山西省晋城市高平市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析）

这是一份山西省晋城市高平市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．化简分式，下列结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．某校八年级（4）班用150元购买了某品牌乒乓球个，该品牌乒乓球的单价是元/个，其函数关系式为，在这个问题中，变量是（ ）
A．150，xB．150，yC．x，yD．，
4．分式与的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
5．若将分式中的a，b都扩大为原来的4倍，则该分式的值（ ）
A．不变B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的D．扩大到原来的16倍
6．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
8．若计算分式的结果为整式，则中的式子可以是（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙两位打字员承担一项打字任务，已知有如下信息：
信息一：甲单独完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4小时；
信息二：甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等．
根据以上信息可知，乙单独完成这项任务需要（ ）
A．10小时B．12小时C．14小时D．16小时
10．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．当分式的值为0时，的值为 ．
12．当时，函数的值为 ．
13．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
14．某校组织学生进行劳动实践活动，用500元购进甲种劳动工具，用1200元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具的数量是甲种的2倍，且单价贵了4元，设甲种劳动工具的单价为元，则满足的方程为 ．
15．已知A、B两地相距，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别为、，当甲、乙两人第二次相距时，行驶时间为 h．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随通话时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：
(1)自变量是______，因变量是______；
(2)写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式；
(3)若小明通话15分钟，则需付话费多少元？
(4)若小明某次通话后，需付话费7.5元，则小明通话多少分钟？
19．下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：
（第1步）
（第2步）
（第3步）
（第4步）
（第5步）
（第6步）
任务：
(1)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______．
(2)以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第______步，错误的原因是______，并直接写出正确的结果：_______．
(3)除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议．
20．为了开展“红色教育”主题学习活动，提高学生的爱国主义意识，某校周末组织学生去太原解放纪念馆研学，已知该校到纪念馆全程共，由于天气原因，校车的平均速度比平时正常行驶的平均速度少，而所用时间是平时正常行驶所用时间的，求校车平时正常行驶的速度．
21．数学活动课上，李老师在黑板上写了一个分式的正确演算结果，随后用手捂住了其中的一部分，形式如下：（），求李老师手捂住的部分化简后的结果．
22．综合与实践
已知分式．
(1)试化简这个分式；
(2)把该分式化简后的结果的分子与分母同时减去2得到分式，当时，分式的值比原来分式的值变大了还是变小了？请判断并说明理由；
(3)若的值是整数，且也为整数，求出符合条件的所有值的和．
23．综合与探究
如图，在中，，，长方形的边在边上，边在边上，点与点重合，，，长方形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向作匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设长方形运动的时间为，长方形与重叠部分的面积为．
(1)当时，判断点是否在线段上？通过计算说明理由；
(2)当点F运动到线段上时，求长方形的运动时间；
(3)当时，求与之间的函数关系式及当，时的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】
本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的意义，根据分式的分母不等于零，求解即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选：C．
2．A
【分析】
本题考查了同分母分式的减法，解题的关键是掌握同分母分式相减，分母不变，只把分子相减．据此即可解答．
【解答】解：
，
故选：A．
3．C
【分析】本题是关于函数的基础题．根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解．
【解答】解：函数关系式为，在这个问题中，变量是x，y．
故选：C．
4．B
【分析】
此题考查了分式的最简公分母，把分式的分母因式分解后，根据最简公分母的定义即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴分式与的最简公分母是
故选：B．
5．A
【分析】
本题主要考查分式的性质，化简．根据分式的性质，将，都扩大原来的4倍，在进行化简计算即可．
【解答】
解：根据题意得，变形得，
，
∴该分式的值不变；
故选：A．
6．C
【分析】
解分式方程得：，根据方程由增根，得到，即可求解，
本题考查了，根据分式方程解的情况求值，解题的关键是：根据方程有增根，列出等量关系式．
【解答】解：
去分母，得：，即：，
∵有增根，
∴，即：，解得：，
故选：．
7．D
【分析】
根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数．
【解答】
解：
故选：D．
【点拨】
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．
8．B
【分析】
本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【解答】
解：
运算的结果为整式，
中式子一定含有的单项式，
故只有B项符合．
故选：B
9．D
【分析】
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程求出甲单独完成任务的时间是解决本题的关键．设乙单独完成任务需小时，甲单独完成任务需小时，根据甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等得方程，求解即可．
【解答】
解：设乙单独完成任务需小时，甲单独完成任务需小时，
由题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
所以乙单独完成这项任务需要16小时
故选：D
10．C
【分析】解分式方程，根据“解为正数”得到，解不等式，求出范围，令，求出增根，进而求出对应的的值，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根．
【解答】
解：
去分母，得：，
解得：，
解为正数，
，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故选：．
11．
【分析】
本题考查了分式值为零，由分式值为零的条件得，求出的值，代入分母检验，即可求解；的理解分式的条件为且是解题的关键．
【解答】解：由题意得
，
解得：，
当时，
；
故答案：．
12．4
【分析】
本题考查了求函数值，把代入求解即可．
【解答】解：把代入，得
，
故答案为：4．
13．
【分析】
本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程．
【解答】解：根据规律知，第⑥个方程为：，
即，
故答案为：．
14．
【分析】
此题考查了列分式方程解决实际问题，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．根据乙种劳动工具的数量是甲种的2倍列出方程即可．
【解答】解：设甲种劳动工具的单价为元，则乙种劳动工具的单价是元，
由题意可得，
故答案为：
15．
【分析】
本题主要考查了列分式，解题的关键是理解题意，根据速度、路程和时间的关系，列出分式即可．
【解答】解：根据题意可知，甲、乙两人第二次相距时，两人所行驶的路程之和为，
两人的速度之和为，
行驶的时间为．
故答案为：．
16．（1）；（2）原方程的解为
【分析】
本题考查了实数的混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则，以及解分式方程的方法和步骤．
（1）先将绝对值，0次幂，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．
【解答】（1）解：
．
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
原方程的解为．
17．，
【分析】
本题考查了分式的化简求值；
分子、分母能因式分解的进行因式分解，同时把除法变成乘法，然后约分即可得到最简结果，最后再代入求值．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
18．(1)t；y
(2)电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式是
(3)需付话费2.25元
(4)小明通话50分钟
【分析】本题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力．
（1）根据函数的定义即可确定自变量与因变量；
（2）根据表格信息可得每通话1分钟需付话费0.15元可求得此题结果；
（3）将代入该函数解析式进行求解即可；
（4）将代入该函数解析式进行求解即可．
【解答】（1）解：由题意可得，自变量是t，因变量是y，
故答案为：t，y；
（2）解：由题意可得，每通话1分钟需付话费0.15元，
∴电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式是；
（3）解：当时，得，
故小明通话15分钟，则需付话费2.25元；
（4）解：当时，得，
解得，
故小明通话50分钟．
19．(1)3；分式的基本性质
(2)6；去括号时，括号里的第二项没有乘3；
(3)分式化简的结果要化成最简分式或整式等
【分析】
此题考查的是分式的运算法则，正确的按照化简和运算法则进行运算是解决此题关键．
（1）根据分式通分的步骤进行判断即可；
（2）根据去括号法则解答，按照分式的化简步骤重新计,即可；
（3）分式化简的结果要化成最简分式或整式等．
【解答】（1）解：以上化简过程中，第3步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：3，分式的基本性质；
（2）解：以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第6步，错误的原因是去括号时，括号里的第二项没有乘3，
正确的解答过程如下：

；
（3）解：答案不唯一，如：分式化简的结果要化成最简分式或整式等．
20．该校车平时正常行驶的速度是
【分析】
本题考查了分式方程的应用；设校车平时正常行驶的速度为，则可表示出校车这次的平均速度，根据等量关系：这次所用时间是平时正常行驶所用时间的，列出分式方程并求解即可；找到等量关系是解题的关键．
【解答】解：设校车平时正常行驶的速度为，则校车这次的平均速度为，
根据题意得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该校车平时正常行驶的速度是．
21．1
【分析】
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，根据李老师用手捂住的部分的式子为进行计算即可．
【解答】
解：李老师用手捂住的部分的式子为
．
22．(1)
(2)变大了．理由见解析
(3)的所有整数值的和为22
【分析】
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则、运算顺序及分式有无意义的条件是解决本题的关键．
（1）先计算括号里面的，再算除法得结论；
（2）计算，根据计算结果与0的关系说明变大变小的原因；
（3）先把变形为整数与分式和的形式，再根据为整数先确定的值，再求出符合的值的和．
【解答】（1）
．
（2）变大了．
理由：．
．
，
，，
，
，
，
分式的值比原来分式的值变大了．
（3）．
为整数，也是整数，
，，，．
，且，
的值为4或5或1或6或9或，
的所有整数值的和为．
23．(1)点在线段上，理由见解析
(2)长方形运动的时间为6s
(3)与之间的函数关系式为及，当时，；当时，
【分析】
本题考查了求动点问题的函数关系式，等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论．
（1）由题意可得，再根据，即可得点在线段上；
（2）当点F运动到线段上时，可得，从而求得，则可求得长方形的运动时间；
（3）分两种情况：当时，此时重叠部分图形为梯形，过点作于点，
求出梯形的上底和下底即可求得梯形面积；当时，此时重叠部分为三角形，由三角形面积公式易得，最后综合即可；把x的值代入所求函数解析式中即可求得函数值．
【解答】（1）解：如图1，长方形运动的速度为，且，
．
，，
．
，
∴．
，
点在线段上．
（2）解：如图2，当点F运动到上时，
，
．
，
，
．
，
，
．
点运动的速度为，
点运动的时间，
长方形运动的时间为6s．
（3）解：分两种情况：
①当时，如图3，设交于点G，过点作于点，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
，当时，．
②当时，如图4，设与交于点G，．
，
，
，当时，．
综上所述，与之间的函数关系式为及；
当时，；当时，．
通话时间t/分钟
1
2
3
4
…
电话费y/元
0.15
0.30
0.45
0.6
…