重庆市第八中学校2024届高三下学期入学适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2024届高三下学期入学适应性考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,记全集,则( )
A.B.C.D.
2．若复数是纯虚数,则实数( )
A.1B.CD.0
3．函数的零点有( )
A.4个B.2个C.1个D.0个
4．设集合,那么集合A满足条件“”的元素个数为( )
A.4B.6C.9D.12
5．已知函数在R上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知a,b为正实数,且a,b,这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于( )
A.6B.8C.10D.12
7．已知球O的直径为,A,B是球面上两点,且,,则三棱锥的体积( )
A.B.C.D.
8．设P为抛物线的焦点,P为C上一点且在第一象限,C在点P处的切线交x轴于N,交y轴于T,若,则直线NF的斜率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,分别为随机事件A,B的对立事件,满足,,则下列叙述可以说明事件A,B为相互独立事件的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函数,则下列关于函数的说法,正确的是( )
A.的一个周期为B.的图象关于对称
C.在上单调递增D.的值域为
11．已知正四棱柱的底面边长为1,,点P在底面ABCD内运动(含边界),点Q满足,,则( )
A.当时,的最小值为
B.当时,存在点P,使为直角
C.当时,满足的点P的轨迹平行平面
D.当时,满足的点P的轨迹围成的区域的面积为
三、填空题
12．设向量,,若,则______.
13．双曲线的左,右焦点分别为,,O为原点,M,N为C上关于原点对称的两点,若,则______.
14．已知定义在R上的偶函数满足,且当时,.若,则在点处的切线方程为______.(结果用含的表达式表示)
四、解答题
15．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）;
（2）由直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数近似为样本方差,为监控该产品的生产质量,每天抽取10个产品进行检测,若出现了质量指标值在之外的产品,就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①）假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数,求
②请说明上述监控生产过程方法的合理性.
附:
16．已知四边形ABCD的外接圆面积为,且,,为钝角,
（1）求和BC;
（2）若,求四边形ABCD的面积.
17．在圆上任取一点P.过点P作x轴的菙线PD,垂足为D,点M满足.
（1）求M的轨迹的方程;
（2）设,,延长MD交于另一点N,过作的垂线交BN于点E,判断与的面积之比是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
18．在如图所示的几何体中,平面ABC,平面ABC,,记M为DC中点,平面DAC与平面EBC的交线为l.
（1）求证:平面ABC;
（2）若三棱锥的体积与几何体ABCDE的体积满足关系,P为l上一点,求当最大时,直线CD与平面PAB所成角的正弦值的最大值.
19．如果函数的导数,可记为.若,则表示曲线,直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
（1）若,且,求;
（2）已知,证明:,并解释其几何意义;
（3）证明:,.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以.选C.
2．答案：B
解析：是纯虚数,则,解得故选B
3．答案：B
解析：画出函数和的图象,有两个公共点,所以有2个零点.故选B.
4．答案：D
解析：由于,,只能取0或1,且,因此3个数值中只有一个为0,其余两个从1和1中选取.因此共有.故选:D.
5．答案：D
解析：函数在:R上为减函数所以满足解不等式组可得.故选:D.
6．答案：C
解析：由题意可得:,,
又a,b,这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后后成等比数列,可得①或②.解①得:;解②得:.故.故选:C.
7．答案：C
解析：由,知,为正三角形,设的外接圆圈心为,半径为r,则,
由球半径,,故C到平面PAB的距离,故,故选C.
8．答案：D
解析：设,又l的斜率为,则l的方程为,则,于是N为PT的中点,又,则为等腰三角形,于是,又,则l的倾斜角为,所以l的斜率为,于是NF的斜率为,故选D.
9．答案：ABD
解析：根据题意,依次分析选项:
对于A,由,则有,,故选项A可以说明事件A,B为相互独立事件;
对于B,结合独立的定义易知事件A与相互独立,再结合性质易知事件A,B为相互
独立,故选项B可行:
对于C,由易知,故事件A,B不独立;
对于D,由全概率公式可得:,
,又因为,故,所以D可行.
故选:ABD.
10．答案：ABD
解析：法一:对于A项:
,
所以的一个周期为,故A项正确;
对于B项:,
所以的图象关于对称,故B项正确;
对于CD项:
由A项知,需要研究一个周期的值域,又由B项知,只需研究半个周期的值域,故当,在区间上单调递增,,
对称性知,当时,在区间.上单调递减,,所以的值域为,故D项正确:由周期性知当时,在区间上:单调递减,当时,在区间上单调递增,故C错.故选:ABD.法二:分类讨论取绝对值写出解析式,;,,,;,,
作出的函数图像即可.
11．答案：ACD
解析：由题意知AB,AD,两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,设.
当时,,设点关于平面ABCD的对称点为,,则,连接,,则,所以,当P为与平面ABCD的交点时取等号,所以A正确.
当时,,,
则,所以,则恒为锐角,B错误.选项C:当时,,,,由,得,即,所以点P的轨迹为中平行于边BD的中位线,故平行平面,C正确.
选项D:当时,,,,由,得:,整理得,所以点P的轨迹为正方形ABCD的内切圆,其围成的区域的面积为正确.故选:ACD.
12．答案：
解析：,,,,,可得,即,,则,.
13．答案：
解析：连接,,由于M,N关于原点对称,则四边形为平行四边形,于是,又,故,,又,又由,所以,解得:.
14．答案：
解析：令得,当时,.令,得,则,
对两侧求导得,令可得,为偶函数,.从而在点处的切线方程为,即.
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题意得,,
,
（2）①如果生产状态正常,一个产品尺寸之内的概率为0.9974,
则.
②如果生产状态正常,一个产品尺寸在之外们概率只有0.0026,一天内抽取的10个零件中,发现尺寸在之外的概率只有,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有棵由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监管过程方法合理.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,.
由正弦定理:,
得:,.
或.
为钝角,故为锐角,.
当时,由题设及余弦定理得:
在中,,得:.
综上:,.
（2）,,为锐角,
,.
在中,,
.在中,由正弦定理:,得:.
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则,则,于是M的轨迹为;
（2）设,则,,
则古线AM的斜率,则直线DE的斜率,
所以直线DE的方程:,即①,
又直线BN的方程,即②
联立①②得:③,又,
代入③得:,故E的纵坐标为,
又与的面积之比为N与E的纵坐标绝对值之比,即为.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为平面ABC,平面ABC,故,又平面BEC,平面BEC,故平面BEC,又l为平面DAC与平面EBC的交线,故,因为平面ABC,所以平面ABC;
（2）因为M为DC中点,所以,由题可知,
而,故,又,故.设,,当且仅当时取等,此时,则有,故,由（1）知平面ABC,可以C为原点,,方向分别为x,y轴正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,平面PAB的法向量为,则有,可取,设直线CD与平面PAB所成角为,则,令,,当时,,故,当时取等.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）,满足,
当时,,;当时,,,符合题意.
（2）因为(C为常数),
所以,
设.则,所以在上单调递减,从而,故.
设,,则,所以在上单调递增,从而,故.
综上,.
该不等式表示:当时,曲线与直线(y轴),以及x轴
用成的“曲边梯形”面积,大于直线(y轴),以及x轴,直线围成的矩形面积,小于直线(y轴),以及x轴,直线围成的矩形面积.
（3）因为,,2,…,n.
所以
,
设,则,
所以,
故.