【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题13 数学归纳法 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题13 数学归纳法 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．（2019·全国·高三竞赛）在数列中，，，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.则=_______.
【答案】2009
【详解】由已知得.
下面用数学归纳法证明：
.
显然，当n=1时，结论成立.
假设当n=k时，结论成立，即
.
则当n=k+1时，
=
=，
.
故当n=k+1时，结论也成立.
综上，，总成立.
因此，.
故答案为2009
2．（2019·全国·高三竞赛）已知实数列定义为，.设.则中有______个完全平方数.
【答案】无限.
【详解】设.则
.①
由，得.
若，则由，知.
故当时，.
又由式①知当时，为奇数，为偶数.于是，
，.
则.
由归纳法知.
所以，为完全平方数.
故答案为无限
二、解答题
3．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：，求的通项公式．
【答案】
【详解】用数学归纳法，当，符合；
假设，
当时，则
=
，
故时，命题成立，
所以．
4．（2021·全国·高三竞赛）求所有的函数，满足，且对于所有整数，有.
【答案】函数只有一个：
【详解】令，得，即
.①
令，得，所以或2.
若，由①，.
令，得.但不成立，矛盾.
若，由条件，对任意的整数，有.
令，得，即.
所以，为偶函数.
根据①由数学归纳法可证明，对任意正整数，有.
再由为偶函数知对于任意的整数，有.
经验证，满足条件.
综上，满足条件的函数只有一个：.
5．（2021·全国·高三竞赛）已知.证明：当时，.
【答案】证明见解析
【详解】（1）当时，左边；右边；
因为，所以，所证不等式成立.
（2）假设时不等式成立，即成立.
当时，
，
所以，当时，不等式也成立.
由（1）､（2）可知，当时，所证不等式成立.
6．（2018·全国·高三竞赛）设，求证:
（1）;
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）令，则.
只须证明
下面用数学归纳法证明.
当时，命题显然成立.
假设有.
因为函数上是严格递增的，
所以，
因此，对每一个.都有.即.
（2）因为，所以，
.
即，
于是，即.
则
故.
7．（2018·全国·高三竞赛）设个实数；满足条件
（1）；
（2），；
（3），.
求证：.
【答案】见解析
【详解】如果，由递推关系即知：对一切，均有.结论显然成立（事实上此时由条件（1）可知，必有）.
设，当时，结论显然成立.
假设时，结论成立，只要证时结论成立.
令，，，.
设，，
，；
，，
，.
易验证，且
，，；
，，.
由归纳假设有，
即
.
故.
所以，当时结论成立.
8．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足,,.证明:对任意的, .
【答案】见解析
【详解】固定，改证以下命题：
对任意的，有. ①
对用数学归纳法.
当时，结论显然.
设时，式①成立，即.
当时，
.
于是，式①亦成立.因此，式①得证.
在式①中取，得.
9．（2018·全国·高三竞赛）若百位数字为9的位自然数的各位数字之和为，其中，当的值最小时，是多少？
【答案】1999
【详解】（1）当时，令.则
（当时等号成立）
（当时等号成立）
（当时，等号成立）
.
故当的值最小值时，为1999.
（2）当时.用数学归纳法证明..
1°当时，显然成立.
2°假设当时命题成立.即.
那么，当时，有
.
故当时，命题成立.
因此，当时，恒成立.
于是，.
故当达到最小值时，为1999.
10．（2019·全国·高三竞赛）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数.
【答案】见解析
【详解】设，则，且.下面利用数学归纳法证明.
①当，时，有，
都是整数，且都不是3的倍数，命题成立.
②假设，都是整数，且都不是3的倍数，由三角公式有
.
可见，也是整数.下面证明不是3的倍数，若不然，则
.
但，故.
与不是3的倍数矛盾.所以，不是3的倍数，这表明，命题对时成立.
由数学归纳法知，命题对一切正整数成立.
11．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足，，试求．
【答案】2009
【详解】由，得.
又，有，，．
下面用数学归纳法证明：
当时，. ①
事实上，当时，式①结论显然成立．
假设当时，结论成立．
又由于函数在上单调递减，结合式①得
.
另一方面，
. ②
而
． ③
当时，，式③成立．
由式②、③得．
综上，．
由归纳原理知，当时，总有式（1）成立．
故所求．
12．（2018·全国·高三竞赛）已知数列满足，且对所有正整数有.求证：存在正整数，使得.
【答案】见解析
【详解】先用数学归纳法证明：对一切正整数有.
当时，显然，.
假设当时，结论成立.
则
.
由和归纳假设知都是正数.
从而，.
这就完成了归纳证明.
因此，存在足够大的正整数，使得.
13．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数m、k，有n个选手参加一次测试，该测试由m个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取得相同的评分．求n的最小值，使得总存在k个选手，在第j个项目中的k个得分要么单调递增，要么单调递减，．
【答案】n的最小值为．
【分析】结合引理：一个项且每两项不同的实数数列存在项的递增子列或项的递减子列．利用数学归纳法可求得n的最小值
【详解】为方便，用来表示由的m个得分构成的n个m维向量．先来构造时不满足条件的例子．用表示分量均为的所有m维向量，并设．取为
，
，
…
，
，
…
，
…
，
任取，设，按上述表示合并同类项后为为下标最小的非零系数，则．由定义易知．
下面证明，的诸分量的正负性与的相同．
由于，故在的d项中，每个分量绝对值比其他项和的对应分量绝对值都大．
若存在满足条件的k个选手，设的各个分量的正负性与的一样．则的系数严格递增，这是不可能的．
再来证明时结论成立．
先证明一个引理．
引理：一个项且每两项不同的实数数列存在项的递增子列或项的递减子列．
证明：若否，考虑以每一项开始的最长递增子列的长度，则这些数都在中．由抽屉原理，必存在个数相同．而若，且，开始的最长递增子列的长度一样，则，否则可将并入，开始的最长递增子列，得到比开始的最长递增子列更长的递增子列，矛盾．如此便找到了一个项的递减子列，矛盾．
回到原题．对m归纳．时直接使用引理即可．
假设结论在时成立，接下来考虑m时的情况．
由于，结合引理知存在个选手第一个项目得分单调递增或递减．
而由归纳假设知这些选手中存在k个选手第2，3，…，m个项目的得分单调递增或递减．
故这k个选手满足条件．结论成立．
综上所述，n的最小值为．
14．（2018·全国·高三竞赛）正整数数列满足：
（1）求；
（2）求最小的正整数，使得．
【答案】（1）637；（2）5827
【详解】（1）易得数列的初值（见表1）.
表1
接下来关注使的下标它们满足如下递推关系；
.①
下面对进行归纳.
当时，式①成立.
设已有，则由条件
归纳易得，
.②
于是，当时，.
因此，，即式①成立.
由式①得.
记，则.
所以，.
因此，.
而，
则.
又，故由式②得
.
（2）由式②知，当时，
.
因此，当时， .
而当时，要么，要么，即的值取不到2008.
进而，考虑的情况.
由，得.
由式②得.
故满足的最小的为5827.
15．（2018·全国·高三竞赛）给定两个数列，满足，;，，证明：对任意的可表为两个正整数的平方和．
【答案】见解析
【详解】对于数列有.
由，
于是，对任意的，.
所以，. ①
对于数列，由条件知数列严格递增．
将两边平方得． ②
在式②中用代替n得. ③
由式②、③知，是关于t的方程
的两个相异根，于是，由根与系数关系得，
即． ④
由式①、④知，、为同一个数列，因此，.
又据式①知，数列的各项为正整数，且，
，
构作辅助数列，其中，； ⑤
． ⑥
显然，当时，皆为正整数，且.
下面证明：对任意的，
． ⑦
对n用数学归纳法．
当时已验证．
设当时，式⑦成立．
当时，由于
，
则
而据归纳假设有
因此，
故由归纳法，对一切，式⑦成立．
由式⑦得，其中，为正整数．
16．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．
【答案】证明见解析
【详解】用表示对所有数组的求和，下面用数学归纳证明如下的等式：
①
(1)当时，①式显然成立；
当时，，即①式成立．
（2）假设时，①式成立，则时，我们有
，
即时①式成立．
由（1）（2）可得：．
回到原题，由，可得，
即，
所以存在数组（其中，使得，即．
17．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】作如下换元：设，则
（，且这里特别定义）．
定义数列如下：，则
原式．
只需，即只需，即．
采用归纳法，对成立．
假设成立，考虑，
，
归纳成立．
所以．
18．（2021·全国·高三竞赛）设数列满足.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】令，得，则.
令，得，则.①
令，得.②
根据①得：，于是，.③
另一方面，由②､①得
.④
由③､④得递推关系式
.
由此可得，猜测.
下面用数学归纳法证明这个猜想：
对于，结论显然成立；
假定，则有，
所以当时等式成立.因此，成立.
对于，有.
所以.
19．（2018·全国·高三竞赛）定义在正整数集上，且满足，.求证：对所有整数，有.
【答案】见解析
【详解】由题设显然有.
将变形为，
则. ①
故. ②
，.
由此猜想. ③
用数学归纳法证明式③对的整数成立.
当时，，式③成立.
假设时，式③成立.
当时，有. ④
由归纳假设有.
因为是正整数，由上式有. ⑤
由式④、式⑤有
. ⑥
又. ⑦
由式⑥、式⑦知式③对成立.
所以，式③对任意正整数成立.
因此，所证不等式成立.
20．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中．
【答案】
【详解】当时，令，则
．
当时，．
令，则问题化为：，证明：．
当时，首先证明：
． ①
①式，由均值不等式知成立．
由①式知
．
假设时，对任意正实数结论成立．
则时，由对称性不妨设中最大，则，
所以，由归纳假设知，此时结论成立．
由数学归纳法知，．故．
当时，．
由于，令，则，所以．
综上所述，
21．（2018·全国·高三竞赛）数列满足： ， .求证：对一切，均有.其中表示不大于实数 的最大整数，是斐波那契数列： .
【答案】见解析
【详解】用数学归纳法证明.
记 .
当时，由，得.
当时，，.
若，则.
若，则.
于是，.
令，易证在上严格递减，
则有.
假设时命题成立，即
，①
.②
若，则由②得，.③
若，又因为，
故.
结合式①，即得式③.
因此，当 时，命题成立.
综上可知，命题成立.
22．（2018·全国·高三竞赛）已知数列．求证：．
【答案】见解析
【详解】用第二数学归纳法．
，．
假设，则时，
．
这表明时命题成立．由数学归纳法得数列是单调的，还可证．
23．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数，对于正整数，集合.集族满足如下条件：
（1）的每个集合都是的元子集；
（2）中的任意两个集合至多有一个公共元素；
（3）的任意一个元素恰出现在中的两个集合中.
试求的最大值.
【答案】
【详解】的最大值为.
首先，估计的上界.
一方面，考虑集合.
由条件（3）知，对中的任意一个元素，有且仅有一对，使得.因此，.
另一方面，考虑集合.
由条件（3）知.
由条件（1）知.
故．
由条件（2）知，.
于是，.从而，，即.
下面用数学归纳法构造一个的例子.
对，，，集族符合条件.
假设当时，，满足条件.
当时，，，其中，.
令，
其中，，.
经验证，知集族符合条件.
从而，由归纳原理知可取到.
综上，所求的最大值为.
24．（2018·全国·高三竞赛）奥运会排球预选赛有支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有支球队满足：胜，胜，胜，胜，则称这支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个 阶连环套，则对于每个及每支球队，必与另外某些球队组成一个阶连环套．
【答案】见解析
【详解】以为顶点.如球队胜，则在两点间连一有向边：，如此得阶竞赛图.据条件，的个顶点可以排成一个阶有向圈，设为.则的任两点可沿箭头方向相互到达.
首先证明：任一球队必在某个三阶连环套中.
用分别表示被击败了的球队集合和击败了的所有球队集合.由于双向连通，必有，使得.于是，组成三阶连环套.
假若已证得，对于，图中存在以为一顶点的阶连环套，圈之外的点的集合为.
若中有一点，它所表示的球队既击败了圈中的某个队，又被圈中的另一个队 所击败，点把圈分成两条有向路，其中一条，例如它与有向路组成有向圈.
依次考虑路上各点与点间的邻接情况，必有相邻的两点满足，而.现去掉边，而将路插入其间，便得到一个含有顶点的阶连环套.
若中的任一点，它所表示的球队要么击败了圈中的每个队，要么被圈中的每个队所击败，则集合可分为两个不交的子集，其中，中的任一队战胜了圈中所有的队，而中的任一队负于圈中所有的队.由于图双向连通，故在集合中必有点 ，集合中有点，使得.在圈中任意去掉一个点，而用路代替，便得到一个含有顶点的阶连环套，故结论对于成立.
由归纳法，结论成立.
25．（2019·全国·高三竞赛）求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.
【答案】6
【详解】先证明一个引理.
引理 对任何凸六边形，都存在，使，其中，S为凸六边形的面积.
引理的证明：如图，设交于点P、Q、R（可能重合），联结.
由于6个三角形的面积之和不大于S，其中必有一个三角形的面积不大于.
回到原题.
当t=3、4、5时，正三角形、正方形、正五边形分别不符合条件，所以，.
下面证明：当时，对任何凸n边形，都存在，使
其中，S为凸n边形的面积.
实际上，当n=6时，由引理，结论成立.
设n=k时，结论成立.
当n=k+1时，联结.
如果，则结论成立.
如果，则.
由归纳假设，必有，使.
结论成立.
综上所述，t的最小值为6.
26．（2019·全国·高三竞赛）正整数数列满足：，．试求通项公式．
【答案】
【详解】据条件知，数列严格递增．于是，
先在条件式中取，得到，
即． ①
据式①左端得．
则． ②
又由式①右端得，且，
故． ③
据式②、③得整数．
再对条件式中取，得到，
即． ④
由式④左端得．
则．
由式④右端得，即．
因，所以，．故．
继而在已知式中取，得，
即． ⑤
又为正整数，故式⑤右端恒成立．
而由式⑤左端有，故，得．
由，，，，猜想． ⑥
首先，若将式⑥代入已知式得，
即，或．
此式显然成立．
下证：是满足条件的唯一数列．
对归纳．当时已验证．若式⑥对于成立，则对于，据已知式有
． ⑦
由式⑦右端得．
则． ⑧
（这里用到，当时， ．）
据式⑦左端得，
即． ⑨
其判别式
．
设与式⑨对应的关于的一元二次方程的两根为、．
则
． ⑩
（这里用到，当时， ．）
据式⑧、⑩得．
故由归纳法知，对任意的，式⑥成立，即．
27．（2019·全国·高三竞赛）设是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有.
(1)求;
(2)假设是100个两两不相等的自然数,求;
(3)是否存在符合题设条件的函数,使,证明你的结论.
【答案】（1）（2）（3）
【详解】(1)取,,则.
由条件有.所以,.
(2)证明:对任何大于1的自然数,及个两两互不相等的自然数,
.
对归纳.当时,结论显然成立.
设时结论成立.那么,当时,设个两两互不相等的自然数为,其中, ,由归纳假设有
.
因为,所以,.于是, 与互异.则.
故
因此,当时,结论成立.
所以,结论成立.
取,得.
(3)令.下证这样定义的函数符合条件.
事实上,对任何两个不相等的自然数,有

故.
28．（2018·全国·高三竞赛）设，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.
【答案】见解析
【详解】首先利用归纳法证明：
，，
其中，，，..
显然，当时，
.
假设i时成立，考虑i+1时的情形，有
.
记，由上面知
.
一方面，由二项式定理及费马小定理得
=，
.
故
.即：.
29．（2019·全国·高三竞赛）求证:存在唯一的正整数数列，使得，.
【答案】见解析
【详解】

即.
因为均为正整数，若，
则.从而，.
于是，.
故是各项均为1的常数数列，这与矛盾.
所以，.
则，即.
当时，；
当时，.
所以，.
注意到为正整数，则有.又，所以，.
由此可得.故数列唯一确定.
下面用数学归纳法证明:是正整数数列.
由上知，假设.
则.
因为
，
所以，
又，所以，
从而，于是，，即.
故是正整数数列.
30．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：
（a）；
（b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）；
（c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.
对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值.
【答案】
【分析】先构造一个特例，再根据逐步调整法和数学归纳法可证的取值范围，从而可求其最大值.
【详解】答案是.
先给出取得最大值的构造：易于验证，当由1011个以及1011个组成､由1011个以及1011个组成时，符合题意.
再给出最优性的证明：分成两步进行.
第一步，调整集合.
断言一：对于中区间，如果，则将中的替换为不改变原结果，称之为“切换”.
这是因为:
①如果中的一个区间与相交，那么它最初和现在都与两个区间相交，成立；
②如果中的一个区间与不相交，则它要么与和都不相交，要么恰与中一个相交.因此，如果它与其中之一相交，则在替换区间后仍会与其中之一相交，也成立.
断言二：总能在有限次“切换”后，使得对于中任意两个区间，它们要么不交，要么一个包含另一个，对于亦然.
为此，考虑一个以区间为顶点的图，两顶点之间连边当且仅当它们对应的两区间交集非空（特别地，仍算作非空）.将每个连通分支的顶点对应的区间划分为一组，记为，使得如果，则.显然此分组方式唯一且不改变图的连通性.
下面，我们固定并对进行归纳.归纳基础为，显然成立.
对每个，考虑中左端点位于最左边的区间（注意稍后可能会变化）.
则对于其它任何区间，我们有.另外，若，则称包含.
对其它区间执行操作，那么总是包含操作后的区间.
因此，与中的每个区间最多相交一次.只要存在区间且，操作过程就不会结束.
当操作终止时，中必然不存在满足的区间，并且对于不与中的任何区间相交.因此，，且包含中的所有区间.此时，我们去掉，对应用归纳假设即可.
第二步，加强归纳.
设集合为“-好的”集合，
如果：1）；
2）的每个元素都是包含在中的闭区间；
3）对于任意实数中包含的元素个数不超过.
定义为可以取得的最大值，其中是“-好的”集合且是“-好的”集合.下证加强的命题：，原题即时的特例.
对此，我们采用归纳法，归纳基础为.
此时，再对使用归纳法.如果，显然成立；否则，设为中最左边的两个区间（注意到，因此我们能够比较这两个区间的位置）､为中最左边的两个区间.此时不难得到：或两者之一，与另一个集合中最多一个区间有非空交集.这是因为，若对某个与的交集非空，则.因此，对于所有与交集为空.不妨设与另一个集合中最多一个区间有非空交集，这样一来，我们可以去掉，再利用归纳假设，结论成立.
不妨设，否则把换成.
令为中互相不包含的区间的集合（如果多个区间相同且未严格包含于更大的区间中，则选择任意一个加入.注意到为“（|S|，1）-好的”集合，为“（-好的”集合.则：
其中，不等号使用了奠基的结论.
至此，加强的命题得证!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
4
1
5
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4
11
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2
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1
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