武汉市 2023 届高中毕业生四月调研考试数学试卷

这是一份武汉市 2023 届高中毕业生四月调研考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 阅读下段文字等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
武汉市教育科学研究院命制
本试题卷共 4 页,22 题, 全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
⋆ 祝考试顺利 ⋆
注意事项：
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位 置。
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A = {x ∣ x2-x - 6 < 0{,B = {x ∣ 2x + 3 > 0}, 则A ∩ B =
A.（-2,-
2. 若复数 是纯虚数, 则实数 a =
A. - B. C. - D.
3. 已知 sin(α + = , 则 sin（2α + =
A. B. - C. D. -
4. 正六边形ABCDEF 中, 用 和 表示 , 则 =
2 —— 1 —— 1 —— 2 —— 2 —— 2 —— 1 —— 1 ——
A. - 3 AC + 3 AE B. - 3 AC + 3 AE C. - 3 AC + 3 AE D. - 3 AC + 3 AE
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理” ,1852 年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解 法传至欧洲.1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理, 因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题. 现有这样一个问题: 将正整 数中能被 3 除余 1 且被 2 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列, 构成数列 {an{, 则 a10=
A. 55 B. 49 C. 43 D. 37
6. 设抛物线 y2= 6x 的焦点为F, 准线为 l,P 是抛物线上位于第一象限内的一点, 过P 作 l 的垂线, 垂足为 Q, 若 直线 QF 的倾斜角为 120°, 则 |PF | =
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
7. 阅读下段文字:“已知 2 为无理数, 若 ( 2 ) 2 为有理数, 则存在无理数 a = b = 2 , 使得 ab 为有理数; 若 ( 2 ) 2 为无理数, 则取无理数 a = (、2) 2 ,b = 2 , 此时 ab= ( 2) 2 2 = ( 2 ) 2⋅ 2 = ( 2 )2= 2 为有理数. ”依据 这段文字可以证明的结论是
A. ( 2) 2 是有理数 B. ( 2) 2 是无理数
C. 存在无理数 a,b, 使得 ab 为有理数 D. 对任意无理数 a,b, 都有 ab 为无理数
8. 已知直线 y = kx + t 与函数 y = Asin(ωx + φ) (A > 0,ω > 0) 的图象恰有两个切点, 设满足条件的 k 所有可 能取值中最大的两个值分别为 k1 和 k2 , 且 k1> k2 , 则
A. > B. < < C. < < D. <
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的 得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分。
9. 某市 2022 年经过招商引资后, 经济收人较前一年增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该市的经济收人的 变化情况, 统计了该市招商引资前后的年经济收人构成比例, 得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是经济收入构成比例
A. 招商引资后, 工资性收人较前一年增加
B. 招商引资后, 转移净收人是前一年的 1.25 倍
C. 招商引资后, 转移净收人与财产净收人的总和超过了该年经济收人的
D. 招商引资后, 经营净收人较前一年增加了一倍
10. 椭圆 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点和一个顶点在圆 x2+y2-5x - 4y + 4 = 0 上, 则
该椭圆的离心率的可能取值有
A. B. C. D.
1 1 2 5 5
2 4 5 5
11. 函数y = kx2+1 ex 的图象可能是
A.
B.
C.
D.
12. 三棱雉P - ABC 中,AB = 2 2 ,BC = 1,AB ⊥ BC, 直线PA 与平面 ABC 所成的角为 30°, 直线PB 与平面
ABC 所成的角为 60°, 则下列说法中正确的有
A. 三棱雉P -ABC 体积的最小值为
B. 三棱雉P -ABC 体积的最大值为
C. 直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时, 二面角P -BC -A 的平面角为锐角
D. 直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时, 二面角P -AB - C 的平面角为钝角
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。
13. (x - 1) (2x + 1)6 的展开式中含 x2 项的系数为
14. 半正多面体亦称“阿基米德体” , 是以边数不全相同的正多边形为面的多面体. 如图, 将正方体沿交于一顶 点的三条棱的中点截去一个三棱雉, 如此共可截去八个三棱雉, 得到一个有十四个面的半正多面体, 它的各 棱长都相等, 其中八个面为正三角形, 六个面为正方形, 称这样的半正多面体为二十四等边体.
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为
15. 直线 l1 :y = 2x 和 l2 :y = kx + 1 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形, 写出满足条件的 k 的两个可能取值和 (写对一个得 3 分, 写对两个得 5 分)
16. 在同一平面直角坐标系中,P,Q 分别是函数f(x) = axex-ln(ax) 和g(x) = 图象上的动点, 若对 任意 a > 0, 有 |PQ| ≥m 恒成立, 则实数m 的最大值为
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分)
记数列 {an{的前n 项和为 Sn, 对任意n ∈ N*, 有 Sn=n an+n - 1 .
(1) 证明:{an{是等差数列;
(2) 若当且仅当n = 7 时,Sn 取得最大值, 求 a1 的取值范围.
18. (12 分)
设 △ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且有 2sin（B + = .
(1) 求角A;
(2) 若BC 边上的高h = a, 求 csBcsC.
19. (12 分)
如图, 在边长为 4 的正三角形 ABC 中,E,F 分别为边 AB,AC 的中点. 将 △AEF 沿EF 翻折至 △A1EF, 得到四 棱雉A1-EFCB,P 为A1C 的中点.
(1) 证明:FP ⎳ 平面A1BE;
(2) 若平面A1EF ⊥ 平面EFCB, 求直线A1F 与平面BFP 所成的角的正弦值.
20. 中学阶段, 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中, 还体现在概率问题 中. 例如, 甲乙两人进行比赛, 若甲每场比赛获胜概率均为 , 且每场比赛结果相互独立, 则由对称性可知, 在 5 场比赛后, 甲获胜次数不低于 3 场的概率为 . 现甲乙两人分别进行独立重复试验, 每人抛郑一枚质地 均匀的硬币.
(1) 若两人各抛郑 3 次, 求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率;
(2) 若甲抛郑 (n + 1) 次, 乙抛掷n 次,n ∈ N* , 求抛郑结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.
21. (12 分)
过点 (4,2) 的动直线 l 与双曲线E: - = 1(a > 0,b > 0) 交于M,N两点, 当 l 与 x 轴平行时,|MN | = 4 2 ,
当 l 与y 轴平行时,|MN | = 4 3 .
(1) 求双曲线E 的标准方程;
(2) 点P 是直线y = x + 1 上一定点, 设直线PM,PN 的斜率分别为 k1 ,k2 , 若 k1k2 为定值, 求点P 的坐标.
22. (12 分)
已知函数f(x) = xlnx - , 其中 k > 0.
(1) 证明:f(x) 恒有唯一零点;
(2) 记 (1) 中的零点为 x0 , 当 0

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