甘肃省定西市安定区城区学校联考2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数即可，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是，
故选：．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
3. 如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A. 三棱锥B. 圆锥
C. 圆柱D. 圆台
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：A.主视图为有一条公共边的两个三角形，故本选项不合题意；
B.主视图为等腰三角形，故本选项不合题意；
C.主视图为矩形，故本选项符合题意；
D.主视图为等腰梯形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识．主视图是指从物体的正面看物体所得到的图形．
5. 某班一合作学习小组有5人，某次数学测试成绩数据分别为65、78、86、91、85，则这组数据的中位数是（ ）
A. 78B. 85C. 86D. 91
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义，找到这组数据的中位数即可．
【详解】解：∵这组数据从小到大排列为：65、78、85、86、91，
∴中位数为第三个数据85，
故选∶B．
【点睛】本题考查中位数的定义，中位数为一组数据从小到大（从大到小）排列，最中间的数，奇数个数据是最中间的一个数，偶数个数据是最中间两个数的平均数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
6. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
7. 如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴两个相似三角形的面积比为，
故选：C．
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
9. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
10. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )．

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以．
故选B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式： _______________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数m，然后再运用平方差公式因式分解即可；灵活运用提取公因式法和公式法因式分解成为解答本题的关键．
详解】解：．
故答案为．
12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
13. 已知一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形的边数是______．
【答案】九##9
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．先求出每一个外角的度数，再用除即可求出边数．
【详解】解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案是：九．
14. 函数y=中，自变量x的取值范围是___________.
【答案】x≥－2且x≠3
【解析】
【详解】分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数≥0，分母≠0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：x+2≥0且x-3≠0，
解得：x≥-2且x≠3．
15. 已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于，得到关于m的一元一次方程，解之即可求解．
【详解】设方程的另一个根为m，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧；是以点C为圆心，为半径的圆弧；是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出坐标规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点Ax的坐标满足“(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)”，根据这一规律即可得出点的坐标．
【详解】解：观察，找规律∶，，，，，，，，，，，，，，，…，
∴(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)．
∵，
∴的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（一）（本题共6小题，共32分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值，绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及二次根式的加减，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
19 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解法，正确的计算是解题的关键．
20. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．
（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可；
（2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论．
【详解】解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；
以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示：
（2）结论：．理由如下：
由作图可得：是的垂直平分线，



四边形是圆的内接四边形，





【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键．
21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．

（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【答案】（1）；（2）见解析，
【解析】
【分析】(1)这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,根据概率公式计算即可;
(2)画出树状图计算即可.
【详解】（1）∵这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,
∴数字是6的概率为,
故答案为：；
（2）解：画树状图如图所示：
∵共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况．
∴（其中有一幅是祖冲之）．
【点睛】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．
四、解答题（二）（本题共5小题，共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1与图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有________名学生，“优秀”所占圆心角的度数为________
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
【答案】（1）500；108°；（2）见解析；（3）1500名
【解析】
【分析】（1）由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由360°乘以“优秀”所占的比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；
（2）求出“一般”的人数，补全条形统计图即可；
（3）由15000乘以“不合格”所占的比例即可；
【详解】解：（1）该校八年级共有名；
“优秀”所占圆心角的度数为；
（2）“一般”的人数为（名），
补全条形统计图如图1：
（3），
即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据，构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；
【小问2详解】
当时，，
，
为轴上的动点，
，
，，
，
，
或．
∵，
∴．
25. 如图，在中，，以为直径的与交于点D，点E是的中点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合证得，再证明得到，由切线的判定即可证得与相切；
（2）直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义和勾股定理即可求出，从而求出．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示，
为的直径，
，
点为的中点，
，，
又，，
，，
，
是半径，
与相切；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，
，
，
．，
在中，，
即，
(负值已舍去)，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得．
26. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．

（1）当点E在线段上，时，如图①，求证：；
（2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，，则_______．
【答案】（1）见解析 （2）图②：，图③：
（3）1或7
【解析】
【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以；
（3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得．
【小问1详解】
证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
【小问2详解】
如图②，当点E在线段延长线上，时，

同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，

∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
【小问3详解】
如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
中，,，
由，得；
如图②，，则,中，，
∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
【点睛】本题考查平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键．
27. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①当时，有最大值，最大值为；②或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．