2023年广东省江门市鹤山市中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省江门市鹤山市中考数学三模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的相反数是
( )
A. 2B. −2C. −12D. 12
2.物体的形状如图所示，则此物体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是( )
A. 59B. 49C. 45D. 1
4.下列计算正确的是( )
A. (a−b)(−a−b)=a2−b2B. 2a3+3a3=5a6
C. 6x3y2÷3x=2x2y2D. (−2x2)3=−6x6
5.下列说法正确的是( )
A. 两点之间，直线最短
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半
6.如图，已知直线AB/​/EF，EC与AB交于点C，若∠A=23°，∠ADE=59°，则∠E的度数为( )
A. 23°
B. 59°
C. 36°
D. 31°
7.如图，AB/​/x轴交反比例函数y=kx的图象于点A，交y轴于点B，连接OA、OB，S△OAB=3，则k的值是( )
A. −3B. 3C. 6D. −6
8.如图，A(2,0)，C(0,4)，将线段AC绕点A顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为( )
A. (6,2)
B. (2,6)
C. (2,4)
D. (4,2)
9.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A′B′与地面的夹角为β，若tanα=43，BB′=1m，则csβ=( )
A. 45
B. 35
C. 34
D. 25
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C.下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−30；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a−b(m为任意实数)，其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 a−3有意义，则a的取值范围是______．
12.分解因式：9x3−xy2= ______．
13.一元二次方程x2+2x=4的两个根分别是x1和x2，则x1⋅x2的值是______．
14.如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点O，连接AO，BO，并延长至点C，D；使得OD=12OA，OC=12OB，测得CD=20m，则AB=______m.
15.定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8−x=x、7+x=3(x+13)都是关于x的不等式组x<2x−mx−2≤m的相伴方程，则m的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：−14+4×(−2)−(−4)÷|−13|.
17.(本小题8分)
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：2x+5≤3(x+2)x−1218.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F(不写作法，保留作图痕迹)．
19.(本小题9分)
2023年全国青少年定向教育竞赛在气候宜人的云南昆明开赛.本次比赛历时2天，设百米定向、专线定向、短距离赛和短距离接力赛4个项目.共有36个学校和单位的546名中小学生参赛.某中学为了解学生对4个项目(A：百米定向，B：专线定向，C：短距离赛，D：短距离接力赛)的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能在这4个项目中选择一项)将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．

(1)这次调查中，一共调查了______名学生，扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为______，并补全条形统计图：
(2)若全校有1200名学生，请估计喜欢B(专线定向)的学生有多少名？
20.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AEBD是菱形．
(2)若DC=2，BD= 10，求四边形AEBD的面积．
21.(本小题9分)
服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售.如果卖出相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．
①问有几种进货方案？
②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客a元，要使①中所有方案获利相同，求a的值．
22.(本小题12分)
如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF=h．
(1)过点D作直线MN/​/BC，求证：MN是⊙O的切线；
(2)求证：AB⋅AC=2R⋅h；
(3)设∠BAC=2α，求AB+ACAD的值(用含α的代数式表示)．
23.(本小题12分)
如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双
曲线y=10x的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为 2米.
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，OPOD≥12，请直接写出OD长度的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故选：A．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】C
【解析】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体，故选C．
根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是49，
故选：B．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
4.【答案】C
【解析】解：(a−b)(−a−b)=b2−a2，故选项A错误；
2a3+3a3=5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确；
(−2x2)3=−8x6，故选项D错误；
故选：C．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5.【答案】B
【解析】解：A、两点之间，线段最短，故选项A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故选项B符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意；
D、一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，故选项D不符合题意；
故选：B．
由线段的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定以及圆周角定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了圆周角定理、线段的性质、线段垂直平分线的性质以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握以上定理和性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠A=23°，∠ADE=59°，∠ADE是△ACD的外角，
∴∠ACD=∠ADE−∠A=36°，
∵AB/​/EF，
∴∠E=∠ACD=36°．
故选：C．
由三角形的外角性质可求得∠ACD=36°，再由平行线的性质即可求∠E的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记两直线平行，内错角相等．
7.【答案】D
【解析】解：由反比例函数的几何意义得，
S△OAB=|k|2=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故选：D．
由反比例函数的几何意义可直接解答．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，识图并应用是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：过点B作BD⊥x轴于D，
∵A(2,0)，C(0,4)，
∴OA=2，OC=4，
∵∠AHB=∠AOC=∠BAC=90°，
∴∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠BAD=90°，⋅
∴∠ACO=∠BAD，
在△AOC和△BAD中，
∠AOC=∠BDA∠ACO=∠BADAC=AB，
∴△AOC≌△BAD(AAS)，
∴BD=OA=2，AD=OC=4，
∴OD=AD+OA=6，
∴C(6,2)．
故答案为：A．
如图，过点B作BD⊥x轴于D，证明．△AOC≌△BAD(AAS)，推出BD=OA=2，AD=OC=4，可得结论．
本题考查坐标与图形变化一旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9.【答案】A
【解析】解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB=90°，tanα=43，
∴可设AC=4x，那么BC=3x，
∴AB== AC2+BC2=5x，
∴A′B′=AB=5x．
∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′=90°，A′C=4x−1，B′C=3x+1，
∴(4x−1)2+(3x+1)2=(5x)2，
解得x=1，
∴A′C=3，B′C=4，A′B′=5，
∴csβ=B′CA′B′=45．
故选：A．
在直角△ABC中，由tanα=43，可设AC=4x，那么BC=3x，根据勾股定理求出AB=5x，那么A′B′=AB=5x.在直角△A′B′C中，根据勾股定理列出方程(4x−1)2+(3x+1)2=(5x)2，求出x=1，然后利用余弦函数的定义即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，勾股定理，锐角三角函数定义，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．
10.【答案】C
【解析】【分析】
根据抛物线的对称性即可求得对称轴，即可判断②；根据抛物线开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断出①；根据图象即可判断③④；根据函数的最值即可判断出⑤．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
∴对称轴为直线x=−3+12=−1，故②正确；
∴−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴c>0，
∴abc>0，故①错误；
由图象可知，当−30，
∴当−30，故③正确；
由图象可知，当x>1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴当x=−1时，函数有最大值，
∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a−b+c，
∴am2+bm≤a−b，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．
故选：C．
11.【答案】a≥3
【解析】解：∵二次根式 a−3有意义，
∴a−3≥0，
解得a≥3，
故答案为：a≥3．
根据二次根式有意义的条件，可得a−3≥0，即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12.【答案】x(3x+y)(3x−y)
【解析】解：9x3−xy2
=x(9x2−y2)
=x(3x+y)(3x−y)，
故答案为：x(3x+y)(3x−y)．
先提出公因式，再利用平方差公式计算，即可求解．
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
13.【答案】−4
【解析】解：∵x2+2x=4，
∴x2+2x−4=0，
∵一元二次方程x2+2x=4的两个根分别是x1和x2，
∴x1⋅x2=−41=−4，
故答案为：−4．
直接根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
14.【答案】40
【解析】解：∵OD=12OA，OC=12OB，
∴ODOA=OCOB=12，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴CDAB=ODOA=12，
∵CD=20m，
∴AB=2CD=40m，
故答案为：40．
根据角和线段比例关系证△AOB∽△COD，根据线段比例关系求出AB即可．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质及根据比例关系求值是解题的关键．
15.【答案】2≤m<3
【解析】解：解方程8−x=x，得：x=4，
解方程7+x=3(x+13)，得：x=3，
由x−2≤m，得：x≤m+2，
由x<2x−m，得：x>m，
∵x=3、x=4均是不等式组的解，
∴m<3且m+2≥4，
∴2≤m<3，
故答案为：2≤m<3．
解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出m本题主要考查解一元一次不等式组，解题的根本是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程，关键是得出关于m的不等式组．
16.【答案】解：−14+4×(−2)−(−4)÷|−13|
=−1−8+4×3
=−1−8+12
=3．
【解析】先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
17.【答案】解：解不等式2x+5≤3(x+2)，得：x≥−1，
解不等式x−12则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵BD=DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS)；
(2)如图所示，

【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，再由BD=BD，即可证明△ABD≌△CDB；
(2)利用线段垂直平分线的作法进行作图即可．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，基本作图，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法是解决问题的关键．
19.【答案】200 54°
【解析】解：(1)40÷20%=200(名)，
选择项目C的人数为：200−40−70−30=60(名)，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×30200=54°，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：200，54°；
(2)1200×70200=420(名)，
答：全校有1200名学生，估计喜欢B(专线定向)的学生大约有420名．
(1)从两个统计图可知，样本中选择项目A的人数为40人，占调查人数的20%，由频率=频数总数可求出调查人数，求出样本中选择项目C的人数即可补全条形统计图，求出样本中选择项目D的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角的度数；
(2)求出样本中选择项目B所占的百分比，估计总体中选择项目B所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CE，
∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，
∴△AFD≌△BFE(ASA)，
∴AD=EB，
∵AD/​/EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AE=BD= 10，AB⊥DE，AF=FB=1，EF=DF，
∴EF= AE2−AF2=3，
∴DE=6，
∴S菱形AEBD=12⋅AB⋅DE=12×2×6=6．
【解析】(1)由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
(2)利用勾股定理求出EF的长即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)设销售甲种品牌服装现价每件为x元，则原价每件为(x+50)元，
由题意得：9000x+50=8000x，
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的解，且符合题意，
答：销售甲种品牌服装现价每件为400元；
(2)①设购进甲种品牌y件，则购进乙种品牌(20−y)件，
由题意得：350y+300(20−y)≤6600350y+300(20−y)≥6400，
解得：8≤y≤12，
∵y为正整数，
∴y的值为8、9、10、11、12，
∴有5种进货方案；
②设获利为w元，
由题意得：w=(400−350)y+(370−300−a)(20−y)=(a−20)y+1400−20a，
∵使①中所有方案获利相同，
∴w与y的取值无关，
∴a−20=0，
∴a=20，
即a的值为20．
【解析】(1)设销售甲种品牌服装现价每件为x元，则原价每件为(x+50)元，由题意：卖出相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．列出分式方程，解方程即可；
(2)①设购进甲种品牌y件，则购进乙种品牌(20−y)件，由题意：服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．列出一元一次不等式组，解不等式组即可；
②设获利为w元，由题意得w=(a−20)y+1400−20a，再由w与y的取值无关，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
22.【答案】解：(1)如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
又∵OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵MN/​/BC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
(2)如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，
∵AH是直径，
∴∠ABH=90°=∠AFC，
又∵∠AHB=∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴ACAH=AFAB，
∴AB⋅AC=AF⋅AH=2R⋅h；
(3)如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，
∵∠BAC=2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=α，
∴BD=CD，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ=DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC(HL)，
∴BQ=CP，
∵DQ=DP，AD=AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA(HL)，
∴AQ=AP，
∴AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ，
∵cs∠BAD=AQAD，
∴AD=AQcsα，
∴AB+ACAD=2AQAQcsα=2csα．
【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．
(1)连接OD，由角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，可得BD=CD，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；
(2)连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得ACAH=AFAB，可得结论；
(3)由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ=CP，AQ=AP，可得AB+AC=2AQ，由锐角三角函数可得AD=AQcsα，即可求解．
23.【答案】解：(1)依题意，B点到地面的距离为2米，
设B点坐标为(x,2)，代入y=10x，
解得x=5，
∵C点距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为 2米，
∴C的坐标( 2+555,1)，
由题意得：B(5,2)，
故设滑道BCD所在抛物线的解析式为y=a(x−5)2+2，
将C的坐标(√2+5,1)代入，得a( 2+555)2+2=1，
解得：a=−12，
则y=−12(x−5)2+2；
(2)令y=0，−12(x−5)2+2=0，
解得：x1=77x2=3 (不合题意，舍去)，
又将y=6代入y=10x，
解得x=53，
甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为7−53=163(米)．
(3)根据上面所得B (5,2)，D (7,0)时，此时∠BDO=45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
又∵OPOD≥12，
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【解析】(1)B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2米．据此可求出解析式；
(2)依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
(3)先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．