【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）满足对任意有且严格递增的数列的个数为（ ）
A．0B．1C．无穷多个D．前三个答案都不对
2．（2020·北京·高三强基计划）已知数列满足，且对任意，有，其前n项和为，则的最大值等于（ ）
A．28B．35C．47D．前三个答案都不对
3．（2020·北京·高三强基计划）设x，y，z均不为，其中k为整数．已知成等差数列，则依然成等差数列的是（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
4．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（ ）
A．8B．4C．2D．前三个答案都不对
5．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和，且实数p满足．则p的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·北京·高三强基计划）已知数列满足，数列满足，若正整数m满足，则m的最小值为（ ）
A．23B．24C．25D．以上答案都不对
7．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．以上答案都不对
二、多选题
8．（2020·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则（ ）
A．存在数列A，使得
B．存在数列A，使得
C．存在数列A，使得
D．存在数列A，使得
9．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和为，若数列满足对任意，均存在，使得，则称数列为T数列．下列命题中正确的有（ ）
A．若则为T数列
B．若（其中a为常数），则为T数列
C．若均为T数列，，则为等差数列
D．若为等差数列，则存在两个T数列，，使得
三、填空题
10．（2022·福建·高二统考竞赛）已知各项均为正数的等比数列中，，.数列满足：对任意正整数n，有，则___________.
11．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求．
12．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________.
13．（2022·北京·高三校考强基计划）已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________.
14．（2022·浙江·高二竞赛）设数列满足，，则的值为______.（结果用和表示）
15．（2022·浙江·高二竞赛）已知，，，，1，2，…，则满足的最小正整数n为______.
16．（2021·江苏·高三强基计划）是与最接近的整数，则_________．
17．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，如等，则__________．
18．（2022·北京·高三校考强基计划）若三边长为等差数列，则的取值范围是___________.
19．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能的数列的个数为___________.
20．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则最接近的整数为___________.
四、解答题
21．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．
22．（2021·全国·高三竞赛）数列满足且．证明：其中无理数．
23．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．
24．（2022·江苏南京·高三强基计划）设的两个根分别为，，设.
(1)求证：；
(2)求的个位数字.
25．（2022·江苏苏州·高二统考竞赛）已知数列满足，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：.
26．（2020·浙江·高三竞赛）已知数列满足，，.
（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；
（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.
27．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.
28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：.
29．（2021·浙江·高二竞赛）设为给定的正整数，，，…，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值.
30．（2021·全国·高三竞赛）求所有无穷正整数列满足下列条件：
（1）；
（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使．
（3）有无穷多个正整数k，使．