陕西省咸阳市秦都区咸阳市秦都中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（含解析）

这是一份陕西省咸阳市秦都区咸阳市秦都中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．某科学家研究发现人类头发的直径是0.0008分米．将0.0008用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中：①同角或等角的补角相等；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知，则n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，已知直线和相交于点平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（ ）
A．6B．5C．4D．3
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若，则 ．
10．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为 m．
11．若，则□内应填的代数式是 ．
12．给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式，当时，可得，计算得；请你再给x赋不同的值，可计算得 ．
13．如图，若将三个含的直角三角板的直角顶点重合放置，若，，则的度数为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算： ．
15．如图，直线和直线相交于点O，若，求的度数．
16．已知，求的值．
17．将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示）

18．已知是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，求．
19．一个角的补角比这个角的余角3倍还多，求这个角的度数．
20．先化简，再求值：．其中，．
21．用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
22．规定新运算“”：，如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
23．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．

(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式）
(2)若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
24．阅读下面的材料：
；
；
……
利用上面材料中的方法解答下列各题：
(1)①____________；
②________________________；
(2)计算：．
25．如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
26．【知识生成】
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．

例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积：
方法1：____________；方法2：____________；
由此可以得出之间的等量关系是____________；
【知识迁移】
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（2）如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；
（3）已知，利用（2）的结论求的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【解答】解：．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义：两个角有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，那么，这两个角叫做对顶角，据此即可判断求解，掌握对顶角的定义是解题的关键．
【解答】解：、与是对顶角，该选项符合题意；
、与不是对顶角，该选项不符合题意；
、与不是对顶角，该选项不符合题意；
、与不是对顶角，该选项不符合题意；
故选：．
3．D
【分析】
本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键．
根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：．
故选：D．
4．B
【分析】
根据补角的性质判定①；根据垂线公理判定②；根据垂线段最短判定③；根据点到直线的距离概念判定④．
【解答】解：①同角或等角的补角相等，故①正确；
②在同一平面内，过直线上（或直线外）一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②错误；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确；
④从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故④错误；
∴正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查补角的性质，垂线公理，垂线段最短，点到直线的距离概念．熟练掌握相关性质定理及概念是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题关键是掌握同底数幂的除法法则，将化成与除数底数相同的幂，再根据同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”，即可求解．
【解答】解：，
，
，
故选：B．
6．A
【分析】
本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义是解决本题的关键．根据，可得，从而得到的度数，再由平分，即可求解．
【解答】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵平分，
∴,
∴．
故选：A．
7．C
【分析】
本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意；
故选C．
8．D
【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可．
【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
则阴影面积的底为，高之和为，
∴阴影面积为，即，
∵大正方形的面积为，
∴，即小正方形的面积为3，
故选：D．
9．3
【分析】
本题主要考查负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
10．4（答案不唯一）
【分析】此题考查了点到直线的距离、垂线段最短等知识，熟知垂线段最短是解题的关键．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴点P到直线的距离小于．
∴点P到直线的距离可能为，
故答案为：4（答案不唯一）．
11．
【分析】
本题考查了单项式乘单项式，单项式除以单项式．注意将求□内应填的代数式转化为单项式的除法来解答．
根据乘除是互逆运算，此题实际上求的值，所以根据单项式的除法运算法则进行计算即可．
【解答】
解：□，
□．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握赋值法的意义，根据题意，当时，，给赋值，使，则，再把代入，即可．
【解答】由题意得：当时，，
给赋值，使得，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．30
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，三角板中角度的计算，得出是解题的关键．
根据题意可知，代入数值求解即可．
【解答】如图，
三个含的直角三角板的直角顶点重合放置，，，
故答案为：30．
14．
【分析】
本题考查有理数混合运算，负整数指数幂与零次幂．熟练掌握混合运算顺序与法则是解题的关键．
先计算乘方，再计算除法，然后计算加减即可．
【解答】解：原式
．
15．
【分析】
本题侧重考查对顶角的性质，邻补角定义，掌握对顶角的性质和邻补角定义是解题的关键．
根据对顶角性质得，再根据，求得，即可由求解．
【解答】解：因为与是对顶角，
所以．
因为，
所以，
所以
16．5
【分析】本题考查幂的运算法则，解题的关键是熟练运用幂的运算法则和平方差公式，本题属于基础题型．根据幂的运算法则和平方差公式即可求出答案．
【解答】解：由题意可得，
所以，
所以,
故答案为5．
17．
【分析】
根据长方体的体积长宽高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【解答】
解：根据题意，得
．
答：每块大理石的体积为．
【点拨】
本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法的运算法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
18．．
【分析】
此题主要考查了整式的乘除以及整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用整式的乘法运算法则计算得出，进而利用整式的加法法则计算即可得出答案．
【解答】解：由题意可得
，
，
所以．
19．这个角的度数为
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设这个角的度数是，则
答：这个角的度数为
【点拨】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键．
20．，2024
【分析】
本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并同类项，然后计算除法运算即可．
【解答】解：原式
，
将，代入，
原式
．
21．(1)；
(2)．
【分析】
此题考查了运用乘法公式进行有理数计算的能力，关键是能对算式进行准确变形并运用乘法公式进行计算．
（1）先逆用平方差公式计算，再计算乘法即可；
（2）将原式变形为，再运用平方差公式进行计算．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
22．(1)8；
(2)．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答；
（2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答．
【解答】（1）解：由可得
．
（2）解：由可得．
因为，
所以,
解得．
23．(1)平方米
(2)元
【分析】
（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可．
【解答】（1）解：
平方米，
∴铺设的草坪的面积为平方米；
（2）解：当时，平方米，
∴铺设草坪所需要的费用为元．
【点拨】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
24．(1)①；②，
(2)1
【分析】
本题考查利用平方差公式进行有理数简便计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）①利用平方差公式计算即可；②先变形为，再利用平方差公式计算即可；
（2）先运用平方差公式计算乘法，再计算加减即可．
【解答】（1）解：①；
②；
（2）解：
．
25．(1)
(2)
【分析】
本题目考查垂直的定义，角平分线有关的角的计算，邻补角有关的角的计算．熟练掌握角的和差倍分的计算是解题的关键．
（1）根据，，问题转化为求的度数．平分，则．
（2）设，则，，，再根据，则，求解得出x值，最后根据求解即可．
【解答】（1）
解：，
．
，
，
，
平分，
．
（2）
解：，
．
∵，
设，则，
∴，
平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
26．（1），（两空顺序可互换）；．（其他正确形式也可）
（2）体积表示为：或，恒等式为：
（3）9
【分析】
本题考查完全平方公式的几何意义：能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
（1）利用面积相等推导公式；
（2）利用体积相等推导；
（3）利用（2）中结论进行变形计算即可．
【解答】
解：（1）方法一：根据图②知阴影边长为的正方形，
面积为：，
方法二：根据图②知阴影面积是边长为的正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，
面积为：，
，、之间的等量关系是；
（2）根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：，
图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：，
；
（3）由（2）知：，
，
，，
，
．