2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明题

这是一份2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明题，共25页。
1．如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，时，求的长．
2．如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点，与交于点．连接，，作，与的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求的度数．
3．如图，以为直径的上有两点E、F，，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C，过C作平分交于点M，交于点N．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)如果N是的中点，且，求的长．
4．如图，已知是以为直径的的切线，且，连接交于点，延长交于点，为的中点．
(1)求证∶ 是的切线；
(2)若的半径为2，求的长．
5．如图，已知是的外接圆，是的直径，点是延长线上的一点，交的延长线于，于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
6．如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
7．如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，
①求的长；
②求的半径．
8．如图，为的直径，是的一条弦，作的角平分线与相交于点D，过点D作交的延长线上于点E，延长线段交于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求．
9．如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积．
10．如图，、内接于，，是延长线上一点，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
11．如图，点在直角的边上，，以为圆心、为半径的与边相交于点，连接交于点，连接并延长交于点．已知．

(1)求证：是切线；
(2)若，求半径．
12．如图，是的外接圆，是的直径，C是延长线上一点，在上，连接，若．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
13．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，，求的长．
14． 如图所示， 为的直径， 弦于点 E， 连接， 过点C作 交于点G， 点 F 在 的延长线上， 连接 ， 已知．
(1)求证： 是的切线;
(2)若 求的半径．
15．如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，
①求的半径的长；
②求的长．
参考答案：
1．（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
，
，为半径，
是的切线，
又是的切线，
，，
，
∵，
，
，
，
，
．
2．（1）证明：连接．
，
，
．
．
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：连接．
，
中，，
，
∵，
．
，
，
，
，
∴，
∵四边形是平行四边形，
．
3．（1）证明：如图所示，

∵，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：如图所示，

∵平分
∴
又∵，
则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，取的中点，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
设，则，
∴
∵
∴
∴，,
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴．
4．（1）
证明：连接，
是直径，
，
，
又为的中点，
，
，
，
，
是的切线，是直径，
，
，
，
，
是圆的切线；
（2）
解：∵、都是圆的切线，
∴，
∵为的中点．
∴，
∴，
在和中，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
．
∴．
5．（1）证明：连接．
，，，
．
，
．
．
．
，
．
是的切线．
（2），．
在中，，，
∴，
，．
在中，，
．
6．（1）证明：如图1，连接，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，

∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，，
∵，
∴，
解得，
∴的半径为10．
7．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）解：①由（1）得：，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴；
②在中，，
在中，
∵，
∴．
∴的半径为．
8．（1）证明：连接，
的角平分线与交于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）如图，过点D作于点M，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
设，
的角平分线与交于点D，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
．
9．（1）证明：∵，
∴的度数为，
∴优弧的度数为：，
∴优弧所对的圆心角的度数为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）连接，过点作，
则：，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
10．（1）如图，连接并延长交于点，连接，则．

又，
，
是的直径，
是90°，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2），，，
，，
，
．
11．（1）
证明：连接，

在和中，
，
，
，
，
是的半径，
是切线；
（2）
解：设半径为，则，，
，
，
，
，
，
解得，
即半径为4
12．（1）解：证明：如图1，连接．
是的直径，
，
．
，
．
，，
，
，
为的切线．
（2）解：如图2，设交于点H．
，
，
，．
，
．
设，则．
，，
，
，
解得，
，
，
．
13．（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过O点作于点，如图，
∵，，，的半径为5，
∴，，
即：，
∵，，，
∴，
∴，
设，即，
∵，，
∴在中，有；
在中，有
∴，
解得：，
∴．
14．（1）连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为．
15．（1）解：连接
是的直径，
，则，
又是的中点，
．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴的半径长为；
②在中，
∴，
连接，
，
∵是的中点，是的中点，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：．