【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题12 多项式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题12 多项式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式的个数为（ ）
A．99B．133C．150D．前三个答案都不对
2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
3．（2018·全国·高三竞赛）已知.则多项式除以后，所得余式为（ ）.
A．0B．1C．D．
二、填空题
4．（2020·北京·高三强基计划）已知是的2019个根，则__________．
5．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式有2020个非零实根（可以有重根），其中为非负整数，求的最小值．
6．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线：，若对于任意实数，直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围为__________.
7．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程有两个不同的实数根，则有______个不同的实数根.
8．（2021·全国·高三竞赛）若实数a，b满足则_________．
9．（2019·全国·高三竞赛）若是关于的一元三次方程的三个两两不等的复数根，则代数式的值为______．
10．（2019·全国·高三竞赛）已知实数、、、满足，，，.则______.
11．（2019·全国·高三竞赛）对，，定义．设是一个6次多项式且满足，．用表示______．
12．（2018·全国·高三竞赛）多项式的三个根成等比数列．则的值为______．
13．（2018·全国·高三竞赛）已知除多项式所得余式是.则______.
14．（2018·全国·高三竞赛）已知，且时，．则________
15．（2018·全国·高三竞赛）设．若，则n的取值集合为________．
16．（2014·吉林·高三竞赛）方程组的一组实数解为______.
三、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，且能被整除，求的值．
18．（2023·全国·高三专题练习）设是多项式的四个根中的三个根，求所有这样的三个数
19．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个实系数非零多项式，且存在实数使得记，证明：
20．（2023·全国·高三专题练习）设多项式，证明：至少有一个根为虚根．
21．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：
（1）；
（2）数列恒为常数．
22．（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值.
23．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为整系数多项式，若，求，.
24．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y、z满足求证：x、y、z中至少一个为2020．
25．（2019·全国·高三竞赛）已知正的三个顶点在抛物线上.试求正中心的轨迹方程.
26．（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数满足，，，……，求代数式的值.
27．（2021·全国·高三竞赛）记（在模p意义下，其中p为奇质数），为系数定义在F上的多项式且，n为未定元的个数．若，证明：除外还有一个零点，即存在，使得．（注：取值也均从F中取，本题中所有等于与取值均在模意义下进行）
28．（2018·全国·高三竞赛）求满足条件的实系数多项式：
（1）对于任意的实数，有；
（2）存在某一实数，使，，…，，，其中为的次数.
29．（2018·全国·高三竞赛）设实系数三次多项式有三个非零实根．证明：．
30．（2018·全国·高三竞赛）试求出所有实系数多项式，使得对满足的所有实数、、，都有.