江苏省南京市南京民办实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市南京民办实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．为弘扬中华优秀传统文化，倡导健康生活方式，某中学本学期开设了校本课程“八段锦”，为了解同学们对该课程的满意度，在全校的1500名学生中随机抽取了100名学生对该课程的满意程度打分，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查B．总体是100名学生
C．样本是抽取的100名学生所打的分数D．个体是被抽取的每一名学生
2．下列式子的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某中学计划在生物园栽72棵树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前3天完成任务，问原计划每天栽几棵？设原计划栽x棵，则（ ）
A．=+3B．=﹣3C．=+3D．=﹣3
4．下列整数中，与最接近的是
A．4B．5C．6D．7
5．如图，在中，对角线、相交于点O，过点O作交于点E，连接．若的周长为20，则的周长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
6．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．B．1.25C．1.5D．无法确定
二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．一个不透明的袋子中装有个只有颜色不同的球，其中有个白球、个红球、个绿球、个黑球，从中任意摸出个球，摸到 球的可能性最小．
9．若，则，，，按从小到大的顺序排列为 ．
10．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ．
11．已知中，，则 ．
12．若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是 ．
13．对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
14．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
15．在中，平分交点，平分交于点，且，则的长为 .
16．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ．
三、解答题（本大题共11小题，共68分，请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解分式方程：
19．下面是某同学计算的解题过程：
解：
……………………①
………………………②
………………………③
．……………………………④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
20．对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）；
(2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由．
21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61．7 62．4 63．6 65．9 66．4 68．5 69．1 69．3 69．5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69．5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是______．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：．
23．如图，已知，请你用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
24．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)若超市将这批干果按每千克8元的价格全部出售，超市销售这种干果共盈利多少元？
25．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)若；则______，______．
(2)的值为_________．
(3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
26．如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
(1)与关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为__ ____．
(2)的面积为______．
(3)将绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为则旋转中心的坐标为______．
(4)直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标______．
27．在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且．
【问题初探】
（1）当时，求证：．
数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题．
解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系．
数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答
②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：．
【类比探究】
数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答．
（2）当时，
①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）．
②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由．
【拓展提升】
黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答．
（3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】
本题主要考查了总体，个体，样本，样本容量，全面调查与抽样调查，先根据全面调查与抽样调查的定义判断A，再根据总体的定义判断B，然后根据样本的定义判断C，最后根据个体的定义判断D即可．
【解答】解：A. 此次调查属于抽样调查，故此选项说法不正确；
B. 总体是1500名学生对该课程的满意度，故此选项说法不正确；
C. 样本是抽取的100名学生所打的分数，此选项说法正确；
D. 个体是被抽取的每一名学生的满意度，故此选项说法不正确；
故选：C．
2．B
【分析】此题考查了约分，以及分式的基本性质．根据分式的基本性质解答即可．
【解答】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x+2）天，根据实际比计划提前3天完成任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x+2）天，
由题意得，．
故选D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
4．C
【分析】由于9＜＜16，可判断与4最接近，从而可判断与10−最接近的整数为6．
【解答】解：∵12.25＜13＜16，
∴3.5＜＜4，
∴与最接近的是4，
∴与10−最接近的是6．
故选C．
【点拨】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
5．B
【分析】
本题主要平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，先说明是线段的中垂线，可得，然后说明的周长为，即可得出答案.
【解答】
解：∵在中，对角线相互平分，
∴O是中点.
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长为.
∵的周长为20，
∴，即的周长为10．
故选：B．
6．B
【分析】
连接，根据中心对称图形的性质，即可求解.
【解答】解：连接，

∵正方形的边长分别是3和2，
∴两个正方形的面积分别是：9和4，
∵正方形和正方形的对称中心都是点，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，掌握正方形是中心对称图形是关键.
7．
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负是解决本题的关键．
根据二次根式被开方数非负可得，解不等式即可．
【解答】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
8．黑
【分析】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．解题的关键是根据概率公式先分别求出摸出白球、红球、绿球和黑球的概率，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵摸到白球的概率是，
摸到红球的概率是，
摸到绿球的概率是，
摸到黑球的概率是，
又∵，
∴摸到黑球的可能性最小．
故答案为：黑．
9．
【分析】
本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较．根据的取值范围，设，分别求出，，的值，比较大小即可求解．
【解答】解：∵，
∴设，
则，故，
，，
∵，，，
∴；
即．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，由旋转的性质可得，，由可得，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【解答】解：由旋转可得，，
设和相交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．##度
【分析】
此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等得，再根据，，即可得到答案．
【解答】解：如图，

在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：
12．##
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是把平行四边形的问题转化为三角形的问题．根据平行四边形的性质可知由对角线和边组成的三角形的三边是10和4、，利用三角形三边关系可求x的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
在中，，
∴的取值范围是，即，
∴的取值范围是．
故答案为：．
13．
【分析】
本题考查了实数的运算，分母有理化，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【解答】
解：由题意得：，
故答案为：
14．且
【分析】先解分式方程，用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：
去分母，得：，
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：．
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴．
又∵，
∴．
∴．
解得：且．
故答案为：且．
【点拨】
本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．
15．或
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF−EF＝2AB−EF＝8，
∴AB＝5；
②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF＝2AB＋EF＝8，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为3或5．
故答案为3或5.
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE，CF＝CD．
16．
【分析】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算．根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可．
【解答】解：，
，
，
∴
可知此组数三个一循环，
，
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案；
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
18．
【分析】本题考查解分式方程．利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
19．从第①步开始出错，正确的解题过程见解答
【分析】
本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的通分是解题的关键，在运算过程中还要注意符号的变化，根据分式加减运算法则逐步进行运算即可得到答案．
【解答】解：从第①步开始出错．正确的解题过程如下：
解：
．
20．(1)、、
(2)
【分析】
（1）用优等品数除以抽取球数即可得出答案；
（2）根据随着抽取球数的增加，频率稳定于0.90可得答案．
【解答】（1）解：完成表格如下：
故答案为：、、．
（2）估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是，
由表知，随着抽取球数的增加，频率稳定于，
所以估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是．
【点拨】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．（1）17；（2）如图所示，见解析；（3）2．8；（4）①②．
【分析】（1）由国家创新指数得分为69．5以上（含69．5）的国家有17个，即可得出结果；
（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69．5，找出该点即可；
（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．
【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69．5以上（含69．5）的国家有17个，
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2．8万美元；
故答案为2．8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为①②．
【点拨】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
22．见解析.
【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】证明：由题意可得：AE=FC，
在平行四边形ABCD中，AB=DC，∠A=∠C，
在△ABE和△CDF中，，
所以，△ABE≌△CDF（SAS）．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
23．见解析
【分析】
本题考查了作图复杂作图、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．连接和交于点，再过点作垂直交于点，根据平行四边形的性质，可得，进而可得，，所以可得，可得点，使．
【解答】
解：如图所示：点即为所求．
24．(1)该种干果的第一次进价是每千克5元
(2)超市销售这种干果共盈利4800元
【分析】
本题考查了分式方程的实际应用，有理数混合运算的应用；
（1）等量关系式：3000元购进干果数量的倍9000元购进干果的数量，据此列方程，即可求解；
（2）第一次、第二次的销售总额减去两次购买干果的金额，即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【解答】（1）
解：设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）
解：第一次购进（千克），
第二次购进（千克），
（元）．
答：超市销售这种干果共盈利4800元．
25．(1)，；
(2)；
(3)，证明见解答；
【分析】
（1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案；
（2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案；
（3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第个等式：，再证明即可
【解答】（1）解：由题意可得，
，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，
第n个等式为：，
证明：左边
右边，
∴．
26．(1)
(2)2.5
(3)图见解答，
(4)
【分析】（1）根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答；
（2）运用割补法列式进行计算，即可作答．
（3）连接对应点，它们相交于一点，即为旋转中心；
（4）根据平行四边形的对边平行且相等进行分类讨论，灵活运用数形结合思想，进行作答即可．
【解答】（1）
解：如图所示：
则的坐标为；
（2）
解：的面积；
（3）解：如图所示：
旋转中心为；
（4）解：如图：
当为边时，根据
∴满足条件，且
当为对角线时，根据
∴满足条件，且
综上，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【点拨】本题考查坐标与图形，旋转，中心对称，平行四边形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，中心对称．综合性较强，难度适中．
27．（1）②，证明见解析；（2）②不成立，；（3）的长为6或
【分析】
（1）②将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，证明是等边三角形，得，证明，可得，证明，根据勾股定理可得结论；
（2）将线段绕点A顺时针旋转，得到线，连接．由旋转得 ，，证明，得，证明，根据勾股定理可得结论；
根据题意知点D有两处，如图3，过点C作，交的延长线于点E，证是等边三角形，得，，根据勾股定理求出，，，，从而根据可求出；如图4，过点C作，垂足为点F，求出，，，根据可求出
【解答】
（1）②
证明：如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．
由旋转可得，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴是等边三角形
∴
∴
即
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴
（2）② 中的结论不成立，
如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．
由旋转可得，，
∴是等腰直角三角形
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
即
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
（3）如图3，过点C作，交的延长线于点E，
∵，，
∴是等边三角形
∴，
∵
∴
∵在中，，
∴，
在中，
∴
∴
由（1）②得，
∴
如答图4，过点C作，垂足为点F，
∵，，
∴是等边三角形
∴，
∵
∴
∵在中，，
∴，
在中，
∴
∴
由（1）②得，
∴
答：的长为6或．
【点拨】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，运用直角三角形的性质是解答本题的关键．
抽取球数
优等品数
优等品频率
抽取球数
优等品数
优等品频率