2024年河南省平顶山中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数定义直接求解即可得到答案，熟记相反数定义是解决问题的关键．
【详解】解：的相反数是，
故选：D．
2. 已知某几何体的俯视图如图所示，该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体．由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可．
【详解】解：图示是一个圆且这个圆的圆心．
A、圆柱的俯视图是一个圆，没有圆心，故选项符合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故选项不符合题意；
C、圆锥的俯视图是一个圆，有圆心，故选项不符合题意；
D、长方体的俯视图是一个长方形，故选项不符合题意；
故选：A．
3. 龙年伊始，平顶山市迎来了新年文旅“满堂红”．今年春节期间，平顶山市共接待游客万人次，实现旅游收入亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于等于时与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿，
故选：D．
4. 如图，直线，等边的顶点B，C分别在直线m，n上，若，则∠2的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质．由平行线的性质求得的度数，根据等边三角形的性质求得，再利用平角的性质求解即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，

故选：B．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，合并同类项，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的
故选：D
6. 如图所示，是的内接三角形．若则的度数等于（ ）
A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定义，三角形的内角和性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，据此即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
故选：A．
7. －元二次方程根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式．先整理成一般式，再计算判别式即可判断一元二次方程的跟的情况．
【详解】解：整理得，
∴，
∴有两个不相等的实数根．
故选：C．
8. 若反比例函数经过点．则一次函数的图像一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
∴该直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
9. 如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A. 只闭合1个开关B. 只闭合2个开关C. 只闭合3个开关D. 闭合4个开关
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
10. 如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作，当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时，当动点P运动到点时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可．
【详解】解：作，垂足为，
当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即，
当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一
【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为满足“到原点的距离大于2，还是负数”
故答案为：
12. 分式方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程．方程两边乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可
【详解】解：方程两边乘以得
，
解这个方程，得
，
检验：当时，，所以是原分式方程的解．
即原分式方程的解为．
故答案为：．
13. 某校为了解学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四类运动的参与情况，随机调查本校部分学生，让他们从中选择参与最多的一类运动，以选择各项目的人数制作了条形统计图．若从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为______．
【答案】##0.375
【解析】
【分析】本题考查了概率公式．用恰好选择篮球这项运动的人数除以调查的总人数即可求解．
【详解】解：∵调查的总人数为（人），
其中选择篮球这项运动的人数为人，
∴从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为，
故答案为：．
14. 如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题．先求出点A的坐标，然后求出的长，即知点C的横坐标，再将点C的横坐标代入反比例函数解析式，可求得点C的坐标，最后将点C的坐标代入一次函数解析式，即得答案．
【详解】解：对于函数中，令，则，
，
，
，
，即点C的横坐标为，
把代入，
得，
，
把代入，
得，
解得．
故答案为：．
15. 在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为______．
【答案】1或9
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线时，根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：当点线段上时，如图，

与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得，
；
当点在的延长线时，如图，

与关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为1或9，
故答案为：1或9．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）2；（2）．
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的求解，负整指数幂，乘方，绝对值以及算术平方根的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）根据乘方，负整数指数幂，绝对值以及算术平方根的运算求解即可；
（2）求得每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
则不等式组的解集为：．
17. 为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息．
a．10架A款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位min）分别是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
b．10架B款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位：min）在中等组的数据分别是：70，71，72，72，73．
C．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表d．B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架，B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
【答案】（1），，；
（2）A款智能玩具飞机运行性能更好；因为A款智能玩具飞机运行时间的方差比B款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；
（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．
【解析】
【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；
（2）根据方差越小越稳定即可判断；
（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．
【小问1详解】
解：由题意可知架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为，即；
由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为，
则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：（架）
则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：（架）
则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：，
故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为：，
B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：，
即，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：A款智能玩具飞机运行性能更好；因为A款智能玩具飞机运行时间的方差比B款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；
【小问3详解】
解：架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
架B款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架，
答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．
18. 如图，已知中，，，．
（1）作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、即可；
（2）由作图可得CD=BD，继而可得AD=CD，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可．
【小问1详解】
如图所示，点D、H即为所求
【小问2详解】
∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19. 如图，为直径，点是的中点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．

（1）求证：
（2）连接，当时：
①连接，判断四边形的形状，并说明理由．
②若，图中阴影部分的面积为（用含有的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①菱形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可得到结论．
（2）①根据（1）的结论和已知条件先证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质以及点是的中点，可得从而证明邻边相等，即可得出结论；
②连接，如图所示，设交于点，证明得，从而可求出，解直角三角形得出，根据，从而可得，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
小问1详解】
证明：如图所示，连接，

∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线．
∴，
∴，即：；
【小问2详解】
①如图所示，

由（1）可得
∵
∴，四边形是平行四边形，
又∵
∴
∴，
∴四边形是菱形，
②连接，如图所示，设交于点

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；则
∴
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，弧弦圆心角的关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判断定理以及扇形面积的求法是解题的关键．
20. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【解析】
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【小问1详解】
解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
小问2详解】
解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
21. 下图是某篮球架的侧而示意图，四边形为平行四边形．其中为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱连接（垂直于，垂足为H），在B，C处与篮板连接，旋转点F处的螺栓可以调节长度，使支架绕点A旋转，进而调节篮板的高度，已知．

（1）如图1，当时，测得点C离地面的高度为，求的长度；
（2）如图2，调节伸缩臂，将由调节为时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？并计算升（或降）的距离．（参考数据，）
【答案】（1）；
（2）点离地面的高度升高了，升高了．
【解析】
【分析】本题考查是平行四边形性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，即可求得；
（2）当时，则，解直角三角形得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，延长与底面交于点，过作于，则，
四边形为矩形，
∴，

∵四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴；
【小问2详解】
解：当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，其函数表达式为．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）经过教练指导，小明改变了射球的力度和角度，在同一地点再次射门，球射向球门的路线呈抛物线，其表达式为．结果足球“画出一－条美妙的曲线”在点O正上方处精彩落入球网内．求两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离．
（注：题中的x表示球到球门的水平距离，y表示球飞行的高度）
【答案】（1），球不能射进球门
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，求出解析式是解题的关键．
（1）先确定抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出第二次射门的解析式，求出顶点坐标即可求出答案．
【小问1详解】
由题意，可知抛物线的顶点坐标为，
∴
把代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
【小问2详解】
把，代入，得
，
∴，
∴，
∴顶点坐标为，
∵．
∴两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离为．
23. （1）观察发现：已知是直角三角形，．将绕点B顺时针旋转得到，旋转角为，直线交直线AC于点F．如图1，当时，判断：四边形的形状为_____，与的数量关系为_____；
（2）深入探究：在图1的基础上，将绕点B逆时针旋转，旋转角为，如图2，当时，直接写出线段的数量关系______；继续旋转，如图3，当时，请写出线段的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的基础上当时，若，请直接写出的长．

【答案】（1）正方形，；（2）；；理由见解析；（3）的长为或．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为矩形，根据，证明四边形为正方形，推出；
（2）当时，连接，证明，据此即可求得；当时，同理求得；
（3）当时，根据角的转换求得，推出，得到，进而求得，据此求解即可；当时，同理即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，由旋转的性质得，
∴四边形为矩形，
由旋转的性质得，
∴四边形为正方形，
∴；
故答案为：正方形，；
（2）当时，连接，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
当时，连接，

同理，，
∴，
∵，
∴，即；
故答案为：；；
（3）当时，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，
∴；
当时，同理，求得．
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．类别
A
B
平均数
70
70
中位数
71
b
众数
a
67
方差
30.4
31.6