中职数学8.1 随机事件优秀习题

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1. 在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为必然现象，发生的结果事先不能确定的现象称为随机现象。
2．在相同的条件下，对随机现象进行的观察试验叫做随机试验，简称为试验.
3．随机试验每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母w表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母表示。
4．如果随机试验的样本空间是，那么的任意一个非空真子集称为随机事件，简称为事件，常用英文大写字母A、B、C 等表示，事件中的每一个元素都称为基本事件.
5. 频率：在相同的条件 S下重复n次试验，观察事件 A 是否出现，称n次试验中事件A 出现的次数 m 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率，其取值范围是 [0，1]。
6.概率：
(1)定义:一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间 [0,1]中某个常数上，这个常数称为事件 A 的概率，记为P(A) ，其取值范围是[0,1]。通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性大小。
(2)求法:由于事件A 发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率。
(3)说明:任何事件发生的概率都是区间 [0，1]上的一个确定的数，用来度量该事件发生的可能性，小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生，大概率（接近于1）事件不是一定发生，而是经常发生。
(4)性质： = 1 \* GB3 ①对任意的事件A，都有；
= 2 \* GB3 ②必然事件的概率为1，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
= 3 \* GB3 ③不可能事件的概率为0，即:P(∅)＝0。
注意：
空集也是的子集，可以看作是一个事件，但由于空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此空集称为不可能事件。
【题型1 事件类型的判断】
【题型2 随机试验的样本空间】
【题型3 频率与概率】
【题型1 事件类型的判断】
知识点：判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).
例1. 下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据随机事件的知识确定正确答案.
【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，
④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.
故选：C
例2. 在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（ ）．
A．3件都是正品B．至少有1件是次品
C．3件都是次品D．至少有1件是正品
【答案】D
【分析】根据必然事件的定义判断．
【详解】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为，正品的个数分别为，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生．
故选：D．
例3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值小于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．某两个数的和小于0
D．某两个数的积大于0
【答案】A
【分析】根据不可能事件的概念，即可分析各选项的正误.
【详解】对于A，任何数的绝对值都大于等于0，不可能小于0，
所以某个数的绝对值小于0是不可能事件；
对于B，0的相反数等于它本身，而的相反数不等于它本身，
所以某个数的相反数等于它本身不是不可能事件；
对于C，，，
所以某两个数的和小于0不是不可能事件；
对于D，，
所以某两个数的积大于0不是不可能事件；
故选：A.
例4. （多选）下列现象中，是随机现象的有（ ）
A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B．若a为整数，则a＋1为整数
C．发射一颗炮弹，命中目标
D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品
【答案】ACD
【分析】根据事件的分类逐项分析判断.
【详解】对于选项A：交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确；
对于选项B：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误；
对于选项C：发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确；
对于选项D：检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确；
故选：ACD.
例5. 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品；
②至少有1件是次品；
③3件都是次品；
④至少有1件是正品.
随机事件有 ，必然事件有 ，不可能事件有 .
【答案】 ①② ④ ③
【分析】根据正品和次品产品的数目，结合事件的概念，即可得出答案.
【详解】对于①，由题意知，抽出的3件可能都是正品，故①是随机事件；
对于②，由题意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是随机事件；
对于③，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；
对于④，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.
故答案为：①②；④；③.
【题型训练1】
1．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
【答案】B
【分析】根据事件的知识求得正确答案.
【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.
故选：B
2.掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子（如图），观察向上的ｰ面的点数，下列属必然事件的是（ ）
A．出现的点数是7B．出现的点数不会是0
C．出现的点数是2D．出现的点数为奇数
【答案】B
【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断即可.
【详解】掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
是不可能出现0的，
所以事件出现的点数不会是0为必然事件，B正确；
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
是不可能出现7的，
所以事件出现的点数是7为不可能事件，A错误；
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，
可能出现2点，也可能不出现3点，
所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件，C，D错误，
故选：B.
3.在欧几里得几何中，下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形的内角和为B．三角形中大角对大边，小角对小边
C．三角形中任两边之和大于第三边D．锐角三角形中两内角和小于
【答案】D
【分析】根据三角形的性质判断即可.
【详解】∵三角形的内角和为，∴其为必然事件，故A错误；
∵三角形中大角对大边，小角对小边，∴其为必然事件，故B错误；
∵三角形中任两边之和大于第三边，∴其为必然事件，故C错误；
∵锐角三角形中两内角和大于，∴“锐角三角形中两内角和小于”为不可能事件，故D正确.
故选：D.
4.下列现象中，是确定性现象的是 ．
①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天．
【答案】①
【分析】根据确定事件以及不可能事件和随机事件的定义即可求解.
【详解】长度为3，4，5恰好构成勾股数，所以必然构成一个直角三角形，故①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象．
故答案为：①
5. 下列事件中必然事件为 ，不可能事件为 ，随机事件为 （填序号）.
①13个人中至少有两个人生肖相同；
②车辆随机到达一个路口，遇到红灯；
③函数在定义域内为增函数；
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数.
【答案】 ① ③ ②④
【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断即可.
【详解】因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件；
车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；
因为，所以函数在定义域内为减函数，所以③是不可能事件；
买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件.
故答案为：①；③；②④.
6.下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环
C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°
【答案】D
【分析】根据“不可能事件”的知识确定正确答案.
【详解】不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
由于三角形内角和为180°，故D项对应的事件是不可能事件，
ABC选项中对应的事件是随机事件，不符合题意.
故选：D
【题型2随机试验的样本空间】
知识点：随机试验每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母w表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母表示。
例6. 将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为 .
【答案】
【分析】根据抛掷硬币的结果求解即可.
【详解】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为，
所以该试验样本空间为.
故答案为：.
例7. 做试验“从，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第1次取到的数字，为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出这个试验样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
【答案】(1)答案见解析
(2)6
(3)，
【分析】（1）根据样本空间的定义求解；
（2）直接计数可得；
（3）由（1）可得．
【详解】（1）这个试验的样本空间．
（2）易知这个试验的样本点的总数是6．
（3）“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点为：，.
例8. 从含有5件次品的100件产品中任取3件，观察其中的次品数.
（1）选择合适的表示方法，写出样本空间；
（2）写出事件A：“取到的3件产品中没有次品”的集合表示；
（3）说明事件所表示的实际意义.
【答案】（1）样本空间.（2）事件.（3）抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品
【解析】（1）用抽取的3件产品中次品的件数表示事件，即可写出样本空间；
（2）因为取到的3件产品中没有次品，所以次数为0，即可写出；
（3）根据事件中的数字，即可知其表示抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品．
【详解】用0，1，2，3表示抽取的3件产品中次品的件数，则有：
（1）样本空间.
（2）事件.
（3）表示的实际意义是：抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品
例9. 先后抛掷两枚骰子．
(1)写出该试验的样本空间．
(2)出现“点数相同”的结果有多少种？
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据两枚筛子的可能点数，即可写出样本空间；
（2）两枚筛子点数相同有六种情况，由此写出答案.
【详解】（1）抛掷两枚骰子，第一枚骰子可能的基本结果用x表示，第二枚骰子可能的基本结果用y表示，那么试验的基本事件可用表示,
该试验的样本空间为 .
（2）“点数相同”包含、，，、、，共6种结果．
【题型训练2】
1．随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5B．1到6的正整数C．6D．一切正整数
【答案】D
【分析】根据样本空间的概念即可求解.
【详解】连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限大，样本空间是一切正整数.
故选：D.
2．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“”对应的样本点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用随机事件的定义直接求解
【详解】解：连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是，则“”对应的样本点是，
故选：D
3.设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间；
(2)写出事件A、事件B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)45
【分析】（1）根据样本空间的知识写出样本空间.
（2）根据样本空间写出事件A、事件B包含的样本点.
（3）通过各车站准备的车票种类求得正确答案.
【详解】（1）＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
（2）A：S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10；
B：S7，S8，S9，S10.
（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，
合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)；
4.已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
(3)
(4)得到的点是第三象限内的点.
【分析】（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；
（2）由样本空间可得样本点的个数；
（3）找出横纵坐标都大于的样本点即可；
（4）根据事件中样本点的坐标可得实际意义.
【详解】（1）样本空间为：
（2）由知这个试验样本点的总数为.
（3）得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
（4）事件表示得到的点是第三象限内的点.
5. 一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
【答案】(1)10个；
(2)3个.
【分析】(1)将袋中的5个求分白球、黑球编号，用列举法写出所有可能结果即可得解.
(2)利用(1)写出摸出的2个球都是白球结果即可得解.
【详解】（1）用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：
(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，
所以共10个样本点.
（2）由(1)知，“2个都是白球”含有的结果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
【题型3频率与概率】
知识点：随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率。
例10. 下列说法正确的是（ ）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据频数、频率、概率的定义逐项判断即可.
【详解】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确；
对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确；
对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误；
对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误；
故选：C.
例11. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.51C．0.49D．0.47
【答案】B
【分析】运用频率定义计算即可.
【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为.
故选：B.
例12. 如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据每次试验出现正反面的概率是相等的即可得到结果.
【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为.
故选：D.
例13. 对于下列说法：
①设有一批产品，其次品率为0.01，则从中任取200件，必有2件次品；
②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，则出现1点的频率是；
③做100次抛硬币的试验，有49次出现正面.因此出现正面的概率是0.49；
④随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率；
其中正确的所有序号是
【答案】②
【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可.
【详解】对于①，次品率是大量产品的估计值，并不是必有件是次品，故①错误；
对于②，抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，
则出现1点的频率是，故②正确；
对于③，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故③错误；
对于④，频率与概率不是同一个概念，故④错误.
故答案为：②.
例14. 10．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了位老年人，结果如下（单位：人）：
(1)试估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的概率；
(2)通过以上数据能否说明该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
【答案】(1)需要志愿者提供帮助的老年人的概率约为；
(2)可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【分析】（1）求出需要志愿者提供帮助的老年人的频率，由频率估计概率即可；
（2）分别估计不同性别老年人是否需要志愿者提供帮助的比例，比较后得出结论即可.
【详解】（1）样本抽取的位老年人中，需要志愿者提供帮助的有人，
∴样本中需要志愿者提供帮助的老年人频率为，
∴用样本估计总体，由频率估计概率，该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的概率约为.
（2）样本抽取的位老年人中，有男性老年人人，女性老年人人，
其中需要志愿者提供帮助的男性老年人有人，女性老年人有人，
∴样本中需要志愿者提供帮助的男性老年人频率为，女性老年人频率为，
∴由样本估计总体，该地区需要志愿者提供帮助的男性老年人的比例为，女性老年人为，有较大差异，
∴可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【题型训练3】
1．（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
【答案】ABC
【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.
【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误；
对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误；
对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；
对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确.
故选: ABC.
2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．213石B．152石C．169石D．196石
【答案】C
【分析】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解．
【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为，
则这批米内夹谷约为（石，
故选：C
3．某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ．
【答案】/
【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案.
【详解】由题意可知事件A出现的频率为，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，
由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为，
故答案为：
4．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483
C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517
【答案】B
【分析】根据概率与频率的关系判断.
【详解】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；
抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误；
甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误.
故选：B
5.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
【答案】/0.4
【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.
【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，
故这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故答案为：
6．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：
从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率．
【答案】
【分析】根据频率与概率的知识求得正确答案.
【详解】根据频数分布表，知100名学生中一周课外阅读时间少于12小时的学生共有：
6＋8＋17＋22＋25＋12＝90(名)，
所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是.
用频率估计概率，可得从该校随机选取一名学生，
其该周课外阅读时间少于小时的概率为.
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
11
10
5
8
5
12
19
10
11
9
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
不需要
组号
分组
频数
组号
分组
频数
1
6
6
12
2
8
7
6
3
17
8
2
4
22
9
2
5
25