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浙教版七年级下册3.4 乘法公式课时训练
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这是一份浙教版七年级下册3.4 乘法公式课时训练，共26页。试卷主要包含了 已知， 将952变形正确的是， 若， 2＝x2+6xy+25y2，计算 的结果是 ．等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（﹣x+2）（x+2）B．（﹣3﹣x）（x+3）
C．（2x﹣y）（2x+y）D．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y）
2. 下列多项式中，与﹣x+y相乘的结果为x2﹣y2的多项式是（ ）
A．x+yB．x﹣yC．﹣x+yD．﹣x﹣y
3. 已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
4. 将952变形正确的是（ ）
A．952＝902+52 B．952＝（100+5）（100﹣5）
C．952＝1002﹣2×100×5+52D．952＝902+90×5+52
5. 若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（ ）
A．9B．﹣9C．27D．﹣27
6. 计算20232﹣2024×2022的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
7. 已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．6B．±6C．12D．±12
8. 若（x﹣y）2＝（x+y）2+（ ），则括号内的整式是（ ）
A．2xyB．﹣2xyC．4xyD．﹣4xy
9. （1）（x+ ）2＝x2+6xy+25y2
（2）（ +b）2＝9a2+ + b2
（3）5022＝（ + ）2＝ ＝
（4）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，则k＝
（5）若a2+2a＝1，则（a+1）2＝ ．
10.计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）的结果是 ．
11.若（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2，则整式M为 ．
12.计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝ ．
13.利用乘法公式计算
（1）（﹣x2+2y2）2 （2） （3）（a+3b）（a﹣3b）
（4）（﹣4a﹣1）（4a﹣1） （5）9982 （6）62×58
14. 用简便方法计算：
（1）498×502； （2）999×1001． （3）0.982；
（4）1012； （5）9992．
能力提升
15. 计算（x+2﹣3y）（x+2+3y）的结果是（ ）
A．x2﹣9y2+4x+4B．x2﹣3y2+2x+4
C．x2﹣9y2+4D．x2﹣3y2+4x+4
16. 已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
17. 若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
18. 如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
19. 在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
20. 化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝ ．
21.计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ ．（结果中保留幂的形式）
22. 运用乘法公式计算：
（1）（x+y+z）2； （2）（x﹣y+2z）（﹣x+y﹣2z）；
（3）（3a+2b﹣c）（3a﹣2b﹣c）； （4）（a﹣2b+3c）（3c﹣a+2b）．
23.计算：
①（a+1）2﹣2（a﹣1）2 ②（3﹣x2）（﹣x2﹣3）．
③（x+1）2﹣5（x+1）（x﹣1）+3（x﹣1）2 ④（3）
⑤（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）
24. 已知a﹣b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a+b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
25. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
培优拔尖
26.已知（x﹣2022）2+（x﹣2026）2＝26，则（x﹣2024）2的值是（ ）
A．5B．9C．13D．17
27. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
28．（1）计算：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
（2）已知a﹣b＝10，b﹣c＝5，c﹣a＝15，利用上题结论求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
29.实践与探索
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
C．a2+ab＝a（a+b）；
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
①20232﹣2024×2022；
②计算：1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12；
③计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×⋯×（1﹣）×（1﹣）．
30.如图（1），边长为a的大正方形的一角有一个边长为b的小正方形．
（1）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开拼成图（2）的长方形，比较图（1）和图（2）中阴影部分的面积，你可以得出什么结论？
（2）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开，拼成图（3）的长方形，那么比较图（1）和图（3）中阴影部分的面积，是否也能得出与第（1）题同样的结论呢？
（3）为了得出与第（1）题同样的结论，你还有其他拼法吗？
参考答案
基础过关
1. 下列各式中能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（﹣x+2）（x+2）B．（﹣3﹣x）（x+3）
C．（2x﹣y）（2x+y）D．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y）
【思路点拨】根据平方差公式和完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：∵（﹣x+2）（x+2）＝﹣（x﹣2）（x+2）＝﹣（x2﹣22），
∴选项A不符合题意；
∵（﹣3﹣x）（x+3＝﹣（x+3）2，
∴选项B符合题意；
∵（2x﹣y）（2x+y）＝（2x）2﹣y2，
∴选项C不符合题意；
∵（﹣2x﹣y）（﹣2x+y）＝（﹣2x）2﹣y2，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解决问题的关键．
2. 下列多项式中，与﹣x+y相乘的结果为x2﹣y2的多项式是（ ）
A．x+yB．x﹣yC．﹣x+yD．﹣x﹣y
【思路点拨】利用平方差公式的特征判断即可得到结果．
【解析】解：（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3. 已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【思路点拨】根据平方差公式进行计算，从而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解析】解：∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3+（﹣2）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键．
4. 将952变形正确的是（ ）
A．952＝902+52 B．952＝（100+5）（100﹣5）
C．952＝1002﹣2×100×5+52D．952＝902+90×5+52
【思路点拨】根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2进行变形即可．
【解析】解：952＝（100﹣5）2＝1002﹣2×100×5+52．
故选：C．
【点评】本题考查了利用完全平方公式进行简便运算，掌握（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是解题的关键．
5. 若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（ ）
A．9B．﹣9C．27D．﹣27
【思路点拨】第二个等式左边利用平方差公式分解，将第一个等式代入计算即可求出a+b的值．
【解析】解：∵a﹣b＝8，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝72，
∴a+b＝9，
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6. 计算20232﹣2024×2022的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【思路点拨】把原式化为20232﹣（2023+1）（2023﹣1）再计算即可．
【解析】解：20232﹣2024×2022
＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）
＝20232﹣20232+1
＝1；
故选：A．
【点评】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式是关键．
7. 已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．6B．±6C．12D．±12
【思路点拨】根据完全平方公式展开，建立方程组求解即可．
【解析】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，
∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，方程组的解法，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
8. 若（x﹣y）2＝（x+y）2+（ ），则括号内的整式是（ ）
A．2xyB．﹣2xyC．4xyD．﹣4xy
【思路点拨】根据完全平方公式变形即可求解．
【解析】解：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝x2+y2+2xy﹣4xy＝（x+y）2﹣4xy，
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9. （1）（x+ 5y ）2＝x2+6xy+25y2
（2）（ 3a +b）2＝9a2+ 6ab + b2
（3）5022＝（ 500 + 2 ）2＝ 5002+2×500×2+22 ＝ 252004
（4）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，则k＝ ﹣6
（5）若a2+2a＝1，则（a+1）2＝ 2 ．
【思路点拨】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可解答．
【解析】解：（1）+6xy+25y2，故答案为：5y．
（2）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2．故答案为：3a，6ab，b2．
（3）5022＝（500+2）2＝5002+2×500×2+22＝252004．故答案为：500，2，5002+2×500×2+22，252004．
（4）∵（x﹣3）2＝x2+kx+9，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
（5）（a+1）2＝a2+2a+1＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
10.计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）的结果是 0 ．
【思路点拨】先根据平方差公式进行计算，再算加减即可．
【解析】解：（1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）
＝9x2﹣1+9（﹣x2）
＝9x2﹣1+1﹣9x2
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
11.若（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2，则整式M为 12xy ．
【思路点拨】已知（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2①，根据完全平方公式得（3x﹣2y）2＝9x2﹣12xy+4y2②，①﹣②即可得出答案．
【解析】解：∵（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2，（3x﹣2y）2＝9x2﹣12xy+4y2，
∴M＝12xy．
故答案为：12xy．
【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是掌握完全平方公式．
12.计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝ 1﹣16a4 ．
【思路点拨】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，据此计算即可．
【解析】解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）
＝（1﹣4a2）（1+4a2）
＝1﹣16a4．
故答案为：1﹣16a4．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
13.利用乘法公式计算
（1）（﹣x2+2y2）2
（2）
（3）（a+3b）（a﹣3b）
（4）（﹣4a﹣1）（4a﹣1）
（5）9982
（6）62×58
【思路点拨】（1）（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）（4）根据平方差公式进行计算即可；
（5）变形为：（1000﹣2）2，再根据完全平方公式进行计算即可；
（6）变形为：（60+2）（60﹣2），再根据平方差公式进行计算即可．
【解析】解：（1）（﹣x2+2y2）2＝x4﹣4x2y2+4y4；
（2））＝+﹣2xy+4y2＝x2+8y2；
（3）（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；
（4）（﹣4a﹣1）（4a﹣1）＝（﹣1）2﹣（4a）2＝1﹣16a2；
（5）9982＝（1000﹣2）2＝10002﹣2×2×1000+4＝996004；
（6）62×58＝（60+2）（60﹣2）＝602﹣22＝3600﹣4＝3596．
【点评】本题考查了两个公式：①完全平方公式；②平方差公式，熟记公式是解题的关键，利用公式计算可以使运算更加简便．
14. 用简便方法计算：
（1）498×502；
（2）999×1001．
（3）0.982；
（4）1012；
（5）9992．
【思路点拨】（1）将原式化为（500﹣2）（500+2），再根据平方差公式进行计算即可；
（2）据999x1001＝（1000﹣1）（1000+1）＝10002﹣12计算求解即可．
3）将0.982转化为（1﹣0.02）2，然后利用完全平方差公式进行计算；
（4）将101转化为（100+1）的形式，然后利用完全平方和公式进行计算；
（5）将999转化为（10000﹣1）的形式，然后利用完全平方差公式进行计算．
【解析】解：（1）原式＝（500﹣2）（500+2）
＝5002﹣22
＝250000﹣4
＝249996；
（2）999x1001
＝（1000﹣1）（1000+1）
＝10002﹣12
＝1000000﹣1
＝999999．
（3）0.982＝（1﹣0.02）2＝1﹣0.04+0.0004＝0.9604．
（4）1012＝（100+1）2＝10000+200+1＝10201；
（5）9992＝（10000﹣1）2＝100000000﹣20000+1＝980001．
【点评】本题考查平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
能力提升
15. 计算（x+2﹣3y）（x+2+3y）的结果是（ ）
A．x2﹣9y2+4x+4B．x2﹣3y2+2x+4
C．x2﹣9y2+4D．x2﹣3y2+4x+4
【思路点拨】把x+2看成一个整体，先运用平方差公式，再用完全平方公式进行计算即可．
【解析】解：（x+2﹣3y）（x+2+3y）
＝[（x+2）﹣3y][（x+2）+3y]
＝（x+2）2﹣（3y）2
＝x2+4x+4﹣9y2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．熟练掌握这两个公式是解题的关键．
16. 已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【思路点拨】直接把已知代入原式，进而求出答案．
【解析】解：∵a﹣b+2＝5，
∴a﹣b＝3，
∴a2﹣b2﹣6b
＝（a+b）（a﹣b）﹣6b
＝3（a+b）﹣6b
＝3a﹣3b
＝3（a﹣b）
＝3×3
＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确把已知代入是解题关键．
17. 若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
【思路点拨】利用完全平方公式将原式变形后代入数值计算即可．
【解析】解：∵a+b＝5，ab＝1，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝52﹣4×1
＝25﹣4
＝21，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
18. 如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【思路点拨】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【解析】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．
19. 在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ±8x或64x4 ．
【思路点拨】由16x2±8x+1＝（4x±1）2，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，作答即可．
【解析】解：∵16x2±8x+1＝（4x±1）2，
∴单项式为±8x；
∵64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，
∴单项式为64x4；
∵，不是单项式；
故答案为：±8x或64x4．
【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
20. 化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝ a8﹣256 ．
【思路点拨】根据平方差公式计算即可，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
【解析】解：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）
＝（a+2）（a﹣2）（a2+4）（a4+16）
＝（a2﹣4）（a2+4）（a4+16）
＝（a4﹣16）（a4+16）
＝a8﹣256．
故答案为：a8﹣256．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握平方差公式是解答本题的关键．
21.计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 216﹣1 ．（结果中保留幂的形式）
【思路点拨】将原式变形后利用平方差公式进行计算即可．
【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1，
故答案为：216﹣1．
【点评】本题考查平方差公式，将原式进行适当的变形是解题的关键．
22. 运用乘法公式计算：
（1）（x+y+z）2；
（2）（x﹣y+2z）（﹣x+y﹣2z）；
（3）（3a+2b﹣c）（3a﹣2b﹣c）；
（4）（a﹣2b+3c）（3c﹣a+2b）．
【思路点拨】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
（3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
（4）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【解析】解：（1）（x+y+z）2
＝[（x+y）+z]2
＝（x+y）2+2（x+y）z+z2
＝x2+2xy+y2+2zx+2yz+z2
＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx．
（2）（x﹣y+2z）（﹣x+y﹣2z）；
＝﹣（x﹣y+2z）（x﹣y+2z）
＝﹣[（x﹣y）+2z]2
＝﹣[（x﹣y）2+4（x﹣y）z+4z2]
＝﹣[x2﹣2xy+y2+4zx﹣4yz+4z2]
＝﹣x2﹣y2﹣4z2+2xy+4yz﹣4zx．
（3）（3a+2b﹣c）（3a﹣2b﹣c）
＝[（3a﹣c）+2b][（3a﹣c）﹣2b]
＝（3a﹣c）2﹣4b2
＝9a2﹣6ac+c2﹣4b2；
（4）（a﹣2b+3c）（3c﹣a+2b）
＝[3c+（a﹣2b）][（3c﹣（a﹣2b）]
＝9c2﹣（a﹣2b）2
＝9c2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝9c2﹣a2+4ab﹣4b2．
【点评】本题考查整式的乘法，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式，本题属于基础题型．
23.计算：
①（a+1）2﹣2（a﹣1）2
②（3﹣x2）（﹣x2﹣3）．
③（x+1）2﹣5（x+1）（x﹣1）+3（x﹣1）2
④（3）
⑤（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）
【思路点拨】①利用完全平方公式进行计算即可；
②利用平方差公式进行计算即可得解；
③利用完全平方公式与平方差公式进行计算即可得解；
④先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可得解；
⑤把（x﹣z）看作一个整体，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可得解．
【解析】解：①（a+1）2﹣2（a﹣1）2
＝a2+2a+1﹣2（a2﹣2a+1）
＝a2+2a+1﹣2a2+4a﹣2
＝﹣a2+6a﹣1；
②（3﹣x2）（﹣x2﹣3）
＝﹣（3﹣x2）（x2+3）
＝﹣（9﹣x4）
＝x4﹣9；
③（x+1）2﹣5（x+1）（x﹣1）+3（x﹣1）2
＝x2+2x+1﹣5（x2﹣1）+3（x2﹣2x+1）
＝x2+2x+1﹣5x2+5+3x2﹣6x+3
＝﹣10x2﹣4x+9；
④（a﹣）2（a+）2（a2+）2＝[（a﹣）（a+）（a2+）]2＝（a4﹣）2＝a8﹣a4+；
⑤（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）
＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]
＝（x﹣z）2﹣4y2
＝x2﹣2xz+z2﹣4y2．
【点评】本题主要考查平方差公式，完全平方公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
24. 已知a﹣b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a+b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
【思路点拨】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；
（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案；
（3）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加ab，右边为a2﹣ab+b2，根据已知条件即可得出答案．
【解析】解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×2＝40；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×2＝44；
（3）a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝62+2＝38．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．
25. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
【思路点拨】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积；
（2）①利用平方差公式计算即可，
②利用平方差公式计算，然后再根据等差数列的求和公式计算．
【解析】解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝4，
故答案为：4，
②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握公式的灵活运用是解题的关键．
培优拔尖
26.已知（x﹣2022）2+（x﹣2026）2＝26，则（x﹣2024）2的值是（ ）
A．5B．9C．13D．17
【思路点拨】把所给的条件进行整理，从而可求解．
【解析】解：∵（x﹣2022）2+（x﹣2026）2＝26，
∴（x﹣2024+2）2+（x﹣2024﹣2）2＝26，
（x﹣2024）2+4（x﹣2024）+4+（x﹣2024）2﹣4（x﹣2024）+4＝26，
2（x﹣2024）2＝18，
（x﹣2024）2＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的形式的理解．
27. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
【思路点拨】分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果．
【解析】解：对图①，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是平行四边形，其中底为a+b，底边上高为a﹣b，则阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图②，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为a+b，宽为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图③，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为a+b，底边上高为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图④，原图阴影部分面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为2a，宽为2b，阴影部分面积为4ab，则有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；即可以验证的有①②③；
故选：C．
【点评】本题考查了几何图形与平方差公式，解题的关键是正确推理．
28．（1）计算：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
（2）已知a﹣b＝10，b﹣c＝5，c﹣a＝15，利用上题结论求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
【思路点拨】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而求出即可；
（2）利用（1）中所求将已知数据代入求出即可．
【解析】解：（1）（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
＝a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）；
（2）∵a﹣b＝10，b﹣c＝5，c﹣a＝15，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝（100+25+225）
＝175．
【点评】本题主要考查完全平方公式，正确掌握完全平方公式将原式化简是解题关键．
29.实践与探索
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ．（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
C．a2+ab＝a（a+b）；
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
①20232﹣2024×2022；
②计算：1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12；
③计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×⋯×（1﹣）×（1﹣）．
【思路点拨】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式化简计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
③利用平方差公式将解答即可．
【解析】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①20232﹣2024×2022
＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）
＝20232﹣（20232﹣1））
＝20232﹣20232+1
＝1；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…，
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
③（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）
＝（1+）（1）（1）（1﹣）（1）（1﹣）…×（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）
＝…×
＝
＝．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
30.如图（1），边长为a的大正方形的一角有一个边长为b的小正方形．
（1）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开拼成图（2）的长方形，比较图（1）和图（2）中阴影部分的面积，你可以得出什么结论？
（2）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开，拼成图（3）的长方形，那么比较图（1）和图（3）中阴影部分的面积，是否也能得出与第（1）题同样的结论呢？
（3）为了得出与第（1）题同样的结论，你还有其他拼法吗？
【思路点拨】（1）利用剪开和拼成前后的面积相等解答即可；
（2）利用剪开和拼成前后的面积相等解答即可；
（3）利用剪开和拼成前后的面积相等解答即可．
【解析】解：（1）∵剪开和拼成前后的面积相等，
∴比较图（1）和图（2）中阴影部分的面积，得出结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）比较图（1）和图（3）中阴影部分的面积，也能得出与第（1）题同样的结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）利用剪开和拼成前后的面积相等，得出与第（1）题同样的结论的拼法如下：
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握正方形与长方形的面积公式是解题的关键．
1. 下列各式中能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（﹣x+2）（x+2）B．（﹣3﹣x）（x+3）
C．（2x﹣y）（2x+y）D．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y）
2. 下列多项式中，与﹣x+y相乘的结果为x2﹣y2的多项式是（ ）
A．x+yB．x﹣yC．﹣x+yD．﹣x﹣y
3. 已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
4. 将952变形正确的是（ ）
A．952＝902+52 B．952＝（100+5）（100﹣5）
C．952＝1002﹣2×100×5+52D．952＝902+90×5+52
5. 若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（ ）
A．9B．﹣9C．27D．﹣27
6. 计算20232﹣2024×2022的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
7. 已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．6B．±6C．12D．±12
8. 若（x﹣y）2＝（x+y）2+（ ），则括号内的整式是（ ）
A．2xyB．﹣2xyC．4xyD．﹣4xy
9. （1）（x+ ）2＝x2+6xy+25y2
（2）（ +b）2＝9a2+ + b2
（3）5022＝（ + ）2＝ ＝
（4）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，则k＝
（5）若a2+2a＝1，则（a+1）2＝ ．
10.计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）的结果是 ．
11.若（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2，则整式M为 ．
12.计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝ ．
13.利用乘法公式计算
（1）（﹣x2+2y2）2 （2） （3）（a+3b）（a﹣3b）
（4）（﹣4a﹣1）（4a﹣1） （5）9982 （6）62×58
14. 用简便方法计算：
（1）498×502； （2）999×1001． （3）0.982；
（4）1012； （5）9992．
能力提升
15. 计算（x+2﹣3y）（x+2+3y）的结果是（ ）
A．x2﹣9y2+4x+4B．x2﹣3y2+2x+4
C．x2﹣9y2+4D．x2﹣3y2+4x+4
16. 已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
17. 若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
18. 如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
19. 在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
20. 化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝ ．
21.计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ ．（结果中保留幂的形式）
22. 运用乘法公式计算：
（1）（x+y+z）2； （2）（x﹣y+2z）（﹣x+y﹣2z）；
（3）（3a+2b﹣c）（3a﹣2b﹣c）； （4）（a﹣2b+3c）（3c﹣a+2b）．
23.计算：
①（a+1）2﹣2（a﹣1）2 ②（3﹣x2）（﹣x2﹣3）．
③（x+1）2﹣5（x+1）（x﹣1）+3（x﹣1）2 ④（3）
⑤（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）
24. 已知a﹣b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a+b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
25. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
培优拔尖
26.已知（x﹣2022）2+（x﹣2026）2＝26，则（x﹣2024）2的值是（ ）
A．5B．9C．13D．17
27. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
28．（1）计算：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
（2）已知a﹣b＝10，b﹣c＝5，c﹣a＝15，利用上题结论求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
29.实践与探索
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
C．a2+ab＝a（a+b）；
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
①20232﹣2024×2022；
②计算：1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12；
③计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×⋯×（1﹣）×（1﹣）．
30.如图（1），边长为a的大正方形的一角有一个边长为b的小正方形．
（1）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开拼成图（2）的长方形，比较图（1）和图（2）中阴影部分的面积，你可以得出什么结论？
（2）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开，拼成图（3）的长方形，那么比较图（1）和图（3）中阴影部分的面积，是否也能得出与第（1）题同样的结论呢？
（3）为了得出与第（1）题同样的结论，你还有其他拼法吗？
参考答案
基础过关
1. 下列各式中能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（﹣x+2）（x+2）B．（﹣3﹣x）（x+3）
C．（2x﹣y）（2x+y）D．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y）
【思路点拨】根据平方差公式和完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：∵（﹣x+2）（x+2）＝﹣（x﹣2）（x+2）＝﹣（x2﹣22），
∴选项A不符合题意；
∵（﹣3﹣x）（x+3＝﹣（x+3）2，
∴选项B符合题意；
∵（2x﹣y）（2x+y）＝（2x）2﹣y2，
∴选项C不符合题意；
∵（﹣2x﹣y）（﹣2x+y）＝（﹣2x）2﹣y2，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解决问题的关键．
2. 下列多项式中，与﹣x+y相乘的结果为x2﹣y2的多项式是（ ）
A．x+yB．x﹣yC．﹣x+yD．﹣x﹣y
【思路点拨】利用平方差公式的特征判断即可得到结果．
【解析】解：（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3. 已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【思路点拨】根据平方差公式进行计算，从而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解析】解：∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3+（﹣2）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键．
4. 将952变形正确的是（ ）
A．952＝902+52 B．952＝（100+5）（100﹣5）
C．952＝1002﹣2×100×5+52D．952＝902+90×5+52
【思路点拨】根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2进行变形即可．
【解析】解：952＝（100﹣5）2＝1002﹣2×100×5+52．
故选：C．
【点评】本题考查了利用完全平方公式进行简便运算，掌握（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是解题的关键．
5. 若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为（ ）
A．9B．﹣9C．27D．﹣27
【思路点拨】第二个等式左边利用平方差公式分解，将第一个等式代入计算即可求出a+b的值．
【解析】解：∵a﹣b＝8，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝72，
∴a+b＝9，
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6. 计算20232﹣2024×2022的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【思路点拨】把原式化为20232﹣（2023+1）（2023﹣1）再计算即可．
【解析】解：20232﹣2024×2022
＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）
＝20232﹣20232+1
＝1；
故选：A．
【点评】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式是关键．
7. 已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．6B．±6C．12D．±12
【思路点拨】根据完全平方公式展开，建立方程组求解即可．
【解析】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，
∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，方程组的解法，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
8. 若（x﹣y）2＝（x+y）2+（ ），则括号内的整式是（ ）
A．2xyB．﹣2xyC．4xyD．﹣4xy
【思路点拨】根据完全平方公式变形即可求解．
【解析】解：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝x2+y2+2xy﹣4xy＝（x+y）2﹣4xy，
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9. （1）（x+ 5y ）2＝x2+6xy+25y2
（2）（ 3a +b）2＝9a2+ 6ab + b2
（3）5022＝（ 500 + 2 ）2＝ 5002+2×500×2+22 ＝ 252004
（4）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，则k＝ ﹣6
（5）若a2+2a＝1，则（a+1）2＝ 2 ．
【思路点拨】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可解答．
【解析】解：（1）+6xy+25y2，故答案为：5y．
（2）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2．故答案为：3a，6ab，b2．
（3）5022＝（500+2）2＝5002+2×500×2+22＝252004．故答案为：500，2，5002+2×500×2+22，252004．
（4）∵（x﹣3）2＝x2+kx+9，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
（5）（a+1）2＝a2+2a+1＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
10.计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）的结果是 0 ．
【思路点拨】先根据平方差公式进行计算，再算加减即可．
【解析】解：（1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）
＝9x2﹣1+9（﹣x2）
＝9x2﹣1+1﹣9x2
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
11.若（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2，则整式M为 12xy ．
【思路点拨】已知（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2①，根据完全平方公式得（3x﹣2y）2＝9x2﹣12xy+4y2②，①﹣②即可得出答案．
【解析】解：∵（3x﹣2y）2+M＝9x2+4y2，（3x﹣2y）2＝9x2﹣12xy+4y2，
∴M＝12xy．
故答案为：12xy．
【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是掌握完全平方公式．
12.计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝ 1﹣16a4 ．
【思路点拨】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，据此计算即可．
【解析】解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）
＝（1﹣4a2）（1+4a2）
＝1﹣16a4．
故答案为：1﹣16a4．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
13.利用乘法公式计算
（1）（﹣x2+2y2）2
（2）
（3）（a+3b）（a﹣3b）
（4）（﹣4a﹣1）（4a﹣1）
（5）9982
（6）62×58
【思路点拨】（1）（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）（4）根据平方差公式进行计算即可；
（5）变形为：（1000﹣2）2，再根据完全平方公式进行计算即可；
（6）变形为：（60+2）（60﹣2），再根据平方差公式进行计算即可．
【解析】解：（1）（﹣x2+2y2）2＝x4﹣4x2y2+4y4；
（2））＝+﹣2xy+4y2＝x2+8y2；
（3）（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；
（4）（﹣4a﹣1）（4a﹣1）＝（﹣1）2﹣（4a）2＝1﹣16a2；
（5）9982＝（1000﹣2）2＝10002﹣2×2×1000+4＝996004；
（6）62×58＝（60+2）（60﹣2）＝602﹣22＝3600﹣4＝3596．
【点评】本题考查了两个公式：①完全平方公式；②平方差公式，熟记公式是解题的关键，利用公式计算可以使运算更加简便．
14. 用简便方法计算：
（1）498×502；
（2）999×1001．
（3）0.982；
（4）1012；
（5）9992．
【思路点拨】（1）将原式化为（500﹣2）（500+2），再根据平方差公式进行计算即可；
（2）据999x1001＝（1000﹣1）（1000+1）＝10002﹣12计算求解即可．
3）将0.982转化为（1﹣0.02）2，然后利用完全平方差公式进行计算；
（4）将101转化为（100+1）的形式，然后利用完全平方和公式进行计算；
（5）将999转化为（10000﹣1）的形式，然后利用完全平方差公式进行计算．
【解析】解：（1）原式＝（500﹣2）（500+2）
＝5002﹣22
＝250000﹣4
＝249996；
（2）999x1001
＝（1000﹣1）（1000+1）
＝10002﹣12
＝1000000﹣1
＝999999．
（3）0.982＝（1﹣0.02）2＝1﹣0.04+0.0004＝0.9604．
（4）1012＝（100+1）2＝10000+200+1＝10201；
（5）9992＝（10000﹣1）2＝100000000﹣20000+1＝980001．
【点评】本题考查平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
能力提升
15. 计算（x+2﹣3y）（x+2+3y）的结果是（ ）
A．x2﹣9y2+4x+4B．x2﹣3y2+2x+4
C．x2﹣9y2+4D．x2﹣3y2+4x+4
【思路点拨】把x+2看成一个整体，先运用平方差公式，再用完全平方公式进行计算即可．
【解析】解：（x+2﹣3y）（x+2+3y）
＝[（x+2）﹣3y][（x+2）+3y]
＝（x+2）2﹣（3y）2
＝x2+4x+4﹣9y2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．熟练掌握这两个公式是解题的关键．
16. 已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【思路点拨】直接把已知代入原式，进而求出答案．
【解析】解：∵a﹣b+2＝5，
∴a﹣b＝3，
∴a2﹣b2﹣6b
＝（a+b）（a﹣b）﹣6b
＝3（a+b）﹣6b
＝3a﹣3b
＝3（a﹣b）
＝3×3
＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确把已知代入是解题关键．
17. 若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
【思路点拨】利用完全平方公式将原式变形后代入数值计算即可．
【解析】解：∵a+b＝5，ab＝1，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝52﹣4×1
＝25﹣4
＝21，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
18. 如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【思路点拨】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【解析】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．
19. 在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ±8x或64x4 ．
【思路点拨】由16x2±8x+1＝（4x±1）2，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，作答即可．
【解析】解：∵16x2±8x+1＝（4x±1）2，
∴单项式为±8x；
∵64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，
∴单项式为64x4；
∵，不是单项式；
故答案为：±8x或64x4．
【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
20. 化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝ a8﹣256 ．
【思路点拨】根据平方差公式计算即可，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
【解析】解：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）
＝（a+2）（a﹣2）（a2+4）（a4+16）
＝（a2﹣4）（a2+4）（a4+16）
＝（a4﹣16）（a4+16）
＝a8﹣256．
故答案为：a8﹣256．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握平方差公式是解答本题的关键．
21.计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 216﹣1 ．（结果中保留幂的形式）
【思路点拨】将原式变形后利用平方差公式进行计算即可．
【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1，
故答案为：216﹣1．
【点评】本题考查平方差公式，将原式进行适当的变形是解题的关键．
22. 运用乘法公式计算：
（1）（x+y+z）2；
（2）（x﹣y+2z）（﹣x+y﹣2z）；
（3）（3a+2b﹣c）（3a﹣2b﹣c）；
（4）（a﹣2b+3c）（3c﹣a+2b）．
【思路点拨】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
（3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
（4）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【解析】解：（1）（x+y+z）2
＝[（x+y）+z]2
＝（x+y）2+2（x+y）z+z2
＝x2+2xy+y2+2zx+2yz+z2
＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx．
（2）（x﹣y+2z）（﹣x+y﹣2z）；
＝﹣（x﹣y+2z）（x﹣y+2z）
＝﹣[（x﹣y）+2z]2
＝﹣[（x﹣y）2+4（x﹣y）z+4z2]
＝﹣[x2﹣2xy+y2+4zx﹣4yz+4z2]
＝﹣x2﹣y2﹣4z2+2xy+4yz﹣4zx．
（3）（3a+2b﹣c）（3a﹣2b﹣c）
＝[（3a﹣c）+2b][（3a﹣c）﹣2b]
＝（3a﹣c）2﹣4b2
＝9a2﹣6ac+c2﹣4b2；
（4）（a﹣2b+3c）（3c﹣a+2b）
＝[3c+（a﹣2b）][（3c﹣（a﹣2b）]
＝9c2﹣（a﹣2b）2
＝9c2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝9c2﹣a2+4ab﹣4b2．
【点评】本题考查整式的乘法，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式，本题属于基础题型．
23.计算：
①（a+1）2﹣2（a﹣1）2
②（3﹣x2）（﹣x2﹣3）．
③（x+1）2﹣5（x+1）（x﹣1）+3（x﹣1）2
④（3）
⑤（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）
【思路点拨】①利用完全平方公式进行计算即可；
②利用平方差公式进行计算即可得解；
③利用完全平方公式与平方差公式进行计算即可得解；
④先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可得解；
⑤把（x﹣z）看作一个整体，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可得解．
【解析】解：①（a+1）2﹣2（a﹣1）2
＝a2+2a+1﹣2（a2﹣2a+1）
＝a2+2a+1﹣2a2+4a﹣2
＝﹣a2+6a﹣1；
②（3﹣x2）（﹣x2﹣3）
＝﹣（3﹣x2）（x2+3）
＝﹣（9﹣x4）
＝x4﹣9；
③（x+1）2﹣5（x+1）（x﹣1）+3（x﹣1）2
＝x2+2x+1﹣5（x2﹣1）+3（x2﹣2x+1）
＝x2+2x+1﹣5x2+5+3x2﹣6x+3
＝﹣10x2﹣4x+9；
④（a﹣）2（a+）2（a2+）2＝[（a﹣）（a+）（a2+）]2＝（a4﹣）2＝a8﹣a4+；
⑤（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）
＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]
＝（x﹣z）2﹣4y2
＝x2﹣2xz+z2﹣4y2．
【点评】本题主要考查平方差公式，完全平方公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
24. 已知a﹣b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a+b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
【思路点拨】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；
（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案；
（3）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加ab，右边为a2﹣ab+b2，根据已知条件即可得出答案．
【解析】解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×2＝40；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×2＝44；
（3）a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝62+2＝38．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．
25. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
【思路点拨】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积；
（2）①利用平方差公式计算即可，
②利用平方差公式计算，然后再根据等差数列的求和公式计算．
【解析】解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝4，
故答案为：4，
②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握公式的灵活运用是解题的关键．
培优拔尖
26.已知（x﹣2022）2+（x﹣2026）2＝26，则（x﹣2024）2的值是（ ）
A．5B．9C．13D．17
【思路点拨】把所给的条件进行整理，从而可求解．
【解析】解：∵（x﹣2022）2+（x﹣2026）2＝26，
∴（x﹣2024+2）2+（x﹣2024﹣2）2＝26，
（x﹣2024）2+4（x﹣2024）+4+（x﹣2024）2﹣4（x﹣2024）+4＝26，
2（x﹣2024）2＝18，
（x﹣2024）2＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的形式的理解．
27. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
【思路点拨】分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果．
【解析】解：对图①，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是平行四边形，其中底为a+b，底边上高为a﹣b，则阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图②，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为a+b，宽为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图③，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为a+b，底边上高为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；
对图④，原图阴影部分面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为2a，宽为2b，阴影部分面积为4ab，则有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；即可以验证的有①②③；
故选：C．
【点评】本题考查了几何图形与平方差公式，解题的关键是正确推理．
28．（1）计算：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
（2）已知a﹣b＝10，b﹣c＝5，c﹣a＝15，利用上题结论求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
【思路点拨】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而求出即可；
（2）利用（1）中所求将已知数据代入求出即可．
【解析】解：（1）（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
＝a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）；
（2）∵a﹣b＝10，b﹣c＝5，c﹣a＝15，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝（100+25+225）
＝175．
【点评】本题主要考查完全平方公式，正确掌握完全平方公式将原式化简是解题关键．
29.实践与探索
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ．（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
C．a2+ab＝a（a+b）；
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
①20232﹣2024×2022；
②计算：1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12；
③计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×⋯×（1﹣）×（1﹣）．
【思路点拨】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式化简计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
③利用平方差公式将解答即可．
【解析】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①20232﹣2024×2022
＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）
＝20232﹣（20232﹣1））
＝20232﹣20232+1
＝1；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…，
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
③（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）
＝（1+）（1）（1）（1﹣）（1）（1﹣）…×（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）
＝…×
＝
＝．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
30.如图（1），边长为a的大正方形的一角有一个边长为b的小正方形．
（1）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开拼成图（2）的长方形，比较图（1）和图（2）中阴影部分的面积，你可以得出什么结论？
（2）如果将图（1）中的阴影部分沿虚线剪开，拼成图（3）的长方形，那么比较图（1）和图（3）中阴影部分的面积，是否也能得出与第（1）题同样的结论呢？
（3）为了得出与第（1）题同样的结论，你还有其他拼法吗？
【思路点拨】（1）利用剪开和拼成前后的面积相等解答即可；
（2）利用剪开和拼成前后的面积相等解答即可；
（3）利用剪开和拼成前后的面积相等解答即可．
【解析】解：（1）∵剪开和拼成前后的面积相等，
∴比较图（1）和图（2）中阴影部分的面积，得出结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）比较图（1）和图（3）中阴影部分的面积，也能得出与第（1）题同样的结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）利用剪开和拼成前后的面积相等，得出与第（1）题同样的结论的拼法如下：
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握正方形与长方形的面积公式是解题的关键．
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