江苏省灌云高级中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省灌云高级中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2. 如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
答案：B
解析：解：由题意可得，
B选项符合边角边判定，
故选B．
3. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. 、，B. 、，
C. D.
答案：D
解析：解：A、∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴设，，，
∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴设，，，
∵，
∴，
解得，
∴最大角，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：D
解析：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
故选：D．
5. 若点，关于x轴对称，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
答案：A
解析：解：点与点关于轴对称，
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，，
，，
故选：A．
6. 如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 4.6
答案：B
解析：解：过D作于F，
是的角平分线，，，
，
，
的面积为9，
的面积为，
，
，
，
故选：B．
7. 平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：如右图所示，
∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（-2，3），
∴设点C（x，3），
∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，-1），
∴x=2，
∴点C的坐标为（2，3）．
故选：D．
8. 如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
答案：D
解析：解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵与所交对顶角相等，
∴与所交角等于，即等于，
∴，故②正确；
∵是边上的高，，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．故④正确．
故选：D．
二、填空题
9. 下列六个数中，无理数有______个．
答案：3
解析：解：，，
∴无理数有，共3个，
故答案为：3．
10. 已知一次函数（为常数，且）的图像过点，若，则______．（用或填空）
答案：
解析：∵一次函数的解析式为：，
∵，
∴随着的增大而增大，
∵该函数图象上的两点，
∵，
∴，
故答案为：
11. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，，则的周长为______．

答案：8
解析：解；∵的垂直平分线l交于点D，
∴，
∵，
∴的周长，
故答案为：8．
12. 如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是______．(只需填一个即可)

答案：（答案不唯一）
解析：解：增加条件：，
∵
∴，
∴，
∴；
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是______．
答案：
解析：解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，

∴根据题意可得，，，
∴，
∵是正方形的面积，
∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形的面积和，
同理，正方形的面积为，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
14. 已知一次函数的图像过点、，若把直线向下平移个单位长度，则平移后的直线对应的函数表达式为______．
答案：
解析：解：∵一次函数的图像过点、
∴
解得
∴这个函数的表达式为；
根据平移的性质可知：直线：向下平移3个单位后得到的直线表达式为，
故答案为：．
15. 等腰三角形中，，则______．
答案：或或
解析：解：是等腰三角形，
当时，
，
．
当时，
，
．
当时，
，
综上所述，的值为或或，
故答案为：或或．
16. 如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
答案：
解析：解：如图，延长至，使，连接CE，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
．
故答案为：
17. 如图，直线：分别与轴、轴交于点、，将绕点逆时针旋转得到直线，则对应的函数表达式为______．

答案：
解析：解：∵
当，当，
∴
∴,
如图所示：过点作交于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，

，
，
又，
，
在与中，

，
，，
．
则点的坐标是，．
设直线的解析式是，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线解析式是：．
故答案为：．
18. 如图，在锐角中，＝＝，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______．
答案：5
解析：如图，在上取一点，使，连接，
是的平分线，
，
在和中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
19. 解答下列问题：
（1）计算：
（2）求出式子中x的值：
答案：（1）
（2）或
小问1解析：
解；原式
；
小问2解析：
解：∵，
∴，
∴，
∴或．
20. 如图，中，，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求的度数；
（2）如果，求的周长．
答案：（1）；（2）的周长为12cm
解析：解：（1）设，，
∵，
∴，∴．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴，，∴，，
∴．
（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴，，
∴的周长为：．
21. 如图，，点、在上，，．问：线段和有什么关系？请说明理由．
答案：，理由见解析
解析：证明：，；理由如下，
，
，
又，
，
在与中 ，
．
，．
．
22. 如图，在中，，，
（1）若为边上一点，且它到，两点的距离相等，请利用尺规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹)；
（2）连接，若，，求的长；
（3）在上找一点，使点到线段和线段的距离相等．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
答案：（1）见解析 （2）
（3）见解析
小问1解析：
解：如图，点为所作；
小问2解析：
如图，在中，，
设的长为，则的长为，
由题意得，
在中，，
，
解得，
的长为
小问3解析：
解：如图所示，点即为所求；
23. 如图，，点在轴上，且．
（1）求点的坐标，并画出；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
答案：（1）点的坐标为，，画图见解析
（2）
（3）存在，点的坐标为或
小问1解析：
解：点在点右边时，，
点在点的左边时，，
所以，的坐标为（）或（），
如图所示：
小问2解析：
解：面积；
小问3解析：
解：设点到轴的距离为，
则，
解得，
点在轴正半轴时，（），
点在轴负半轴时，（），
综上所述，点的坐标为（）或（）．
24. 如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴．
小问2解析：
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，且.
∴．
25. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若∠APB＝150°，PB＝8，PA＝6，连接PQ，求PC的长．
答案：（1）AP=CQ，证明见解析；（2）10．
解析：解：（1）AP＝CQ．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝CB，
∴∠ABP+∠PBC＝60°．
又∵∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ．
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ．
（2）连接PQ，如图所示．
∵△ABP≌△CBQ，
∴∠BQC＝∠BPA＝150°．
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PQ＝PB＝8，∠BQP＝60°，
∴∠PQC＝90°．
在Rt△PQC中，∠PQC＝90°，PQ＝8，CQ＝AP＝6，
∴PC＝＝10．
26. 如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
答案：（1）5；（2）2或或；（3）
解析：解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∴，
在中，，
（2）①若为等腰三角形，则有三种可能.
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，过点E作，
在中，，
∴，
即，
解得：， ，
∴
综上所述，符合要求的t值为2或或；
②当时，
在中，，
即，
在中，，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，．
27. (1)问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
(2)变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
答案：（1）相等，见解析；（2）①，见解析；②，见解析
解析：（1）证明：如图1，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①结论：．理由如下：
如图2，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．