高教版（2021）拓展模块二 下册10.1.1 集中趋势优质导学案及答案

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知识点一：集中趋势与离散程度
1．众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
2．极差、方差、标准差
(1)极差：一组数据中最大值与最小值的差
极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。
(2)方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 ，方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。
(3)标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
(4)极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。
知识点二：一元线性回归
1．求线性回归方程的一般步骤
(1)收集样本数据，设为（数据一般由题目给出）．
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格．
(4)计算．
(5)代入公式计算，公式为
(6)写出线性回归方程．
考点一 集中趋势与离散程度
1．下列说法错误的是( )
A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数
B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数
C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据
D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
【答案】A
【解析】用样本估计总体情况时，在一组数据中，众数、中位数和平均数可能是同一个数，
例如：数据10,11,11,11,11,11,12的众数、中位数和平均数都是11，故选：A.
2．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A．14,14 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5
【答案】A
【解析】把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.，故选：A.
3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】D
【解析】由题意得a＝eq \f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq \f(157,10)＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a，故选：D.
4． 我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
【答案】B
【解答】根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化，故选：B．
5．在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是8B．中位数8.5C．众数是8D．极差是4
【答案】B
【解答】A．平均数为＝，故本选项不合题意；
B．中位数为＝8.5，故本选项符合题意；
C．众数是7和9，故本选项不合题意；
D．极差为10﹣7＝3，故本选项不合题意；
故选：B．
6．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（ ）
A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变
【答案】B
【解析】由题意知七年级（1）班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，∴今年升为九（1）班的学生的平均年龄增加2岁，即15岁，又∵学生的年龄波动幅度没有变化，∴今年升为九（1）班的学生年龄的方差不变，仍然为4，故选：B．
7．一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=___________，已知一个样本－1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的方差为s2＝_______．
【答案】 22 6
【解析】（2）根据题意和中位数的定义，21是最中间的两个数的平均数，∵16，18，20都比中位数21小，∴x排在20后面，∵20与23的平均数大于21，∴x排在23前面，∴该组数据从小到大排列为：12，18，20，x，23，27，∴，解得，故答案为：22；
（2）∵样本－1，0，2，x，3的平均数是2，∴，解得，
∴故答案为：6．
8．已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ）
A．极差是5B．众数是8C．中位数是9D．方差是2.8
【答案】C
【解析】一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，，解得，这组数据为：5，8，8，9，10，极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意；众数是8，故B选项正确，不符合题意；中位数是8，故C选项错误，符合题意；方差=，D选项正确，不符合题意；故选C．
9．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
【答案】
【解析】平均数为：，故方差是：，故答案为：．
10．如果有一组数据-2，0，1，3，的极差是6，那么的值是 ．
【答案】4或-3
【解析】∵3-（-2）=5，一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，∴当x为最大值时，x-（-2）=6，解得x=4；
当x是最小值时，3-x=6，解得：x=-3．故答案为：4或-3．
11．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如表：
则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）
A．中位数是3B．平均数是3.3
C．众数是8D．极差是7
【答案】A
【解答】A、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数，都是3，故中位数是3，所以此选项符合题意；
B、均数＝＝3.2，所以此选项不合题意；
C、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不合题意；
D、极差是4﹣2＝2，所以此选项不合题意；
故选：A．
12．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：
（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为 g；
（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为 kg；
（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．
①a＝ ；
②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．
【答案】答案见解析
【解析】解：（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为＝168（g）．故答案为：168；
（2）∵蟹苗的成活率为75%，∴成活蟹的只数为1200×75%＝900（只），∴估计蟹塘中蟹的总质量为168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．故答案为：151.2；
（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，∴a＝164．故答案为：164；
②S2＝×[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣168）2+（167﹣168）2]＝7．即第3次试捕所得蟹的质量数据的方差为7．
13．若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为8，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为8，方差为1B．平均数为5，方差为1
C．中位数变小，方差不变D．众数不变，方差为4
【答案】C
【解析】∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为8，方差为4，∴样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均数为5，方差为4，众数和中位数变小，故选：C．
考点二 一元线性回归
14．由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，根据样本中心满足线性回归方程，则（ ）
A．45B．51C．67D．63
【答案】B
【解析】由题意得，因为线性回归方程为，所以，
故选：B.
15．我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示．
根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为，因回归方程过定点，将其代入，得，解得，故选：C
16．根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．60B．55C．50D．45
【答案】A
【解析】由表中数据，计算，，因为回归直线方程过样本中心，，解得，故选：A.
17．某单位做了一项统计，了解办公楼日用电量（度）与当天平均气温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了如下对照表：
由表中数据得到线性回归方程，则当日平均气温为时，预测日用电量为 度.
【答案】66
【解析】由题知，，因为回归方程，
所以，解得，所以回归方程为，所以，当时，
所以，当日平均气温为时，预测日用电量为.故答案为：.
18．某城市2017年到2021年人口总数与年份的关系如表所示，据此估计2022年该城市人口总数______(单位十万).（参考数据和公式：，）
【答案】
【解析】由题可得，， 又，
∴，故关于的线性回归方程为，
当时，.故答案为：.
19．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程表示的直线必过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，．则样本中心为，故选：B.
20．假定产品产量x（千件）与单位成本y（元/件）之间存在相关关系.数据如下：
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归直线方程，对于单位成本70元/件时，预报产量为多少；
【答案】答案见解析
【解析】解：(1)散点图如下：
(2)解：因为，，
，，所以，，
所以回归直线方程为，令，则，解得，
所以单位成本70元/件时，预报产量约为千件.阅读时间
（小时）
2
2.5
3
3.5
4
学生人数（名）
1
2
8
6
3
数量/只
平均每只蟹的质量/g
第1次试捕
4
166
第2次试捕
4
167
第3次试捕
6
168
第4次试捕
6
170
治理经费x/亿元
3
4
5
6
7
治理面积y/万亩
10
12
11
12
20
2
4
5
6
8
30
40
50
70
日平均气温
18
13
10
日用电量度
24
34
38
64
年份（年）
0
1
2
3
4
人口数（十万）
5
7
8
11
19
x
0
1
2
3
y
1
2
4
6
x
2
3
4
3
4
5
y
73
72
71
73
69
68