【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）满足对任意有且严格递增的数列的个数为（ ）
A．0B．1C．无穷多个D．前三个答案都不对
【答案】B
【分析】由题设可得，故可求，故可判断符合条件的数列的个数.
【详解】设，根据题意，有，
从而，
进而，
顺此只有当时，为严格递增数列；当时，为摆动数列．
故选：B.
2．（2020·北京·高三强基计划）已知数列满足，且对任意，有，其前n项和为，则的最大值等于（ ）
A．28B．35C．47D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】根据递推关系可得数列为递减数列且从第5项开始为负，故可求的最大值.
【详解】根据题意，有，
于是数列为8，4，，…，从第3项起为负数，
因此数列从第3项起单调递减，
而数列为，
因此的最大值为．
故选：A.
3．（2020·北京·高三强基计划）设x，y，z均不为，其中k为整数．已知成等差数列，则依然成等差数列的是（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】利用和差化积、同角三角函数的基本关系式可得，从而可得正确的选项.
【详解】根据题意，有，
根据和差化积公式，可得，
由和差角公式可得，
两边同除以，可得，
因此成等差数列，
故选：C
4．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（ ）
A．8B．4C．2D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】根据递推关系可得，从而各项个位数字周期性出现，故可得正确的选项.
【详解】根据题意，有，
因此，
从而，
于是模10的余数为
从第2项起，以24为周期，因此．
故选A.
5．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和，且实数p满足．则p的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据前项和与通项的关系可求数列的通项，再求出数列的最大值和最小项后可得正确的选项.
【详解】在题中等式中分别令，有，
，，于是，，
进而可得，．
接下来考虑p的取值范围．根据题意，p在数列的任意相邻两项之间．
一方面，有，即．
另一方面，当时，有，
且，
于是有．
综上所述，实数p的取值范围是．
故选：A.
6．（2021·北京·高三强基计划）已知数列满足，数列满足，若正整数m满足，则m的最小值为（ ）
A．23B．24C．25D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】可证且，从而可得m的最小值.
【详解】引入参数，k，尝试证明，该不等式若能递推证明，
需要，
也即，
取，则递推证明成立，此时递推起点可以选择当时取，有，
这样就得到了．
类似的，引入参数，p，尝试证明，该不等式若能递推证明，
需要，
也即，
取，则递推证明成立，此时递推起点可以选择当时取，有，
这排就得到了．
综上所述，m的最小值为24．
故选：B.
7．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据整数的性质可得且，故可求的值.
【详解】容易证明的小数部分不可能为0.5，因此，
整理可得，
故，
注意到当时，，因此．
类似的，有，
整理可得，
故，
注意到当时，，因此．
综上所述，有．
故选：A.
二、多选题
8．（2020·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则（ ）
A．存在数列A，使得
B．存在数列A，使得
C．存在数列A，使得
D．存在数列A，使得
【答案】BC
【分析】根据递推关系可得可以取从到的所有奇数且，故可得正确的选项.
【详解】因为，
可以取从到的所有奇数.
而，
取可得，
因此．
而可以取从到21的所有奇数（可以递推证明可以取从到的所有得数，可以取从到的所有奇数），
因此可以取2（当时）和10（当时），无法取得0，12．
故选：BC.
9．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和为，若数列满足对任意，均存在，使得，则称数列为T数列．下列命题中正确的有（ ）
A．若则为T数列
B．若（其中a为常数），则为T数列
C．若均为T数列，，则为等差数列
D．若为等差数列，则存在两个T数列，，使得
【答案】ABD
【分析】求出前项和后可判断AB的正误，对于D，可将等差数列分拆为两个等差数列，它们的公差为首项，从而可判断D的正误，通过反例可判断C的正误.
【详解】对于选项A，对应的，因此取即可，命题正确．
对于选项B，对应的，因此取即可，命题正确．
对于选项C，取且，则，不为等差数列．
对于选项D，设，则考虑，
取，则命题成立．
综上所述，选项ABD正确．
故选：ABD.
三、填空题
10．（2022·福建·高二统考竞赛）已知各项均为正数的等比数列中，，.数列满足：对任意正整数n，有，则___________.
【答案】
【详解】设的公比为q，则由得，
结合，得，，
又，因此，
因为，
所以当时，，，
当时，，所以，
因此，对一切正整数n，，
设，
则，，
于是，，
所以，
故答案为：.
11．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求．
【答案】
【详解】若n为偶数，则，即，
所以，
于是．故．
若n为奇数，则，即，
所以．
于是，；
故答案为：.
12．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________.
【答案】或56##56或9.
【详解】解析：（1）当m是奇数时，是偶数，所以，，或，解之得或，经检验，.
（2）当m是偶数时，
①当时，，或，
解之得或，所以或8，经检验，.
②当时，，所以，无解.
综上所述，或56.
故答案为：或56.
13．（2022·北京·高三校考强基计划）已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________.
【答案】1
【分析】根据题意整理可得：，构建佩尔方程，先结合题意得，再根据广义佩尔方程的通解可得，再根据特征方程可得二阶线性递推公式，代入检验判断．
【详解】设
化简得到，即，
由于为佩尔方程的一组解，由佩尔方程的性质知其有无穷多组解，
对其任意一组解，由于，所以为被3整除的正奇数.
则，知这样的均为正整数.
由于，知，所以，
为佩尔方程的基本解
由佩尔方程的通解知，
由特征方程知其所对应的递推公式为，得，
因此仅满足条件，此时.
所以这样的为1个.
故答案为：1．
14．（2022·浙江·高二竞赛）设数列满足，，则的值为______.（结果用和表示）
【答案】
【详解】，，
，
易证得，
，
，
故答案为：.
15．（2022·浙江·高二竞赛）已知，，，，1，2，…，则满足的最小正整数n为______.
【答案】23
【详解】，
，
，
，
，
由此可知，数列为：，
猜想数列中对，一定有两个连续的项，
据此可得数列中有项：，
，
，
故假设对于也成立，
由上述过程可知，只有型数为正，
而大于2022的型数为2048，
即的最小值为.
16．（2021·江苏·高三强基计划）是与最接近的整数，则_________．
【答案】##88.9
【分析】先求解的范围，再结合其特性写出的通项，最后求和.
【详解】根据题意，可设，所以
化简得
从而有
所以满足的有个
，即
的n有个
所以.
17．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，如等，则__________．
【答案】
【分析】根据可求的形式，再利用分组求和可求数列的和.
【详解】由于，于是
设原式为M，则．
故答案为：.
18．（2022·北京·高三校考强基计划）若三边长为等差数列，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】通过余弦定理以及等差数列的性质，将目标式转化为关于公差的关系是，通过公差的范围得出结论.
【详解】不妨设三边长为，其中.此时：
故答案为：.
19．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能的数列的个数为___________.
【答案】211
【分析】由题意记，则，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，从而可求出数列的个数
【详解】解：记，则，
对确定的，数列各项间的大小顺序即确定，
设，则，
对于给定的可唯一确定一组数列，
由于且，这样的数列共个，
其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个，
综上所述，符合要求的数列共有个.
故答案为：211
20．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则最接近的整数为___________.
【答案】4
【分析】令，将原递推化简为可得是以为首项，公比为的等比数列.进而得到，再根据的范围确定的范围即可
【详解】令，则且，
原递推即为，
整理后即为，由得，
即，故是以为首项，公比为的等比数列.所以.
所以，
另一方面，，
所以，
综上所述，，所以与之最接近的整数为4.
故答案为：4
四、解答题
21．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．
【答案】证明见解析
【详解】在二进制中，记，
其中.
用反证法，先证明数列中有无穷多个偶数．
假设，数列中只有有限个偶数，那么存在整数N，，是奇数，
则存在正整数，使得，
且当时，，
故，矛盾！
同理可证明数列中有无穷多个偶数．
所以数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．
22．（2021·全国·高三竞赛）数列满足且．证明：其中无理数．
【答案】证明见解析
【详解】证法一：由递推关系有.
故．
两边取对数并利用已知不等式得：
．
故．
有，
，
…
．
将上述不等式两边相加可得
．
即，故．
证法二：由数学归纳法易证对成立，故
．
令，则．
对上述不等式两边取对数并利用已知不等式得：
．
故，
，
…
．
将上述不等式两边相加可得：
．
因．故．
故，又显然，故对一切成立．
23．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．
【答案】的最大值为3．
【分析】先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.
【详解】一方面，取，得
即
．
令，得．
另一方面对正实数x，y有，故
，
，
，
……
．
以上各式相加，得
．
故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．
24．（2022·江苏南京·高三强基计划）设的两个根分别为，，设.
(1)求证：；
(2)求的个位数字.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意可知，，
此时：
，
，
则：
，
此时.
（2）因为，
，
上述两式相加可得，
设为的个位数字，则：
，，，，，，，，
则数列是以6为周期的数列，则.
25．（2022·江苏苏州·高二统考竞赛）已知数列满足，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意整理可得，结合符号分析可得故与同号，进而可证，再代入原式放缩可得，可证；（2）根据题意可得，利用累加法得，进而分析得，再利用放缩可得，结合裂项相消法求和证明．
(1)
由已知数列满足，，且，，
即，
故，
由，，有，，故与同号，
因为，则，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，则，所以.
(2)
因为，则，，
，累加得，
所以，可得.
当时，，
故.
【点睛】解该题的关键是因式分解和放缩的运用，观察题中递推公式因式分解得：；放缩的灵活准确运用： ，和．
26．（2020·浙江·高三竞赛）已知数列满足，，.
（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；
（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解 （1）必要条件：，解得，此时.
设时，，
则当时，，
因为，，故，
由数学归纳法可知时，有.
（2）由题意有，，，则，.
因为，故，
若，则，则恒成立，这不可能成立，
故，
猜想：，下面利用数学归纳法证明.
当时，
设当时，有，
则当时，
；
另一方面：
.
由数学归纳法可得猜想成立.
因为对任意大于1的正整数，有恒成立，
故，故对任意大于1的正整数，有恒成立，
取，则，
取，则，故，
而，故.
下证：,
当时，由的取值范围的来源可得不等式成立，
设当时，，
则当时，
而
()，
所以，
又
而
，
故成立，
由数学归纳法得到对任意的恒成立，
故的最小值为：
27．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】当时，，并且时，，
因此，对任意，存在唯一的，使得.
则有，所以.
同理，，
所以（其中充分大使得）
.
28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：.
【答案】证明见解析
【详解】解同除：，
设，原题即证：，
而，
所以，
即，，
又
，
所以，
即，，
综上可得：时，，即.
29．（2021·浙江·高二竞赛）设为给定的正整数，，，…，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值.
【答案】.
【分析】先利用和的变换得到，然后利用绝对值不等式放缩，并利用已知条件得到，然后构造满足题意的实数组，并使得这里的所有“≤”取等号，从而说明的最大值为.
【详解】由
，
所以.
取
则满足对每个都有，且此时,
所以的最大值为,
故答案为：.
30．（2021·全国·高三竞赛）求所有无穷正整数列满足下列条件：
（1）；
（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使．
（3）有无穷多个正整数k，使．
【答案】答案见解析
【详解】所求的正整数列只有．
一方面，不难验证此数列满足条件．另一方面，我们证明所求的数列只能是此数列．
设．我们证明：，设．
由数列单调递增，知均在中．
又由条件（2），知．
将集合划分为个二元组
．
由抽屉原理，中必有两数在同一个二元组内，这与条件（2）矛盾．
所以．
进而，对非负整数m，有
． ①
于是，对任意正整数r满足，均有
，
由条件（3），知存在无穷多组使得等号成立，任取其中一组．
等号成立当且仅当，三式同时成立．
又因为，
所以．
而因为，所以，
结合条件（1），知．由①取等知．
若，则，所以，与条件（2）矛盾．
所以．由①，，由条件（2）及知数列的项两两不相邻．又由条件（3）及数列单调递增，知所求的正整数列只有（否则，若使得，则不存在，矛盾！）．n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4
4
8
4
0
2
8
8
6
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
8
0
4
6
6
2
6
0
8
2
n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2
4
2
0
6
4
4
8
4
0