦兵马俑的平均高度吗？
23.(本小题8分)
有这样一个问题：探究函数y=|x−2|2的图象与性质.一位同学根据学习函数的经验，对函数y=|x−2|2的图象与性质进行了探究．
(1)下面是这位同学的探究过程，请补充完整：
①函数y=|x−2|2的自变量x的取值范围是______；
②如表是y与x的几组对应值，则m的值是______；
③如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象：

④观察此函数图象，写出一个正确的函数性质或者函数图象性质：______．
(2)直接写出：当x ______时，y≥2.5．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的半圆O交AC于点D，过点D作DE/​/AB交BC于点E，连结OD，OE．
(1)求证：OE=12AC；
(2)填空：
①当∠A= ______°时，四边形AOED是菱形；
②当∠A= ______°时，四边形OBED的面积最大．
25.(本小题8分)
综合与探究
如图，已知抛物线y=12mx2−mx−4m(m>0)与x轴交于A，B两点(点B位于点A的右边)，与y轴交于点C，连接BC，P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)若m=1，点P位于第四象限，过点P作x轴的平行线交BC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标．
(3)在(2)中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
26.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在BC上，且AB=AE，连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
(1)求证：DF=BE；
(2)若∠ACB=45°．
①求证：∠BAG=∠BGA；
②探索DF与CG的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2与−2是只有符号不同的两个数，
所以2的相反数是−2．
故选：B．
利用相反数的意义得结论．
本题考查了相反数的意义．a的相反数是−a，0的相反数是0．
2.【答案】B
【解析】解：A、小亮荡秋千运动不是平移，故此选项错误；
B、电梯由一楼升到八楼，是平移，故此选项正确；
C、导时针的运行过程属于旋转，不是平移，故此选项错误；
D、卫星绕地球运动属于旋转，不是平移，故此选项错误；
故选：B．
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移进行分析即可．
此题主要考查了生活中的平移现象，关键是掌握平移的概念．
3.【答案】C
【解析】解：A.为了审核书稿中的错别字，选择普查，正确，故本选项不符合题意；
B.为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，正确，故本选项不符合题意；
C.为了清楚地反映事物的变化情况，可选用折线统计图，故本选项错误，符合题意；
D.频数与总次数的比值是频率，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和事件发生的可能性大小判断相应事件的类型解答．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】A
【解析】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题为假命题；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；
③过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题为假命题；
④实数与数轴上的点一一对应，故原命题为假命题；
⑤圆周率是一个无理数，为真命题；
故真命题的个数为1个，
故选：A．
根据平行公理、点到直线的距离、无理数、实数与数轴的关系等知识逐项判断即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理、点到直线的距离、无理数的定义、实数与数轴的关系等知识是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A.12−6x2，不符合题意；
B.12−6x≤0的解集为x≥2，不符合题意；
C.12−6x>0的解集为x0)和双曲线y=kx(k>0,x>0)的图象有且只有一个交点，
∴Δ=0，即4a2−4k=0，
∴k=a2，
解方程组得到，x=ay=a，
∴B(a,a)，
令y=0，得y=−x+2a=0．
解得x=2a，
∴A(2a,0)，
过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．
由题意，B(a,a)，A(2a,0)，
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BKJ=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
在△OHJ和△BHP中，
∠HOJ=∠HBPOH=BH∠OHJ=∠BHP=90°,
∴△OHJ≌△BHP(ASA)，
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，
AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM，
在△BJM和△APM中，
∠BJM=∠APMBJ=AP∠JBM=∠PAM,
∴△BJM≌△APM(ASA)，
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴M(32a,12a)，
∴BM= (32a−a)2+(12a−a)2= 22a，
设直线OM的解析式为：y=kx，则12a=32ak，
∴k=13，
∴直线OM的解析式为：y=13x，
∴J(a,13a)，
∴JH=PH=13a，
∴BP=OJ= OH2+JH2= 103a，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠KOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴HJKP=OJOP，即13aKP= 103aa+13a，
∴KP=2 1015a，
∴BK=BP−KP= 103a−2 1015a= 105a，
∴sin∠AMP=sin∠BMK=BKBM=2 55．
故答案为：2 55．
先求出A、B点坐标，过点B作BH⊥OA于H交OM于J，利用全等三角形的性质证明OJ=PB，JH=PH即可得∠AMP=∠BMK，再证明△OHJ∽△OKP，求得PK，解Rt△BMK便可得出结果．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
19.【答案】解：−24×(12−14−38)
=−16×(12−14−38)
=−8+4+6
=2．
【解析】根据乘方和乘法分配律可以解答本题．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
20.【答案】解：(1)x(1−x)=x−x2；
(2)(a−1)(2a+3)−2a(a−4)
=2a2+3a−2a−3−2a2+8a
=9a−3；
(3)x2x−1−x−1
=x2x−1−(x+1)
=x2−(x+1)(x−1)x−1
=x2−x2+1x−1
=1x−1．
【解析】本题考查了整式的混合运算和分式的加减，掌握相关运算法则是解题的关键．
(1)根据单项式乘多项式法则进行计算即可；
(2)先根据整式的乘法法则进行计算，再合并同类项即可；
(3)根据分式的减法法则进行计算即可．
21.【答案】证明：在△BAC和△DAC中，AB=AD BC=DC AC=AC ，
∴△BAC≌△DAC(SAS)，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC是∠BAD的平分线．
【解析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△BAC≌△DAC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC即可．
本题考查了角平分线定义和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BAC≌△DAC，全等三角形的判定方法有SAS、ASA、AAS．
22.【答案】解：(1)将这36个数据重新排列为：
172，175，178，178，178，181，181，181，181，
181，181，184，184，184，184，184，184，184，
187，187，187，187，187，187，187，187，187，
190，190，190，190，190，190，193，193，196，
这组数据的平均数为136×(172+175+178×3+181×6+184×7+187×9+190×6+193×2+196)=185，
中位数为184+1872=185.5，
众数为187；
(2)根据样本数据可估计秦兵马俑的平均高度为185cm．
【解析】(1)根据平均数和中位数、众数的概念求解即可；
(2)根据样本数据即可估计总体的平均高度．
本题主要考查众数，中位数和平均数，解题的关键是掌握平均数和中位数、众数的定义及样本估计总体的应用．
23.【答案】全体实数 1 当x≥2时，y随x的增大而增大 x≥7或x≤−3
【解析】解：(1)①函数y=|x−2|2的自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数；
②当x=4时，y=|4−2|2=22=1，
∴m=1，
故答案为：1；
③在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象，如图，
④观察此函数图象，可得函数性质：当x≥2时，y随x的增大而增大，
故答案为：当x≥2时，y随x的增大而增大；
(2)观察此函数图象，当y≥2.5时，对应的函数图象由两部分，分别为：x≥7或x≤−3，
∴当x≥7或x≤−3时，y≥2.5．
故答案为：x≥7或x≤−3．
(1)①利用整式的性质解答即可；
②利用解析式计算即可；
③描点，并画出函数的图象；
④利用函数的图象中变化趋势写出一条性质即可；
(4)观察图象，利用数形结合法解答即可．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，描点法画出函数的图象，数形结合法，本题是阅读型题目，充分理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
24.【答案】60 45
【解析】(1)证明：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵DE//AB，
∴CECB=CDCA=12．
∴BE=CE．
∵OA=OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE=12AC．
(2)解：①由(1)可知，OE/​/AC，DE/​/AB，
∴四边形AOED是平行四边形，
若四边形AOED是菱形，则OA=AD，
∴OA=OD=AD，即△OAD是等边三角形，
∴∠A=60°；
故答案为：60；
②由(1)知DE//OB且DE=OB，
∴四边形OBED是平行四边形，
∴平行四边形ODEB的面积为：12⋅OB⋅ODsin∠DOB，
当sin∠DOB=1，即∠DOB=90°时，四边形ODEB的面积最大
∴∠A=12∠DOB=45°．
故答案为：45．
(1)连接BD.由等腰三角形三线合一的性质可得，CECB=CDCA=12，即BE=CE.可得OE为△ABC的中位线，进而可得结论；
(2)①根据菱形的性质可得△OAD为等边三角形，进而可得结论；
②由题意可证明四边形OBED是平行四边形，再根据四边形的面积公式可得结论．
此题考查了圆的综合知识，主要考查圆周角定理，切线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定是解题关键．
25.【答案】解：(1)由题意可知，12mx2−mx−4m=m2(x2−2x−8)=0，
解得x1=4，x2=−2，
∴点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(4,0)．
(2)如图，设PE交BC于点H．
∵m=1，
∴抛物线的函数表达式为y=12x2−x−4，
∴C(0,−4)，
∵B(4,0)，
∴OB=OC=4，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∵PD/​/OB，PE/​/OC，
∴∠BDP=∠OBC=45°，∠PHD=∠BHE=∠OCB=45°．
∴PD=PH．
设直线BC的表达式为y=kx+b，把B，C两点的坐标代入，
则b=−4，
∴直线BC的表达式为y=x−4．
∵点P的横坐标为t，
则P(t,12t2−t−4)，H(t,t−4)，E(t,0)，
∴PD+PE=PH+PE=254．
∴当t=32时，PD+PE取得最大值，最大值为254，
此时点P的坐标为(32,−358)．
(3)由题意得平移后的抛物线表达式为y=12(x+5)2−(x+5)−4=12x2+4x+72，
∴F(−72,−358)，G(0,72)，
∵抛物线y=12x2+4x+72的对称轴为直线x=−4，
∴设M(−4,m)，N(n,12n2+4n+72)，
分情况讨论：
①当FG为对角线时，
则−4+n=−72，
解得n=12，
此时12n2+4n+72=458，
∴N1(12,458)
②当FM为对角线时，
则−72−4=n，
解得n=−152，
此时12n2+4n+72=138，
∴N2(−152,138)；
③当GM为对角线时，
则−72+n=−4，
解得n=−12
此时12n2+4n+72=138，
∴N3(−12,138)，
综上所述，点N的坐标为(12,458)或(−152,138)或(−12,138).
【解析】(1)已知抛物线y=12mx2−mx−4m(m>0)与x轴交于A，B两点(点B位于点A的右边)，把y=0代入即可求得A、B的坐标；
(2)设PE交BC于点H.先求得抛物线的函数表达式为y=12x2−x−4，再求得PD=PH.设直线BC的表达式为y=kx+b，把B，C两点的坐标代入，则b=−4，所以直线BC的表达式为y=x−4.因为点P的横坐标为t，所以PD+PE=PH+PE=254.当t=32时，PD+PE取得最大值，最大值为254，此时求得点P的坐标；
(3)由题意得平移后的抛物线表达式为y=12(x+5)2−(x+5)−4=12x2+4x+72，因为抛物线y=12x2+4x+72的对称轴为直线x=−4，所以设M(−4,m)，N(n,12n2+4n+72)，分情况讨论：①当FG为对角线时；②当FM为对角线时，③当GM为对角线时，分别求得点N的坐标即可解答．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△OAF≌△OCE(ASA)
∴AF=CE，
∵AD=BC，
∴DF=BE；
(2)①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，
则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=∠NGC=45°，
∵AB=AE，
∴BM=EM=12BE，∠BAM=∠EAM，
∵AE⊥BG，
∴∠AHK=90°=∠BMK，又∠AKH=∠BKM，
∴∠MAE=∠NBG，
设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α，则∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α，
∴∠BAG=∠BGA；
②DF= 2CG，
理由如下：∵∠BAG=∠BGA，
∴AB=BG，
∴AE=BG，
在△AME和△BNG中，
∠AME=∠BNG∠MAE=∠NBGAE=BG，
∴△AME≌△BNG(AAS)，
∴ME=NG，
在等腰Rt△CNG中，NG=NC，
∴GC= 2NG= 2ME= 22BE，
∴BE= 2GC，
∵DF=BE，
∴DF= 2CG．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到∠OAF=∠OCE，证明△OAF≌△OCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
(2)①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，根据三角形的外角性质得到∠BAG=∠BGA；
②证明△AME≌△BNG，根据全等三角形的性质得到ME=NG，根据等腰直角三角形的性质得到BE= 2GC，根据(1)中结论证明即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y
…
2
1.5
1
0.5
0
0.5
m
1.5
2
2.5
3
…