上海市上海中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题-

这是一份上海市上海中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题-，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知集合，则______.
2．设集合，若，则 __________．
3．化简______.
4．不等式的解集为______.
5．已知，，则用a，b表示的值为______.
6．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是________
7．集合，，则______.
8．方程在上有实根，则实数k的取值范围是______.
9．若对任意实数x都有，则a的取值范围为_______．
10．已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
11．已知均为正实数，且，那么的最大值为__________．
12．已知，且满足，，则的最小值是______.
二、单选题
13．已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
14．若，且，，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
15．设a，b，c均为正数，若一元二次方程有实根，则（ ）
A．B．
C．D．
16．设，在上恒成立，则的最大值（ ）
A．1B．C．D．
三、解答题
17．（1）解不等式：
（2）解不等式：
18．设，，是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
19．已知全集，，，且，求a的取值范围.
20．（1）已知，求y的最大值.
（2）设关于x的方程的两个非零实根为，，问是否存在m，使得不等式对任意的以及恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．（1）已知集合，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）
（2）已知集合，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.
参考答案：
1．或
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义计算可得.
【详解】解：由，即，解得，
所以，
所以或.
故答案为：或
2．{ 1，2，5}
【详解】试题分析：解：∵A∩B={2}，∴lg2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}．
考点：并集
点评:本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．
3．##
【分析】根据根式与分数幂之间的互化以及立方和公式即可求解.
【详解】，
故答案为：
4．
【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集.
【详解】解：不等式，即，
方程的根有（2重根），，，，（2重根），
按照数轴标根法可得不等式的解集为.
故答案为：
5．
【分析】利用对数运算公式和换底公式计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
6．
【分析】先求出不等式的解集，又设，则是的真子集，再求得的取值范围.
【详解】由不等式|x－m|<1，得，即其解集，
又设，由已知知是的真子集，
得（等号不同时成立） ，得.
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的解法，考查了将充分不必要条件转化为集合的包含关系，属于基础题.
7．
【分析】分别计算求得集合，在按照交集运算即可得.
【详解】解：不等式变形为，所以或，解得或.
所以或
所以或.
故答案为：.
8．
【分析】记，.在同一个坐标系作出和的图像，利用数形结合即可求解.
【详解】记，.
在同一个坐标系作出和的图像如图所示：
当时，；当时，.
所以方程在上有实根，则实数k的取值范围是.
故答案为：.
9．
【分析】由题意分类写出分段函数的解析式，求得函数的最小值，再由小于等于函数的最小值可得关于的不等式，求解得结论．
【详解】解：设，由恒成立，可得，
时显然成立；
当时，，
故，从而，解得，；
当时，，
故，从而，解得，．
综上，，．
故答案为：．
10．
【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
11．
【分析】本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可
【详解】因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以
所以的最大值为4
故答案为：4
12．
【分析】首先求出，然后可得，然后求出的最小值即可.
【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以可得，
所以，
因为，
当且仅当即时等号成立，
所以，
故答案为：
13．C
【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．
【详解】由题意可知，.当时，，，则排除A，B；
因为，，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，则C一定成立；
因为，，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，则排除D.
故选：C．
14．B
【分析】分析集合、的元素特征，再根据交集的定义、空集的定义以及集合的包含关系判断即可.
【详解】解：由，即集合的元素为集合的所有子集，
，即集合的所有子集组成集合，
因为，即与没有相同的元素，但是，，
即，，
所以，故B正确，A错误，D错误；
因为，，所以或，故C错误；
故选：B
15．B
【分析】令判断A，令判断C，D；利用换元法和基本不等式进行证明B.
【详解】对于A，若令，则一元二次方程的，
，不成立，所以A不正确；
对于C，若令，则一元二次方程的，
，不成立，所以C不正确；
对于D，若令，则一元二次方程的，
，不成立，所以D不正确；
对于B，令 ．下面分两种情况证明B选项正确.
若，结论已成立．
若，则由，得．①
又，即，则由①得，
即．
解得或．
若，结论已成立；
若，则．结论亦成立．
综上所述，．
故选：B.
16．A
【分析】根据不等式的特征，分别设，，，以及四种情况，讨论不等式恒成立时，先讨论的正负情况，再讨论恒成立，求的取值范围.
【详解】①当时，，，不成立，
②当时，恒成立，则恒成立，即，解得：，此时的最大值是；
③当时，恒成立，则，恒成立，即的最大值是；
④当时，恒立，则恒成立，即 ，恒成立，，解得：，此时的最大值是.
综上可知，的最大值是.
故选：A
【点睛】本题主要考察了函数恒成立问题，本题的关键是分类的标准，第一种情况比较简单，代入特殊值，即可说明不等式不成立，后几种情况，先说明恒成立，再根据恒成立，即可求的取值范围.
17．（1） （2）
【分析】（1）按照绝对值不等式分类讨论解不等式即可；
（2）按照不等式分类求解即可.
【详解】解：（1）当时，，不等式为，解得，所以解集为；
当时，，不等式为，解得，所以解集为；
当时，，不等式为，解得，所以解集为；
综上：不等式的解集为：.
（2）不等式，首先满足，所以或
当或时，不等式成立，符合；
当或时，不等式成立，则，所以，则解集为；
综上：不等式的解集为：.
18．不存在，理由见解析
【分析】根据，得，讨论中四个元素分别为1时，求的值，判断此时集合的元素是否符合集合与元素的关系，即可得结论.
【详解】解：，，若，所以
当时，即，所以，，，所以不符合集合中元素特点，舍去；
当时，即，舍去；
当时，即，此时无意义，舍去；
当时，，，此时，不满足，舍去.
故不存在实数a，使.
19．
【分析】由一元二次方程根的分布求解，
【详解】由得，而，
当时，由得，
当时，对于有，
则解得，
综上，a的取值范围是．
20．（1）1 （2）存在，
【分析】（1）令，所以，得，结合基本不等式求解最值即可；
（2）方程可化为，，可知方程有两不同的实根，，再由韦达定理建立得最值，若不等式恒成立，可转化为，都成立，再求最小值即可．
【详解】解：（1）已知，令，所以
则
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立
所以；
（2）方程可化为，
有两不同的实根，，
则，
，当时，
若不等式恒成立，
所以得，对都成立，，
设
若使时都成立，
则
解得：或，
所以的取值范围是.
21．（1）3 （2）7
【分析】（1）列举所有的四元子集，根据的元素个数不超过2个即可求解，
（2）列举所有的三元子集，根据的元素个数不超过1个，可得 满足要求，当时得到元素个数之和超过21矛盾，即可求解.
【详解】由题意知：，四元子集的个数一共有15个，如下， ，
要使任意的元素个数不超过2个，则最大为2，
比如：
（2）由题意知：，三元子集的个数一共有35个，如下：
,
,
对,则 与中其他元素共构成6个含的二元数对，而在每个含的三元子集中，恰好含的有2个这种数对，
由题意可知：两个不同的三元子集中所含的相应数对不同，所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中，
由于的元素个数不超过一个，故在含的三元数对中，，
由m的任意性，不妨取 ，包含1的三元集合不妨取满足，
去掉1，剩下6个元素为 ，分为3组：
若选这组中的2，则中可选一个数字4或5，则满足至多一个元素的三元集合还有，故,
故可取7.
由于，所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中，中一共有7个元素，则这7个元素故总共出现的次数至多为
当时，每个三元集中的元素出现3次，那么所有的三元集中的元素出现次数为，则 ，这与总次数21矛盾，故，
故的最大值为7