2024年黑龙江省绥化市肇东市五校联考中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省绥化市肇东市五校联考中考数学模拟试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2020的相反数是（ ）
A．2020B．﹣C．D．﹣2020
2．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+5a＝7a2B．（﹣2a）3＝8a3
C．﹣8a2÷2a＝﹣4aD．3a2•a3＝3a6
4．（3分）用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≥且x≠0
C．x＞D．x≥
6．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．有理数和数轴上的点是一一对应的
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）关于方程x2﹣3x+2＝0的根的说法中，正确的是（ ）
A．没有实数根
B．两实数根的和为﹣2
C．有两个不相等的实数根
D．两实数根的积为3
9．（3分）某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是88B．众数是85
C．中位数是90D．方差是6
10．（3分）为应对市场对新冠疫苗越来越大需求，白云大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意列方程（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（ ）m．
A．+1.6B．﹣1.6C．+0.9D．﹣0.9
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③2a+c＜0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝，x2＝﹣1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+1）（x﹣3）+2＝0的两个根，则m＜﹣1且n＞3．其中正确的结论有（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国已经能大面积生产14纳米的芯片，14纳米即为0.000000014米，将其用科学记数法表示为 米．
14．（3分）计算：＝ ．
15．（3分）如图4×4正方形网格，随机在图形中撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是 ．
16．（3分）如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是 ．
17．（3分）如图，现有一个圆心角为120°，半径为10cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm．
18．（3分）反比例函数y＝与一次函数y＝2x+1的图象有一个交点B（﹣2，m），则k的值为 ．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，且S△PBC＝，则PD的长为 ．
20．（3分）学校计划用200元钱购买A，B两种奖品，A奖品每个15元，B奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有 种．
21．（3分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第n个图形需要 根火柴棍．
22．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）如图，AD∥BE，AC平分∠BAD，且交BE于点C．
（1）作∠ABE的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．
24．（7分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．
25．（10分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为10，csA＝，求BH的长．
26．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 千米/时，t的值是 ，轿车的速度是 千米/时；
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；
（3）求货车出发多长时间两车相距120千米．
27．（10分）设一个钝角三角形的两个锐角为α与β，如果满足条件2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”．（1）若△ABC是“倍余子母形”，∠C＞90°．按所给条件填写角的度数．
①当∠A＝50°时，∠B＝ ；
②当∠A＝20°时，∠B＝ ；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，则易证△ABD是“倍余子母形”，试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“倍余子母形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD＝6，过点D作DE⊥CD交AB边于点E，AE＝5，∠AED＝2∠BCE，连接AC．当△ACE是“倍余子母形”时，求DE的长．
28．（10分）综合与实践
如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A和B，点B的坐标是（4.0），与y轴交于点C（0．﹣3）．点D在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2．当点D在第四象限的抛物线上运动时，连接BD，CD，BC，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标及△BCD的最大面积；
（3）当点E在x轴上运动时，借助图1探究以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E的坐标．
2024年黑龙江省绥化市肇东市五校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2020的相反数是（ ）
A．2020B．﹣C．D．﹣2020
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣2020的相反数是2020，
故选：A．
2．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+5a＝7a2B．（﹣2a）3＝8a3
C．﹣8a2÷2a＝﹣4aD．3a2•a3＝3a6
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式除单项式、单项式乘单项式法则逐项判断即可．
【解答】解：2a+5a＝7a，故A不正确，不符合题意；
（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不正确，不符合题意；
﹣8a2÷2a＝﹣4a，故C正确，符合题意；
3a2•a3＝3a5，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一行三个圆．
故选：B．
5．（3分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≥且x≠0
C．x＞D．x≥
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣且x≠0，
故选：B．
6．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．有理数和数轴上的点是一一对应的
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据平行公理，平行线的判定及性质，垂线的性质，实数与数轴上的点关系等知识逐项判断即可．
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题为假命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题为假命题；
C、实数和数轴上的点一一对应，故原命题为假命题；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，为真命题；
故选：D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，继而可得答案．
【解答】解：解不等式2﹣x≤1，得x≥1，
解不等式，得x＜3，
不等式组的解集为1≤x＜3，
故选：D．
8．（3分）关于方程x2﹣3x+2＝0的根的说法中，正确的是（ ）
A．没有实数根
B．两实数根的和为﹣2
C．有两个不相等的实数根
D．两实数根的积为3
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据判别式的意义和根与系数的关系判断根的情况；
【解答】解：由Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0可以判定该方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意，选项C符合题意；
根据根与系数的关系知，两实数根的和为3，两实数根的积为2，故选项B、D不符合题意．
故选：C．
9．（3分）某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是88B．众数是85
C．中位数是90D．方差是6
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10＝89；
故A错误；
∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；
故B正确；
共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（90+90）÷2＝90；
故C正确；
方差为 ×[（89﹣80）2+2×（89﹣85）2+2×（89﹣95）2+（89﹣90）2×5]＝19，
故D错误．
故选：C．
10．（3分）为应对市场对新冠疫苗越来越大需求，白云大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意列方程（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗及现在每天生产x万份疫苗，可得出更新技术前每天生产（x﹣10）万份疫苗，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，且现在每天生产x万份疫苗，
∴更新技术前每天生产（x﹣10）万份疫苗．
依题意得：＝+5．
故选：B．
11．（3分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（ ）m．
A．+1.6B．﹣1.6C．+0.9D．﹣0.9
【分析】延长BA交CM于点M，先在Rt△DCM、Rt△CEB、Rt△AEM中分别求出CM、EB、EA，再利用线段的和差关系求出AB．
【解答】解：延长BA交CM于点M，则四边形CEBF是矩形．
∵四边形CEBF是矩形，
∴CE＝FB＝5m．
∵DN∥CE，
∴∠NDM＝∠DMC＝45°．
在Rt△DCM中，
∵∠DMC＝45°，
∴DC＝CM＝3.4m．
∴ME＝CE﹣CM＝5﹣3.4＝1.6（m）．
在Rt△AEM中，
∵∠DMC＝∠EMA＝45°，
∴AE＝ME＝1.6m．
在Rt△CEB中，
∵∠ECB＝30°，tan∠ECB＝，
∴EB＝tan30°•EC
＝×5
＝．
∴AB＝EB﹣EA
＝﹣1.6（m）．
故选：B．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③2a+c＜0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝，x2＝﹣1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+1）（x﹣3）+2＝0的两个根，则m＜﹣1且n＞3．其中正确的结论有（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，
因此a、b异号，所以b＞0，
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，c＞0，因此2a+c＞0，故③不正确；
由cx2+bx+a＝0可得方程的解为和，
∵抛物线与x轴交点（3，0），（﹣1，0），
即方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1；
∴，
∵，
∴﹣b＝2a，
∵当x＝1时，a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴，
∴cx2+bx+a＝0的两根，x2＝﹣1，故④正确；
抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点（3，0），（﹣1，0），且a＜0，
因此当y＝﹣2时，相应的x的值大于3，或者小于﹣1，
即m＜﹣1，n＞3，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：A．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国已经能大面积生产14纳米的芯片，14纳米即为0.000000014米，将其用科学记数法表示为 1.4×10﹣8 米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故答案为：1.4×10﹣8．
14．（3分）计算：＝ ．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣5×
＝2﹣
＝．
故答案为：．
15．（3分）如图4×4正方形网格，随机在图形中撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据黄豆落在图中阴影部分的概率为阴影部分与大正方形面积比即可得到答案．
【解答】解：由图可知大正方形面积为16，阴影部分的面积为5，
则黄豆落在图中阴影部分的概率为．
故答案为：．
16．（3分）如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是 3+ ．
【分析】先根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
当a＝﹣时，原式＝（﹣）2﹣（﹣）＝3+，
故答案为：3+．
17．（3分）如图，现有一个圆心角为120°，半径为10cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r cm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程求出r即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝，
即该圆锥底面圆的半径为cm．
故答案为：．
18．（3分）反比例函数y＝与一次函数y＝2x+1的图象有一个交点B（﹣2，m），则k的值为 6 ．
【分析】先将B点坐标代入一次函数解析式，求出m的值，再将点B坐标代入反比例函数解析式求出k的值．
【解答】解：将点B（﹣2，m）代入一次函数y＝2x+1，
得m＝﹣4+1，
解得m＝﹣3，
∴B（﹣2，﹣3），
将B点坐标代入反比例函数解析式，
得k＝﹣2×（﹣3）＝6，
故答案为：6．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，且S△PBC＝，则PD的长为 1或 ．
【分析】根据S△PBC＝，可知CD＝3，利用△ADE∽△ACB，得DE＝，过点P作PF⊥BC于点F，分BP＝BC，PC＝PB，CP＝CB三种情形，分别画出图形进行计算即可．
【解答】解：∵S，
∴CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝6，
∵∠ACB＝90°，PD⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴DE＝，
过点P作PF⊥BC于点F，
①当PB＝BC时，如图，
∴PF＝CD＝3，PB＝BC＝5，
在Rt△PBF中，BF＝＝4，
∴DP＝CF＝BC﹣BF＝1，
∵DP＜DE，
∴点P在线段DE上，符合题意；
②当PC＝PB时，如图，
∴DP＝CF＝，
∵DP＜DE，
∴点P在线段DE上，符合题意；
③当PC＝BC时，如图，
∴PF＝CD＝3，PC＝BC＝5，
在Rt△CDP中，DP＝＝4，
∵DP＞DE，
∴点P不在线段DE上，舍去，
综上，PD的长为1或，
故答案为：1或．
20．（3分）学校计划用200元钱购买A，B两种奖品，A奖品每个15元，B奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有 2 种．
【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，两种都要买且钱全部用完，列出二元一次方程，再根据x，y为正整数可求出解．
【解答】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，
根据题意得：15x+25y＝200，
整理得：3x+5y＝40，
∵x，y为正整数，
∴或，
∴购买方案有2种，
故答案为：2．
21．（3分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第n个图形需要 （2n+1） 根火柴棍．
【分析】根据数值的变化找出变化规律，即可得出结论．
【解答】解：观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：3＝1×2+1，
第二个图形需要火柴棍：5＝2×2+1；
第三个图形需要火柴棍：7＝3×2+1，…，
∴第n个图形需要火柴棍：2n+1．
故答案为：（2n+1）．
22．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．
【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴＝，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴＝，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ＝AP，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，
在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，
∴QB＝，
∴PA+PB的最小值，
故答案为：．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）如图，AD∥BE，AC平分∠BAD，且交BE于点C．
（1）作∠ABE的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．
【分析】（1）利用基本作图作∠ABE的平分线即可；
（2）先证明∠BAC＝∠BC得到BA＝BC，再证明AB＝AF，则AF＝BC，于是可判断四边形ABCF为平行四边形，然后利用BA＝BC可判断四边形ABCF是菱形．
【解答】（1）解：如图，BF为所作；
（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠FAC＝∠BCA，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BA＝BC，
同理可得AB＝AF，
∴AF＝BC，
而AF∥BC，
∴四边形ABCF为平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCF是菱形．
24．（7分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．
【分析】（1）延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；
（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据弧长公式计算点B所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；
（3）CB＝＝，
所以点B所经过的路径长＝＝π．
25．（10分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为10，csA＝，求BH的长．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB＝∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出＝，得出∠CAE＝∠ECB，再由公共角∠CEA＝∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例＝，即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB＝90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE＝CE＝12，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图所示，
∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，
∴CE2＝EH•EA；
（3）解：连接BE，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为10，csA＝，
∴AB＝20，EA＝AB•csA＝20×＝16，
∴BE＝＝＝12，
∵＝，
∴BE＝CE＝12，
∵CE2＝EH•EA，
∴EH＝＝9，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝15．
26．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 60 千米/时，t的值是 4 ，轿车的速度是 90 千米/时；
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；
（3）求货车出发多长时间两车相距120千米．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出货车的速度、t的值以及轿车的速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；
（3）根据（1）中的结果和图象，利用分类讨论的方法，可以得到货车出发多长时间两车相距120千米．
【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为：60÷1＝60（千米/时），
t＝（600÷60﹣1﹣1）÷2＝4，
轿车的速度为：360÷4＝90（千米/时），
故答案为：60，4，90；
（2）当0≤x≤4时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝kx，
∵点（4，360）在该函数图象上，
∴4k＝360，
解得k＝90，
即当0≤x≤4时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝90x；
当4＜x≤5时，y＝360；
当5＜x≤9时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝mx+n，
∵点（5，360），（9，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当5＜x≤9时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝﹣90x+810，
由上可得，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝；
（3）设货车出发a小时时两车相距120千米，
两车相遇之前：60a+90（a﹣1）＝600﹣120，
解得a＝3.8，
∵3.8﹣1＝2.8＜4，
∴a＝3.8时符合题意；
两车相遇之后且轿车维修好之前：60a+90（a﹣1）＝600+120，
解得a＝5.4，
∵5.4﹣1＝4.4＞4，
∴a＝5.4不符合题意，
∴60a+90×4＝600+120，
解得a＝6，
当a＝6时，6﹣1＝5，此时轿车刚刚维修好，符合题意；
轿车维修好之后：由上可知，当货车行驶6小时时，两车相距120千米，又因为轿车速度大于货车速度，故两车越来越近，距离不可能是120千米；
由上可得，货车出发3.8小时或6小时时两车相距120千米．
27．（10分）设一个钝角三角形的两个锐角为α与β，如果满足条件2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”．（1）若△ABC是“倍余子母形”，∠C＞90°．按所给条件填写角的度数．
①当∠A＝50°时，∠B＝ 20° ；
②当∠A＝20°时，∠B＝ 50°或35° ；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，则易证△ABD是“倍余子母形”，试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“倍余子母形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD＝6，过点D作DE⊥CD交AB边于点E，AE＝5，∠AED＝2∠BCE，连接AC．当△ACE是“倍余子母形”时，求DE的长．
【分析】（1）根据2α+β＝90°结合角A的度数分别求解①②即可；
（2）证明△CAE∽△CBA，得出CA2＝CE•CB即可推出结果；
（3）证明△BCE≌△DCE（AAS），得出BC＝CD＝6，BE＝DE，证明△BCE∽△BAC，得出BC2＝BE•AB，设BE＝x，代入求解x的值即可得出结果．
【解答】解：（1）∵△ABC是“倍余子母形”，∠C＞90°．
∴①当∠A＝50°时，2∠B+50°＝90°，
∴∠B＝20°；
②当∠A＝20°时，2∠A+∠B＝90°或2∠B+∠A＝90°，
∴40°+∠B＝90°或2∠B+20°＝90°，
∴∠B＝50°或35°，
故答案为：①20°；②50°或35°；
（2）存在．
∵△ABE也是“倍余子母形”，
∴只有2∠B+∠BAE＝90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠CAE＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴CA2＝CE•CB，
∵AC＝4，BC＝5，
∴CE＝，
∴BE＝5﹣＝；
（3）解：在四边形BCDE中，
∵∠B＝90°，DE⊥CD，
∴∠BCD+∠BED＝180°，∠B＝∠CDE；
∵∠BED+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠BCD，
∵∠AED＝2∠BCE，
∴∠BCD＝2∠BCE
∴∠BCE＝∠DCE；
∴∠BCE＞∠ACE，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（AAS），
∴BC＝CD＝6，BE＝DE；
当△ACE是“倍余子母形”时，
∵∠BAC+∠ACE+∠BCE＝90°，但∠BCE＞∠ACE
∴只有2∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠B＝∠B，
∴△BCE∽△BAC，
∴BC2＝BE•AB，
设BE＝x，
∴x（x+5）＝62，
∴x＝4或﹣9（舍弃），
∴DE＝BE＝4．
28．（10分）综合与实践
如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A和B，点B的坐标是（4.0），与y轴交于点C（0．﹣3）．点D在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2．当点D在第四象限的抛物线上运动时，连接BD，CD，BC，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标及△BCD的最大面积；
（3）当点E在x轴上运动时，借助图1探究以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）连接OD，过点D作DE⊥AB于点E，设点D的坐标为（m，m﹣3），利用S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△ABC，求得△BCD的面积关于m的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：当BE∥CD时，四边形CDBE为平行四边形，利用平行四边形的性质求得线段OE即可；②当BC∥DE时，四边形CBDE为平行四边形时，利用平行四边形的性质求得线段OE即可求得结论．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝x﹣3；
（2）连接OD，过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵点B的坐标是（4.0），点C（0．﹣3），
∴OB＝4，OC＝3．
∵点D在第四象限的抛物线上，
∴设点D的坐标为（m，m﹣3），
则OE＝m，DE＝﹣（m﹣3）＝m+3．
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△ABC，
∴×OC•OE+×OB•DE﹣×OC•OB
＝×3m+×4×（m+3）﹣×3×4
＝﹣+6m
＝﹣+6，
∵＜0，
∴当m＝2时，△BCD的面积最大，最大值为6．
此时点D的坐标为（2，﹣）；
（3）点E的坐标为（1，0）或（7，0）或（﹣，0）或（，0）．理由：
①当BE∥CD时，四边形CDBE为平行四边形，如图，
∵CD∥x轴，
∴令y＝﹣3，则x﹣3＝﹣3，
解得：x＝0或3．
∴D（3，﹣3）．
∴CD＝3．
∵四边形CDBE为平行四边形，
∴BE＝CD＝3．
∴OE＝OB﹣BE＝1．
∴E（1，0）；
四边形CDBE为平行四边形，如图，
同理可得：OE＝OB+BE＝7，
∴E（7，0）；
②当BC∥DE时，四边形CBDE为平行四边形时，如图，
过点D作DF⊥x轴于点F，
∵四边形CBDE为平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC．
∴∠DEB＝∠CBO．
在△DEF和△CBO中，
，
∴△DEF≌△CBO（AAS）．
∴DF＝CO＝3，EF＝BC＝4．
令y＝3，则x﹣3＝3，
解得：x＝．
∵x＜0，
∴D（，3）．
∴OF＝．
∴OE＝OF+EF＝+4＝．
∴E（﹣，0）；
如图，
同理可得：△OAC≌△BFD，
∴DF＝OC＝3，OE＝BF．
令y＝3，则x﹣3＝3，
解得：x＝．
∵x＞0，
∴x＝．
∴D（，3）．
∴OF＝．
∴BF＝OF﹣OB＝﹣4＝．
∴OE＝BF＝．
∴E（，0）．
综上，点E的坐标为（1，0）或（7，0）或（﹣，0）或（，0）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/31 8:23:07；用户：15767978989；邮箱：15767978989；学号：21314316