湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合P=，，则PQ=（ ）
A. B.
C. D.
2. 若向量，，，则（ ）
A. 5B. 8
C. 10D. 12
3. 设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则
A. B. C. D.
4. 4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（ ）
A. 48B. 96C. 120D. 240
5. 某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一个装有水的密封瓶子，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱的高为6，圆锥的高为3，已知液面高度为7，则瓶子中水的体积为（ ）

A. B. C. D.
7. 年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A. B. C. D.
8. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 180B. 150C. 120D. 210
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 复平面上对应点在第二象限
C. D. 的虚部为
10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A. B. 只有第4项二项式系数最大
C. 各项系数之和为1D. 的系数为560
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 1225既是三角形数，又是正方形数
C.
D. ，总存在，使得成立
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在处取得极值，则实数a的值为________．
13. 已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为________．
14. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则______； ______.
四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16. 已知数列的前项和为，点在直线上．
（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；
（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，．
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．
18. 已知函数，当时，有极大值.
（1）求实数的值；
（2）当时，证明：.
19. 在几何学常常需要考虑曲线弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．