湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2023-2024学年高一下学期2月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 第一象限角小于第二象限角B. 锐角一定是第一象限角
C. 第二象限角是钝角D. 平角大于第二象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解.
【详解】解：第一象限角，为第二象限角，故A错误；
因为锐角，所以锐角一定第一象限角，故B正确；
因为钝角，平角，
为第二象限角，故CD错误.
故选：B.
2. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二倍角的余弦公式，代入，即可求出结果.
【详解】解：由题可知，
.
故选：A.
3. 函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用整体思想直接代入余弦函数对称轴的性质即可求解.
【详解】依题意，
由，，得，．
当时，得.
故选：A.
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数基本关系式的和带入即可求解.
【详解】因为，
所以，
又，
所以原式.
故选：A.
5. 已知，，则角终边所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦和余弦的背角公式即可求解.
【详解】∵，，
∴终边在第三象限．
故选：C.
6. 下列区间为函数的增区间的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用整体法求解三角函数的单调递增区间，通过分析只有B选项满足要求.
【详解】令，，
解得：，，
当时，，
当时，，
当时，，
故四个选项中，只有B选项满足要求，
故选：B
7. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像直接得到，由周期求，根据时，有最大值，求出.
【详解】由函数的图象得，，即，则，
∴.
∵，则.则，得.∵，
∴当时，，则函数.
故选:D
【点睛】求三角函数解析式的方法：
(1)求A通常用最大值或最小值；
(2)求ω通常用周期；
(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
8. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用与倍角公式即可求解.
【详解】依题意，
∵，
∴，
两边平方可得，
∴，
∴，
∴．
，
∴，
∴．
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解.
【详解】由余弦的倍角公式，可得，所以A不正确；
由正切倍角公式，可得，所以B正确；由正弦的倍角公式，可得，所以C正确；
由，所以D不正确.
故选：BC.
10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质（ ）
A. 最小正周期为B. 图象关于直线对称
C. 图象关于点对称D. 在上单调递减
【答案】AD
【解析】
【分析】先求得的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】由题意可得，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；
因为，所以的图象不关于点对称，故C错误；
因为时，，所以在上单调递减，故D正确.
故选：AD.
11. 已知（），则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】讨论的奇偶，由条件求，根据同角关系将所求表达式化为由表示的形式，代入条件可求其值.
【详解】由，可得，
当为偶数时，得，得，
因为．
所以，D正确；
当为奇数时，得，即，
此时．B正确；
故选：BD.
12. 已知函数，，以下命题中正确的命题是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大的值为
C. 将函数的图象向右平移单位后得函数的图象
D. 将函数的图象向左平移单位后得函数的图象
【答案】AD
【解析】
【分析】化简函数的解析式，利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项.
【详解】函数，．
所以，
所以函数的最小正周期为，故A项正确；
函数的最大值为，故B项错误；
函数的图象向右平移个单位得到的图象，故C项错误；
函数的图象向左平移个单位得到的图象，故D项正确．
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知角的终边过点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数的定义与和差公式即可求解.
【详解】依题意，
∵的终边过点，
∴，
∴．
故答案为：.
14. 若函数在闭区间上的最大值为1，则的值为________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】结合正弦函数性质求函数在闭区间的求最大值，列方程求的值
【详解】因为，，所以，
所以，所以，
所以函数在闭区间上的最大值为，
所以，故，因此．
故答案为：.
15. 已知，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】化简已知条件，求得，通过两边平方的方法求得，进而求得.
【详解】依题意，
①，
，，
化简得①，则，
由，得，，
.
故答案为：
16. 设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值集合为________，_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用辅助角公式可将问题转化为在上直线与三角函数图象的恰有三个交点，利用数形结合可确定的取值；由的取值可求得的取值集合，从而确定的值，进而得到结果.
【详解】，
方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，

由图象可知：当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
即实数的取值集合为；
，或，
即或，
此时，，，.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：本题考查与三角函数有关的方程根的个数问题，解决方程根的个数的基本思路是将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由正余弦以及正切的和差角公式，化简计算，即可得到结果.
【详解】解：原式

．
18. 如图，有一个圆心角为钝角的扇形地块，半径为．现计划在这块地上建一个矩形的游乐场，要求矩形的一条边在半径OA上，则如何设计可使游乐场的面积最大？
【答案】当矩形的对角线OM与半径OA的夹角为45°时，矩形游乐场的面积最大
【解析】
【分析】先把矩形两边都用三角函数表示,再应用二倍角公式及三角函数值域求最值即可.
【详解】因为矩形的一边在OA上，所以要使矩形的面积最大，O应为矩形的一个顶点，且与点O相对的顶点在弧AB上，如图所示
设，则在中，，，
所以矩形的面积．
当时，S最大，．
所以当矩形的对角线OM与半径OA的夹角为45°时，矩形游乐场的面积最大．
19. 已知函数的图象过点，，且在区间上单调．
（1）求的解析式；
（2）设的最小正周期为，在给定的坐标系中作出函数的简图．
【答案】（1）
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）由函数解析式以及图象所过点坐标得出最小正周期，进而求出，由结合五点作图法，求出，可得函数解析式；
（2）利用五点作图法画出函数图象．
【小问1详解】
∵，
∴，．
∵的图象过点，，且在区间上单调，
∴的最小正周期．
∴，
由，得，，，．
又，∴．
故．
【小问2详解】
函数的简图如图所示：
20. （1）化简：；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正余弦的和差角公式，代入计算，化简即可得到结果；
（2）根据题意，由二倍角公式，代入分别计算，即可证明.
【详解】（1）
．
（2）证明：
左边
右边．
所以．
21. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，若，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，即可求出最小正周期；
（2）先由，得到，再由，即可确定结果
【详解】（1）
所以最小正周期为
（3）因为，所以，
又因为，即，
所以或，则或.
【点睛】本题主要考查求三角函数的最小正周期，以及由三角函数值求角的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.
22. 已知函数
（1）求的图象的对称轴的方程；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.
（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可求得实数的取值范围．
【小问1详解】
，
由，，得，．
故的图象的对称轴方程为，．
【小问2详解】
因为，当时，不满足题意；
当时，可得．画出函数在上的图象，
由图可知或，解得
或．综上，实数a的取值范围为．