四川省成都市成都市石室中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列实数中，的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义求解．
【详解】解：，
的倒数是，
故选D．
【点睛】本题考查求一个数的倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为1．
2. 2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长50.5%，将数据47.33亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
【详解】解：∵47.33亿.
故选：D.
【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
3. 如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：根据题意，
从左面看易得上面有1个竖起来的长方形，下面有2个横着的长方形；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4. 已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中两点关于x轴对称的特点，求出m，n的值，进而求出结果．
【详解】∵点A和点B关于x轴对称，
∴m-1=2，n-1+3=0，
m=3，n=-2，
∴．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点关于x轴对称的特点，熟练掌握是解题的关键．
5. 一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是（ ）
A. 正六边形B. 正七边形C. 正九边形D. 正八边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形外角和定理．根据多边形的外角和是360°和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：∵多边形的外角和是360°，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的外角的个数为，
∴这个多边形的边数是9，
故选：C．
6. 某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A. 17，8.5B. 17，9C. 8，9D. 8，8.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
由统计表可知，处于20，21两个数平均数就是中位数，
∴这组数据的中位数为；
故选D．
【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
7. 我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400公斤，总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．设传统水稻亩产量为x公斤，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设传统水稻亩产量为x公斤，则杂交水稻的亩产量是千克，由题意：总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩，列出分式方程即可．
【详解】设传统水稻亩产量为x公斤，则杂交水稻的亩产量是千克，
根据题意，得：
故选：A．
【点睛】本题考查了实际问题抽象出分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
8. 如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）

A. B. 当时，的值随值的增大而减小
C. D. 函数值有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题．
【详解】解：抛物线的开口方向下，
．故A错误；
二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，
当时，的值随值的增大而减小，
故B正确；
的图象与轴有两个交点，
，故C不正确；
，对称轴，
时，函数值有最大值，
故D不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性，对称性，根据图象确定各项系数的符号以及式子的正负．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 分解因式：mx2﹣4mxy+4my2＝__．
【答案】
【解析】
【分析】根据分解因式的方法，先提公因式，再利用公式法分解因式．
【详解】解：mx2﹣4mxy+4my2＝m（x2﹣4xy+4y2）＝m（x﹣2y）2．
故答案为：m（x﹣2y）2．
【点睛】本题主要考查分解因式的方法，能提公因式先提公因式，再考虑套公式等方法，注意运算顺序．
10. 将直线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式．
【详解】解：由题意，得
．
故答案为：．
11. 若反比例函数(为常数)的图像位于第一、三象限，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象性质求解即可；
【详解】∵反比例函数(为常数)的图像位于第一、三象限，
∴，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，准确计算是解题的关键．
12. 如图，是的直径，是弦（点不与点，点重合，且点与点位于直径两侧），若，则的大小为 ________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键．首先可求得的度数，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
13. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为 _____．
【答案】15
【解析】
【分析】由作图过程可得AH平分∠DAC，过点H作HQ⊥AC于点Q，根据角平分线的性质可得DH＝QH，然后证明Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），可得AD＝AQ＝6，所以CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，再根据勾股定理可得HQ，进而可以解决问题．
【详解】解：由作图过程可知：AH平分∠DAC，
如图，过点H作HQ⊥AC于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴DH＝QH，
∵AD＝6，DC＝AB＝8，
∴AC10，
∴HC＝DC﹣DH＝8﹣HQ，
在Rt△ADH和Rt△AQH中，
，
∴Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），
∴AD＝AQ＝6，
∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，
在Rt△CHQ中，根据勾股定理得：
CH2＝CQ2+HQ2，
∴（8﹣HQ）2＝42+HQ2，
解得HQ＝3，
∴△AHC的面积AC•HQ10×3＝15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了作图一基本作图、角平分线的性质,矩形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，掌握基本作图方法是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：．
（2）求不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】（1）；（2），不等式组的非负整数解为0，1，2
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算和求不等式组的解集，熟练掌握运算法则和解法是解题的关键．
（1）利用零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的有理化进行运算即可；
（2）求出不等式组的解集，写出其中的非负整数即可．
【详解】（1）解：原式；
；
（2）解不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2
15. 2022年第三届亚洲青年运动会（以下简称“亚青会”）于12月20日至28日在广东汕头举行．汕头二中为提升学生参与的热情，征集学生创作“爱汕头，迎亚青”艺术作品．美术陈老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班的作品进行数量统计分析，绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表述C班的扇形圆心角的度数为______．
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用画树状图或列表法写出分析过程）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出A班作品数量所占百分比，再用A班作品数量除以其百分比，求出抽取作品总数；用抽取作品总数分别减去A、C、D作品数，求出B班作品数量，最后补全条形统计图即可；
（2）用乘以C班作品数量所占百分比，即可求解；
（3）画出树状图，数出所有去情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：抽取作品总数：（件），
B班作品数量：（件），
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：，
故答案为：．
【小问3详解】
解：画出树状图如图所示：

一共有12种情况，恰好抽中一男一女的6种情况，
∴恰好抽中一男一女的概率．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据关联，解题的关键是正确理解题意，根据统计图获取需要的数据．
16. 北京时间年月日时分，尼泊尔发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面、两处均探测出建筑物下方处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置的深度．结果精确到米．参考数据：，，，
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，作交的延长线于，在直角三角形和直角三角形中，根据已知角的正切值列方程求解即可，通过三角函数列出方程是解题的关键．
【详解】解：作交延长线于，设 米，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴ ，
解得：米，
答：该生命迹象所在位置的深度约为米．
17. 如图，是的直径，点是外一点，点在上，且，连接交于点．过点作于点，交于点，交于点，且．

（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长和的半径．
【答案】（1）见详解 （2），的半径为
【解析】
【分析】（1）根据，可得，根据可得，即可得到，结合即可得到答案；
（2）连接，，先证，结合可得，，易得，得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，最后结合即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示：

，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
于点，
，
，
，
又是的直径，
是的切线；
小问2详解】
解：连接，，

在中，，
又，
，
，
，则，
在中于点，
，，
，
，
，
，
，
在中，
是的直径，
，
，
，
．
，半径为．
【点睛】本题考查切线证明及圆的综合题，全等三角形性质与判定，三角形相似性质与判定，解题的关键是作出辅助线根据圆的性质找到等角等关系．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当的面积为时，求此时点C的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）根据直线与反比例函数的图象交于两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标；
（2）设，则，表示出，然后根据四边形的面积为列方程，解方程可解答；
（3）如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于，证明，根据正切的定义求出，可得的解析式为，联立解析式可求得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，同理求出的解析式，根据列方程求解，可得点D坐标．
【小问1详解】
解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：，
∴，
解得：（与点A重合，舍去），，
∴；
【小问2详解】
如图1，过点C作轴，交直线于点D，

设，则，
∵点C为反比例函数图象第四象限上的动点
∴，
∵，，
∴，
解得或，
∴或；
【小问3详解】
存在；
如图2，过点B作轴于G，过点A作轴，过点C作于M，

在中，当时，，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形是“垂等四边形”，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
将点B的坐标代入得：，
∴，
∴的解析式为，
∴，
解得：或（点C在第四象限，舍），
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理得：的解析式为：，
设，
∵，
∴．
解得：，（不符合题意，舍），
∴，
∴，．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，解一元二次方程，正切的定义等知识，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
B卷（共50分）
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 化简的结果为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分式的加减乘除运算，求解即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则．
20. 若a，b是方程的两根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，；根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【详解】解：是方程的根，
，
，
故答案为：．
21. 黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义可得的长，从而得到的长，再由阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：∵四边形是黄金矩形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
22. 如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作，，，根据菱形的性质，翻折的性质，解直角三角形，用、依次表示，，，，，，，通过证明为矩形，表示出，根据解直角三角形，表示出，，列出等量关系，即可求解，
本题考查了菱形的性质，翻折的性质，解直角三角形，矩形的性质与判定，解题的关键是：用含、的代数式，表示出．
【详解】解：作于点，延长交于点，
设，，则，
∵菱形，
∴，
∵为边中点，
由折叠的性质得：，，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，则：，
∴，
∵，，，
∴为矩形，
∴，
∵，
∴，在中，同理可得：，
在中，同理可得：，
∴，即：，解得：，
故答案为：．
23. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可．
【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
分析可知：当x=0时，y最大值为t+1，
当x≤2时，x=-2时，y有最小值t-3，
当x＞2时，x=t时，y有最小值-t2+t+1，
由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当x≤2时，
①t+1≥3-t且，
解得，
②当3-t≥t+1且，
解得
（II）当x＞2时，
①t2-t-1≥t+1且
无解；
②t2-t-1＜t+1且，
无解，
故答案：或．
【点睛】本题考查了二次函数最大值和最小值的求法，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元
（2）①w与a的函数关系式为；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）等量关系式：320元购进“天宫”模型的数量元购进“神舟”模型的数量，据此列方程，检验合理性，即可求解；
（2）①总利润“神舟”模型的利润“天宫”模型的利润，据此即可求解；
②可求，再由一次函数的增减性，从而可求的最值．
【小问1详解】
解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(元)，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
【小问2详解】
解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个，
则
，
与a的函数关系式为；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
，
解得，
，，
当时，
（元）；
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出相应的等量关系及不等关系，会根据一次函数的性质求解是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点P，与x轴交于点，B(点B位于点A左侧)，与y轴交于点C．
（1）求c与b之间的关系，并求出点P的坐标(用含b的代数式表示)；
（2）若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，求b的值；
（3）在（2）的条件下，过点P作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点M，N(点M位于点N左侧)，探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1），点P的坐标为
（2）
（3）直线一定经过定点，该定点的坐标为
【解析】
【分析】（1）把代入，即可得出，再运用配方法即可得出顶点坐标；
（2）令，可求得，根据抛物线的对称性可得出，得出是等腰直角三角形，即，再由是直角三角形，且，，即可推出，，进而得出，建立方程求解即可求得的值；
（3）过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，可证得，得出，设，，可证得，运用待定系数法可得直线的解析式为，即可得出直线一定经过定点．
【小问1详解】
解：把代入，得，
，
，
抛物线的顶点的坐标为；
【小问2详解】
在抛物线中，
令，得，
，
抛物线的对称轴为直线，点与点关于对称轴对称，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是直角三角形，且，，
，
，
，
，即，
；
【小问3详解】
由（2）得：，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，
如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，
则，
，
，
，
，
，
，
设，，
则，，
，，，，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
，
，
直线的解析式为，
故直线一定经过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质及待定系数法是解题关键．
26. 如图，在和中，其中，，将绕点C旋转，连接，．
（1）求证：；
（2）设与交于点F，与交于点G，若四边形为平行四边形，求的值；
（3）连接，，若，，当点D在射线上时，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可；
（2）分别求出，与的关系，可得结论；
（3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，过点作与点．如图中，当点在的延长线上时，分别利用勾股定理求解．
【小问1详解】
证明：，，
，，，
，，
；
【小问2详解】
解：①连接，如图2所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，，，
，即，
；
【小问3详解】
如图中，当点在线段上时，过点作与点．
在中，，，
在中，，，
，，
，，
在中，，，
在中，，
．
如图中，当点在的延长线上时，同法可得．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
人数（人）
3
17
13
7
时间（小时）
7
8
9
10