黑龙江省七台河市勃利县2024届学年九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省七台河市勃利县2024届学年九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共22页。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面关于平行四边形的性质描述正确的是（ ）
A．平行四边形的对称中心是对角线的交点
B．平行四边形的对称轴是对角线所在直线
C．平行四边形不是中心对称图形
D．平行四边形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形
2．（3分）下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（ ）
A．y＝3x2﹣2x+5B．y＝x2﹣3x+2
C．y＝﹣3x2﹣xD．y＝x2﹣3
3．（3分）政教处办公室里有七年级的班干部5人、八年级的班干部3人、九年级的班干部2人，政教处老师随便叫一位班干部调查情况，正好是九年级学生的概率是（ ）
A．110B．35C．310D．15
4．（3分）点M在⊙O内，OM＝2cm，若⊙O的半径是5cm，则过点M的最短弦的长度为（ ）
A．3cmB．6cmC．21cmD．221cm
5．（3分）已知关于x的方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m＞2C．m＞2且m≠0D．m＜2且m≠0
6．（3分）下列各点不在抛物线y＝x2﹣2图象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（2，2）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接AD，若∠A＝30°，AD=3，则CD的长为（ ）
A．3B．2C．3D．1
8．（3分）从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）
A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm2
9．（3分）如图，已知在抛物线y＝x2﹣2上有一点A（3，1），AB⊥x轴于B点，连接OA，将△OBA绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A、B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
10．（3分）如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．①②③④
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）若点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程(m+3)xm2-1+2(m-1)x-1=0是一元二次方程，则m的值为 ．
13．（3分）圆锥的底面直径为10cm，母线长为6cm，该圆锥的侧面展开图的面积是 cm2．
14．（3分）将抛物线y=12x2向下平移2个单位，再向左平移3个单位，此时的抛物线的顶点坐标为 ．
15．（3分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某中学举办了党史知识竞赛，某班有五名学生报名，其中2男3女，班主任计划从这5名学生中随机抽选两名学生参加知识竞赛，所选两个学生中恰好1男1女的概率为 ．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB＝65°，则∠OCD＝ ．
17．（3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植 株．
18．（3分）若二次函数y＝2x2﹣3x+c与x轴有两个不同交点，则c的取值范围是 ．
19．（3分）如图所示的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是 度．
20．（3分）如图，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（x，0）（0＜x＜4），点D在线段BC上，以点D为圆心，34为半径作⊙D，且⊙D与△OAB的一条直角边和斜边相切，则x的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（4分）解方程：
（1）x2﹣2x＝2x+1；
（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），C（﹣2，﹣1）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A'B'C'，画出△A'B'C'；
（2）将△ABC绕点A旋转180°得到△AB″C″，画出△AB″C″；
（3）若△A'B'C'绕某点旋转可以得到△AB″C″，请写出旋转中心的坐标．
23．（8分）如图是小华设计的自由转动的转盘，上面写有10个有理数．想想看，转得下列各数的概率是多少？
（1）转得正数；
（2）转得正整数；
（3）转得绝对值小于6的数；
（4）转得绝对值大于等于8的数．
24．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
25．（8分）如图，直径是50cm的圆形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB．
26．（8分）如图，点B为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，点P为OB上一点且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC，OC⊥OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，⊙O的半径为8．求AP的长．
27．（8分）如图，一个矩形养鸡场，一边靠墙（墙长为a米），另外三边用长为48米的篱笆围成．
（1）①若a＝30，求养鸡场的面积的最大值；
②若a＝20，求养鸡场的面积的最大值．
（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270平方米，求a的值．
28．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2-233x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接PC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线对称轴与BC交于点D，点P为直线BC下方对称轴右侧抛物线上的一点，连接PB，PD．当△BDP的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．求点Q经过的最短路径的长；
（3）将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B'OC'，点B，C的对应点分别为B'，C′，点E为直线BC上一点，连接B'E，C'E．当△B'C'E为等腰三角形时，求符合条件的点E的坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解析：解：A．平行四边形的对称中心是对角线的交点，说法正确，故本选项不符合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解析：解：A．y＝3x2﹣2x+5二次项系数是3，不合题意；
B．y＝x2﹣3x+2二次项系数是3，不合题意；
C．y＝﹣3x2﹣x二次项系数是﹣3，符合题意；
D．y＝x2﹣3二次项系数是1，不合题意；
故选：C．
3．解析：解：∵七年级的班干部5人、八年级的班干部3人、九年级的班干部2人，
∴班干部一共有10人，
∴随便叫一位班干部调查情况，正好是九年级学生的概率是：210=15．
故选：D．
4．解析：解：在过点M的所有⊙O的弦中，最短的弦长为垂直于OM的弦，即OM⊥AB，连接OA，
在Rt△AOM中，OA＝5．OM＝2．根据勾股定理可得：AM=21，
根据垂径定理可得：AB＝2AM＝221．
故选：D．
5．解析：解：∵关于x的方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0Δ=(-4)2-4m×2＞0，
解得：m＜2且m≠0．
故选：D．
6．解析：解：A、把x＝﹣1代入y＝x2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，故点（﹣1，﹣1）在抛物线y＝x2﹣2图象上；
B、把x＝2代入y＝x2﹣2得y＝4﹣2＝2，故点（2，2）在抛物线y＝x2﹣2图象上；
C、把x＝﹣2代入y＝x2﹣2得y＝4﹣2＝2≠0，故点（﹣2，0）不在抛物线y＝x2﹣2图象上；
D、把x＝0代入y＝x2﹣2得y＝0﹣2＝﹣2，故点（0，﹣2）在抛物线y＝x2﹣2图象上；
故选：C．
7．解析：解：连接BD，
∵∠A＝30°，
∴∠BOD＝2∠A＝60°，
∵OA＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，OA＝OB＝BD，
∴AB＝2OA＝2BD，
∵AB是⊙O的直径，AD=3，
∴∠ADB＝90°，
∴AD=AB2-BD2=(2BD)2-BD2=3BD=3，
∴BD＝1，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠OBD＝30°，∠C＝90°﹣∠BOD＝30°，
∴∠DBC＝∠C，
∴CD＝BD＝1，
故选：D．
8．解析：解：设正方形的边长是xcm，根据题意得x（x﹣2）＝48，
解得x1＝﹣6（舍去），x2＝8，
那么原正方形铁片的面积是8×8＝64cm2．
故选：D．
9．解析：解：∵A（3，1），且AB⊥x轴于B点，
∴OB=3，AB＝1，
由勾股定理得：OA=(3)2+12=2，
∴∠AOB＝30°，
抛物线y＝x2﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC＝2，
如图2，旋转角为90°时，点B在y轴上，此时B'（0，-3），A'（1，-3），
两个点A'和B'都不在抛物线上，故A不符合题意；
将△OBA绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A、B两点中必有一个顶点落在抛物线上，此时A与C重合，这个角度是90°+30°＝120°．
故B符合题意；
如图3，旋转角为150°时，点B'与A关于原点对称，则B'（-32，-32），
过A作AE⊥y轴于E，则A'（﹣1，-3），
此时两点A'和B'都不在抛物线上，
故C不符合题意；
如图4，旋转角为180°时，此时B'（-3，0），A'（-3，﹣1），
此时两点A'和B'都不在抛物线上，
故D不符合题意；
故选：B．
10．解析：解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA=12AB，
∴OA=12AC，选项③正确；
则正确的结论为①②③④．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解析：解：∵点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝2﹣1=12，
故答案为：12．
12．解析：解：∵关于x的方程(m+3)xm2-1+2(m-1)x-1=0是一元二次方程，
∴m2﹣1＝2且m+3≠0，
解得：m=3．
故答案为：3．
13．解析：解：底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：12×10π×6＝30π（cm2）．
故答案为：30π．
14．解析：解：抛物线y=12x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的点的坐标为（﹣3，﹣2），
所以平移后抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
15．解析：解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，恰好是1男1女的有12种，
则所选两个学生中恰好1男1女的概率为1220=35．
16．解析：解：连接OD，
∵OD＝OA，∠DAB＝65°，
∴∠ODA＝65°，
∵CD⊥AB，∠DAB＝65°，
∴∠ADC＝25°，
∴∠ODC＝40°，
∵CD⊥AB，
∴OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝40°，
故答案为：40°．
17．解析：解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）＝15，
解得：x1＝2，x2＝3．
答：每盆应多植2株或3株，每盆的盈利15元，
故答案为：2或3．
18．解析：解：∵抛物线y＝2x2﹣3x+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣8c＞0，
∴c＜98，
故答案为：c＜98．
19．解析：解：设每次旋转角度x°，
则6x＝360，解得x＝60，
∴每次旋转角度是60°．
20．解析：解：①当⊙D与OB，AB相切时，过点C作CE⊥AB于点E，如图，
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OB＝3．
∴AB=OA2+OB2=5．
∵⊙D与OB，AB相切，
∴点D在∠OBA的角平分线上，
∴BC是∠OBA的角平分线．
∵点C的坐标为（x，0）（0＜x＜4），
∴OC＝x．
∵OC⊥OB，CE⊥AB，
∴CE＝OC＝x，
∴AC＝OA﹣OC＝4﹣x．
∵∠CEA＝∠BOA＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACE∽△ABO，
∴ACAB=CEOB，
∴4-x5=x3，
∴x=32；
②当⊙D与OA，AB相切时，切点分别为E，F，连接DE，DF，连接AD并延长交OB于点G，过点G作CH⊥AB于点H，如图
∵⊙D与OA，AB相切，切点分别为E，F，
∴DE⊥OA，DF⊥AB，
∵DE＝DF，
∴AD为∠OAB的角平分线，
∵GO⊥OA，GH⊥AB，
∴GO＝GH．
在Rt△AOG和Rt△AHG中，
GO=GHAG=AG，
∴Rt△AOG≌Rt△AHG（HL），
∴AO＝AH＝4，
∴BH＝AB﹣AH＝1．
∵∠BHG＝∠BOA＝90°，∠GBH＝∠ABO，
∴△BHG∽△BOA，
∴BHBO=BGAB，
∴13=BG5，
∴BG=53，
∴OG＝OB﹣BG=43．
∵OG⊥OA，DE⊥OA，
∴DE∥OG，
∴△CDE∽△CBO，
∴CECO=DEBO，
∴CEx=343，
∴CE=14x，
∴OE＝OC﹣CE=34x，
∴AE＝OA﹣OE＝4-34x．
∵DE∥OG，
∴△ADE∽△AGO，
∴AEAO=DEOG，
∴4-34x4=3443，
∴x=73．
综上，⊙D与△OAB的一条直角边和斜边相切，则x的值为32或73．
故答案为：
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．解析：解：（1）方程整理，得：x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
则x=-b±b2-4ac2a=4±252=2±5，
即x1＝2+5，x2＝2-5；
（2）∵（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（5x﹣3）＝0，
则x﹣3＝0或5x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0.6．
22．解析：解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）如图，△AB″C″即为所求．
（3）连接AA'，B'B''，C'C''，交点为O（0，0），
∴旋转中心为O（0，0）．
23．解析：解：（1）转得正数的概率是510=12；
（2）转得正整数的概率是410=25；
（3）转得绝对值小于6的数有﹣1，-23，0，1，﹣2，13，共6个数，
则转得绝对值小于6的数的概率是610=35；
（4）转得绝对值大于等于8的数有8，9，﹣10，共有3个数，
则转得绝对值大于等于8的数概率是310．
24．解析：解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
25．解析：解：如图，连接OA，
∵OC⊥AB于点D，
∴AB＝2AD，
∵直径是50cm，
∴OA＝OC＝25cm，
∴OD＝OC﹣CD＝25﹣15＝10cm，
由勾股定理知，
AD=OA2-OD2=521cm，
∴AB＝1021cm．
26．解析：（1）证明：∵BP＝BA，OA＝OC，
∴∠BAP＝∠BPA，∠PAO＝∠C，
∵OC⊥OB，
∴∠COP＝90°，
∴∠OPC+∠C＝90°，
∵∠OPC＝∠BPA，
∴∠BAP＝∠OPC，
∴∠BAP+∠OAP＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，
∵⊙O的半径为8，
∴CO＝OA＝8，
由（1）得：∠BAO＝90°，
∴AB=OB2-OA2=102-82=6，
∴BP＝BA＝6，
∴OP＝OB﹣BP＝4，
在Rt△CPO中，OP＝4，CO＝8，
∴CP=OP2+CO2=42+82=45，
∵BA＝BP，BD⊥AP，
∴AD＝PD，∠BDP＝90°＝∠COP，
∵∠BPD＝∠CPO，
∴△BPD∽△CPO，
∴BPCP=PDPO，
即645=PD4，
解得：PD=655，
∴AP＝2PD=1255．
27．解析：（1）设平行于墙面的矩形的长为x米，则宽为48-x2米，由题意可知x≤a，矩形的面积为S，
则S＝x•48-x2=-12x2+24x=-12(x-24)2+288，
∵-12＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝24，
∴当0＜x≤24时，S随x的增大而增大，当x≥24时，S随x的增大而减小；
①a＝30时，x≤a即x≤30；
∴当x＝24时，S有最大值为288平方米；
②a＝20时，x≤a即x≤20，
∴当x＝20时，面积的最大值为280平方米，
（2）令S＝270得：-12(x-24)2+288=270，
解得：x＝18或x＝30，
由x≤a可知，当x＝30时，a≥30，
由（1）知，此时矩形最大值在x＝24时取得，面积最大值为288平方米，故x＝30舍去．
∴a＝18．
28．解析：解：（1）∵抛物线y=13x2-233x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，13x2-233x﹣3＝0，
解得：x1=-3，x2＝33，
∴A（-3，0），B（33，0），C（0，﹣3），
设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（33，0），C（0，﹣3）代入，
得：33k+b=0b=-3，
解得：k=33b=-3，
∴直线BC解析式为y=33x﹣3；
（2）如图1，过点P作PG∥y轴，
由（1）知：直线BC解析式为y=33x﹣3，B（33，0），
设P（a，13a2-233a﹣3），
∴G（a，33a﹣3），
∴PG=33a﹣3﹣（13a2-233a﹣3）=-13a2+3a，
∵y=13x2-233x﹣3=13（x-3）2﹣4，
∴抛物线对称轴为x=3，
∴点D的横坐标为3，
S△PBD=12×（33-3）×PG=3（-13a2+3a）=-33（a-332）2+934，
∵0＜a＜33，-33＜0，
∴当a=332时，S△PBD最大，此时点P（332，-154），
如图2，作点P关于y轴的对称点P′（-332，-154），连接P′B，交y轴于点M，交抛物线对称轴于点N，
连接PM，点Q沿P→M→N→B运动，M所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NB的长，
∵P、P′关于y轴对称，
∴PM＝P′M，
∴PM+MN+NB＝P′M+MN+NB＝P′B，
作P′H⊥x轴于点H，P′B=P'H2+BH2=(154)2+(932)2=31334，
∴点Q经过的最短路径的长为PM+MN+AN=31334；
（3）如图3，过C′作C′R⊥x轴于点R，作B′T⊥y轴于点T，
设E（m，33m﹣3），
∵将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B'OC'，
∴∠COC′＝∠BOB′＝60°，OC′＝OC＝3，OB′＝OB＝33，
∴∠C′OR＝∠B′OT＝30°，
∵∠ORC′＝∠OTB′＝90°，
∴C′R=32，OR=332，B′T=332，OT=92，
∴C′（-332，-32），B′（332，-92），
∴B′C′2＝BC2＝OB2+OC2＝（33）2+32＝36，
C′E2＝[m﹣（-332）2+[33m﹣3﹣（-32）]2=43m2+23m+9，
B′E2＝（m-332）2+[33m﹣3﹣（-92）]2=43m2﹣23m+9，
∵△B'C'E为等腰三角形，
∴B′C′＝C′E或B′C′＝B′E或C′E＝B′E，
当B′C′＝C′E时，36=43m2+23m+9，
解得：m=-63±6398=-33±3394，
∴E（-33+3394，33-154）或（-33-3394，-15-3134）；
当B′C′＝B′E时，36=43m2﹣23m+9，
解得：m=63±6398=33±3394，
∴E（33-3394，-9-3134）或（33+3394，313-94），
当C′E＝B′E时，43m2+23m+9=43m2﹣23m+9，
解得：m＝0，
当m＝0时，点B′，C′，E三点在一条直线上，不能构成三角形．
综上所述，点E的坐标为（-33+3394，33-154）或（-33-3394，-15-3134）或（33-3394，-9-3134）或（33+3394，313-94）．