河北省邯郸市2024届高三下学期第三次调研考试考试（一模）数学 Word版含解析

这是一份河北省邯郸市2024届高三下学期第三次调研考试考试（一模）数学 Word版含解析，共23页。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．
1 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知向量与共线，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. 6D. 192
5. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
7. 已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线，则（ ）
A. 的取值范围是B. 的焦点可在轴上也可在轴上
C. 的焦距为6D. 的离心率的取值范围为
10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A. 共有18个顶点B. 共有36条棱
C. 表面积为D. 体积为
11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 若为边中点，且，则的面积的最大值为
C. 若是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为__________．
13. 从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则__________．
14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
17. 在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．
（1）求四棱锥的高；
（2）求二面角的正弦值．
18. 已知椭圆经过，两点．
（1）求的方程；
（2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
19. 已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2
邯郸市2024届高三年级第三次调研考试
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合结合交集的概念即可得解.
详解】，，所以．
故选：C.
2. 若复数为纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简，再利用复数的分类即可得解.
【详解】因为，
又为纯虚数，所以，解得.
故选：C.
3. 已知向量与共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案.
【详解】因为，所以，解得，
所以．
故选：B.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. 6D. 192
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
所以的系数为．
故选：A.
5. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程求出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以．
故选：D
6. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】过及作准线垂线，利用抛物线定义把周长问题转化为的最小值问题，利用三点共线时距离和最小求解即可.
【详解】由题知，准线方程为.如图，过作准线的垂线，垂足为，
过作准线的垂线，垂足为，
所以的周长，
当为与抛物线的交点时等号成立，即周长的最小值为13.
故选：A
7. 已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解.
【详解】因为是偶函数，，在上单调递减，
所以在上单调递减．，，
因为，，所以，，
所以，
所以，故．
故选：B.
8. 已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和几何关系，并在所在平面内建立平面直角坐标系，确定点的位置和坐标，即可求解.
【详解】由题意知与均为等边三角形，连接，，则，，是二面角的平面角，

所以，又易知，所以是等边三角形．
设为的外心，为的中点，连接，则点O，P，Q都在平面内，建立平面直角坐标系如图．
设，则，，所以．
又，所以，因为，易知，
则，，从而，．

故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合几何关系，建立如图所示的平面直角坐标系，转化为平面几何问题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线，则（ ）
A. 的取值范围是B. 的焦点可在轴上也可在轴上
C. 的焦距为6D. 的离心率的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围.
【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；
对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．
故选：AC.
10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A. 共有18个顶点B. 共有36条棱
C. 表面积为D. 体积为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案.
详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；
该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，
故该多面体的表面积为，故C错误；
正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为，
过作平面于，连接，如下图：
因为平面，且平面，所以，
正方形中，由边长为，则对角线长为，则，
在中，，则，
正八面体的体积为，
切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，
所以该阿基米德多面体的体积为，故D正确．
故选：BD.
11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C. 若是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10
【答案】ABC
【解析】
【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意知，整理得，
由余弦定理知，，，．
对A，
，
，，，
的取值范围为，故A正确；
对B，为边的中点，，
则，
，当且仅当时，等号成立，
，故B正确；
对于C，，
是锐角三角形，，
，，故C正确；
对于D，由题意得，
即，
整理得，即，
，
当且仅当时，等号成立，故D错误．
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用正弦函数的对称性与周期性得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为的图象关于点对称，
所以，则，故，
又，所以，，，…．.
故答案为：（答案不唯一）.
13. 从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意分析离散型随机变量的所有取值，求出概率分布列计算期望即可．
【详解】从分别写有数字的张卡片中任取张卡片的所有种结果中，
，
张卡片上的数字之和分别为：，
所以．
故答案为：
14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解.
【详解】若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于等于2，
所以，又当，时，，
所以的最大值为2．
若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于2，
所以．
综上，的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意首先得结合是公差为的等差数列可求得，根据之间的关系即可进一步求解；
（2）首先得，由裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，即．
当时，，
又适合上式，
所以．
【小问2详解】
，
故
．
16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）证明见解析
（2），2.8千人．
【解析】
【分析】（1）求出，代入求出相关系数即可；
（2）根据公式求出，再求出，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可.
【小问1详解】
由题意知，，
，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
【小问2详解】
，，
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．
17. 在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．
（1）求四棱锥的高；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）过作的平行线，与的延长线交于点，连接，，通过证明，来证明为四棱锥的高，从而求解；
（2）建立空间直角坐标系求解即可.
【小问1详解】
如图，过作的平行线，与的延长线交于点，连接，．
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，，，，
四边形为矩形，，
为棱的中点，，从而，
又因为，，平面，平面，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面．
为四棱锥的高，即，
四棱锥的高为；
【小问2详解】
由（1）知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则可取，
设是平面的法向量，
则可取，
所以，
所以二面角的正弦值为.
18. 已知椭圆经过，两点．
（1）求的方程；
（2）若圆两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】（1）依据椭圆经过两点，将点的坐标代入椭圆方程，待定系数法解方程即可；
（2）设其中一条的斜截式方程，首先由直线与圆相切，得出直线的斜率与截距关系；再设而不求，用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长，再利用条件知两弦垂直，故四边形的面积，利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数，利用函数求最值.
【小问1详解】
因为过点，，
所以解得
故的方程为．
【小问2详解】
由题知的斜率存在且不为0．
设．
因为与圆相切，所以，得．
联立与的方程，可得，
设，，则，．
所以，
将代入，可得．
用替换，可得．
四边形的面积．
令，则，可得，
再令，，则，可得，
即四边形面积的最小值为．
19. 已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导数，继而可得切线斜率为在的导数值，由，结合直线的点斜式，可求出切线方程；
（2）（i）将问题转化为与有三个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；
（ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论.
【小问1详解】
，
所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
（i）由，得，该方程有一根为，且，
所以即有3个不同的实数根，且这3个实数根均不为．
令，则，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，且当无限趋近于时，且趋近于0，
当从0的左侧无限趋近于0时，趋近于，当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于，
当无限趋近于时，的增速远大于的增速，所以趋近于．
故的大致图象如图所示：
又，所以当时，直线与曲线有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标均不为，所以的取值范围为．
（ii）由（i）知，，所以，，
所以，则，
要证，只需证，
不妨设，所以，所以，则只需证．
令，则，令，
则当时，，
所以上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数在某点处切线方程、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于的不等式恒成立.
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2