【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题07 解析几何 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题07 解析几何 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版，共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）从圆上的点向椭圆引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.
【详解】设圆上一点为，
则对应切点弦所在直线l的方程为即，
故，故椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆围成的面积，其面积为.
故选：A
2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是（ ）
A．B．C．D．上述三个选项都不对
【答案】D
【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆的菱形为，，分别求出，再根据，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】解：由，
得，
化为极坐标方程为，
设内接于椭圆的菱形为，则，
设，
则，，
所以
，
当时，取得最大值，即的最大值为，
所以菱形的周长的最大值为，
当时，取得最小值，即的最小值为，
所以菱形的周长的最小值为，
所以内接于椭圆的菱形周长的最大值和最小值之和是.
故选：D.
3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据四边形OMPN是平行四边形，得到为定值，然后将取特殊位置，求解.
【详解】如图所示：
，
易知由四边形OMPN是平行四边形，
所以为定值，
取点时，由 ，解得 ，
所以，由对称性得：，
所以，
取点时，由 ，解得 ，
所以，由对称性得：，
所以，
所以 ，
即，
故选：C
4．（2020·北京·高三强基计划）设直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．前三个答案都不对
【答案】B
【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.
【详解】由可得，
，
故.
而，
原点到直线的距离为，
故
，
当且仅当等号成立，故面积的最大值为10，
故选：B.
5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，，是离心率都为的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，．若直线，的斜率分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】不妨设，，
∴，代入的方程得：
，
，
化简得．
代入得．
．
化简得．∴，∴，
故选C．
6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆的中心作两条互相垂直的弦和，顺次连接得一四边形，则该四边形的面积可能为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示的坐标，代入椭圆方程，求得关于α的函数表达式，进而得到关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.
【详解】设,，设x轴正方向旋转到与向量同向所转过的角为α，
并根据题意不妨设到为逆时针旋转,
则,
，,
,
,
，
∴,,
当时取到最小值，当时取得最大值.
只有选项B中的12在此范围内，
故选：B.
7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C：的左、右焦点分别为，其焦距为2c.点在椭圆的内部，点M是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由在椭圆的内部，得，
即，从而，
得到，因此.
因为0